數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)應(yīng)具有一些特定的關(guān)鍵屬性，如實(shí)驗(yàn)?zāi)繕?biāo)的明確性、實(shí)驗(yàn)流程的合理性、數(shù)據(jù)處理的準(zhǔn)確性、結(jié)果分析的科學(xué)性，以及對(duì)數(shù)學(xué)概念和原理的體現(xiàn)與應(yīng)用等。明確并探究數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的關(guān)鍵屬性，可以助力教師更好地設(shè)計(jì)和實(shí)施數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)，促進(jìn)學(xué)生深入理解數(shù)學(xué)概念、原理和思想方法，提升實(shí)踐能力和科學(xué)思維。本文以“紙杯\"數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)拓展環(huán)節(jié)為例，探討如何在數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)與實(shí)施中把握其關(guān)鍵屬性。

一、理清知識(shí)內(nèi)容，注重實(shí)驗(yàn)?zāi)繕?biāo)的明確性

教師設(shè)計(jì)數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)?zāi)繕?biāo)時(shí)應(yīng)關(guān)注知識(shí)的綜合應(yīng)用，將測(cè)量、計(jì)算、推導(dǎo)、驗(yàn)證等探究步驟融為一體，引導(dǎo)學(xué)生打通知識(shí)之間的關(guān)聯(lián)，深層次理解數(shù)學(xué)原理，提升科學(xué)探究能力。

“紙杯\"數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)拓展環(huán)節(jié)要求學(xué)生通過(guò)制作紙杯并測(cè)量其容積，探究幾何圖形與函數(shù)的關(guān)系，深入理解相關(guān)數(shù)學(xué)概念。在設(shè)計(jì)實(shí)驗(yàn)前，教師必須理清相關(guān)知識(shí)內(nèi)容，明確核心問(wèn)題，細(xì)化實(shí)驗(yàn)?zāi)繕?biāo)。本實(shí)驗(yàn)的核心問(wèn)題是如何用一張圓形卡紙制作容積最大的紙杯（圓錐形）。圍繞這個(gè)問(wèn)題，教師設(shè)定實(shí)驗(yàn)?zāi)繕?biāo)： ① 掌握計(jì)算圓錐體積的方法，理解圓形卡紙周長(zhǎng)、剪掉的扇形圓心角度數(shù)與所圍成圓錐底面半徑和高之間的關(guān)系，并將實(shí)際問(wèn)題抽象為數(shù)學(xué)模型（函數(shù)表達(dá)式）； ② 通過(guò)探究并親手制作體積最大紙杯的過(guò)程，培養(yǎng)動(dòng)手實(shí)踐能力、數(shù)據(jù)分析能力，增強(qiáng)模型意識(shí)，體會(huì)利用函數(shù)尋求最優(yōu)解的思想； ③ 在小組合作實(shí)驗(yàn)中培養(yǎng)團(tuán)隊(duì)協(xié)作能力，在反復(fù)嘗試中鍛煉嚴(yán)謹(jǐn)求實(shí)的科學(xué)態(tài)度和勇于探索的精神。

教師要在實(shí)驗(yàn)前讓學(xué)生明確上述自標(biāo)，幫助他們了解實(shí)驗(yàn)的知識(shí)背景，明確實(shí)驗(yàn)探究的方向，理解實(shí)驗(yàn)的實(shí)際意義。

二、體現(xiàn)任務(wù)分層，確保實(shí)驗(yàn)參與的有效性

數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)既要有一定的挑戰(zhàn)性，能引發(fā)學(xué)生深入探究，又要兼顧不同層次學(xué)生的認(rèn)知能力和已有基礎(chǔ)。教師可以根據(jù)學(xué)生的差異化特點(diǎn)和實(shí)驗(yàn)的不同階段，設(shè)計(jì)基礎(chǔ)、進(jìn)階、挑戰(zhàn)等層級(jí)的任務(wù)，助力全體學(xué)生逐步深入地有效實(shí)驗(yàn)，獲得學(xué)習(xí)成就感。

基于圓臺(tái)形紙杯體積等于相應(yīng)大圓錐體積減去相應(yīng)小圓錐體積，為簡(jiǎn)化研究過(guò)程，教師引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)研究圓形卡紙所圍成的圓錐體積的大小，探究紙杯容積最大問(wèn)題。

首先，教師給出基礎(chǔ)任務(wù)：每人取一張統(tǒng)一大小的圓形卡紙，先從 30^° 左右、 .60^° 左右 .90^° 左右三個(gè)關(guān)鍵度數(shù)區(qū)間中選定一個(gè)區(qū)間內(nèi)的一個(gè)角度，在圓形卡紙上畫出以這個(gè)角度為圓心角的扇形并剪掉，再把剩余部分圍成一個(gè)圓錐（圓臺(tái)形紙杯所在大圓錐），用量杯向圓錐中注水，測(cè)量其容積。各組學(xué)生這樣操作后，把剪去的扇形圓心角度數(shù) ∝ 與對(duì)應(yīng)的圓錐容積V整理在表格中。教師匯總各組的數(shù)據(jù)并呈現(xiàn)在黑板上。

然后，教師給出進(jìn)階任務(wù)：對(duì)比觀察數(shù)據(jù)，尋找其中的規(guī)律。學(xué)生思考、討論后發(fā)現(xiàn)： ∝ 過(guò)?。ㄐ∮?0^° ）或過(guò)大（大于 80^° ）時(shí)，紙杯容積都偏??； ∝ 在50^°～70^° 區(qū)間時(shí)，紙杯能裝下的水量明顯增多且峰值出現(xiàn)在 ∝ 等于 65^° 左右。據(jù)此，他們猜想：若想用這張圓形卡紙做出容積最大的紙杯，理論上應(yīng)把剪去的扇形圓心角控制在 65^° 左右。

最后，針對(duì)學(xué)有余力的學(xué)生，教師給出高階任務(wù)：嘗試探析容積V與扇形圓心角度數(shù) ∝ 的函數(shù)關(guān)系，確定使紙杯容積最大的扇形圓心角度數(shù)。這個(gè)任務(wù)具有挑戰(zhàn)性，學(xué)生需要對(duì)實(shí)際問(wèn)題進(jìn)行數(shù)學(xué)建模。實(shí)際探究中，有的學(xué)生主導(dǎo)小組成員根據(jù)幾何關(guān)系推導(dǎo)公式；有的學(xué)生組織小組成員不斷增加數(shù)據(jù)，進(jìn)行逼近分析。教師分別予以指導(dǎo)或點(diǎn)撥，引導(dǎo)學(xué)生解決問(wèn)題，在各自水平上獲得提升。

三、規(guī)劃實(shí)驗(yàn)流程，關(guān)注實(shí)驗(yàn)探究的生成性

教師要合理規(guī)劃數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)流程，統(tǒng)合觀察、記錄、測(cè)算、制作等操作步驟和調(diào)校數(shù)據(jù)、改進(jìn)方案等實(shí)踐環(huán)節(jié)，引導(dǎo)學(xué)生先明確問(wèn)題、設(shè)計(jì)方案，再做實(shí)驗(yàn)，然后反思推理、討論驗(yàn)證，最后形成報(bào)告，助推學(xué)生更好地解決數(shù)學(xué)問(wèn)題，提升科學(xué)探究能力。同時(shí)，為體現(xiàn)實(shí)驗(yàn)探究的生成性，教師要在既有實(shí)驗(yàn)流程的基礎(chǔ)上，注意捕捉學(xué)生實(shí)驗(yàn)過(guò)程中生發(fā)的新想法并有效引導(dǎo)。

例如，在實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)分析階段，一名學(xué)生質(zhì)疑：“為什么剪去的扇形圓心角度數(shù)很小時(shí)，圍成的圓錐底面積很大，裝入的水量卻不是最多？”教師敏銳捕捉到這個(gè)生成性問(wèn)題，引導(dǎo)學(xué)生思考影響其容積大小的因素。經(jīng)過(guò)討論，學(xué)生意識(shí)到圍成的圓錐的高度和底面積都會(huì)影響其容積大小：剪去的扇形圓心角度數(shù)過(guò)小時(shí)，圍成的圓錐雖然底面積大，但高度矮；剪去的扇形圓心角度數(shù)過(guò)大時(shí)，圍成的圓錐雖然高，但底面積小。學(xué)生自主生成的認(rèn)知，使他們理解了所制作的紙杯容積存在最大值的原因。

四、優(yōu)化數(shù)據(jù)處理，提高實(shí)驗(yàn)結(jié)果的科學(xué)性

首先，教師要求學(xué)生用表格規(guī)范記錄所剪扇形圓心角度數(shù)和圍成的圓錐高度、底面直徑、容積等數(shù)值，助力學(xué)生發(fā)現(xiàn)規(guī)律。其次，教師引導(dǎo)學(xué)生將收集的數(shù)據(jù)繪制成圖表，以剪去的各扇形圓心角度數(shù) ∝ 為橫軸、以圍成的圓錐容積V為縱軸作曲線，進(jìn)而直觀地發(fā)現(xiàn)隨著 ∝ 由小到大，圓錐的容積先增后減，并在60^°～70^° 區(qū)間的某個(gè)點(diǎn)達(dá)到峰值，從而獲得確切的證據(jù)。如果個(gè)別數(shù)據(jù)偏離整體趨勢(shì)，教師就要引導(dǎo)學(xué)生分析誤差來(lái)源，如制成的圓錐成品尺寸與測(cè)算尺寸有差異、測(cè)量時(shí)讀數(shù)不準(zhǔn)確等。師生要共同討論改進(jìn)措施，如重復(fù)試驗(yàn)，取圓錐容積的平均值等。

五、激發(fā)創(chuàng)新思維，增強(qiáng)實(shí)驗(yàn)探究的挑戰(zhàn)性

教師在數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)中設(shè)置開(kāi)放性問(wèn)題能增強(qiáng)實(shí)驗(yàn)探究的挑戰(zhàn)性，激發(fā)學(xué)生的創(chuàng)新思維?！凹埍睌?shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)拓展環(huán)節(jié)通過(guò)探究“最優(yōu)形狀\"的問(wèn)題，為學(xué)生提供挑戰(zhàn)性任務(wù)。

探究紙杯“最優(yōu)形狀”的問(wèn)題，本質(zhì)上是尋找紙杯容積（本實(shí)驗(yàn)中看作圓錐容積）的最大值。有的學(xué)生起初猜測(cè)剪去 90^° 圓心角的扇形可能獲得“最優(yōu)形狀”，有的學(xué)生認(rèn)為剪去的扇形圓心角度數(shù)越小越好。通過(guò)實(shí)驗(yàn)操作和數(shù)據(jù)分析，他們發(fā)現(xiàn)起初的猜測(cè)不正確，并基于證據(jù)逐步修正了觀點(diǎn)。在理論推導(dǎo)階段，學(xué)生需要攻克確定“最優(yōu)扇形圓心角度數(shù)”的難題。教師引導(dǎo)他們運(yùn)用創(chuàng)造性方法尋求答案，如根據(jù)更多的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)近似描繪曲線來(lái)推測(cè)峰值所在圓心角度數(shù)范圍，借助計(jì)算器在不同扇形圓心角度數(shù)下試算容積來(lái)逐步逼近最優(yōu)解等。教師在給予學(xué)生適當(dāng)方法提示的同時(shí)，注重培養(yǎng)他們的探索精神，通過(guò)鼓勵(lì)性評(píng)價(jià)語(yǔ)幫助其樹(shù)立攻堅(jiān)克難的信心。值得關(guān)注的是，部分學(xué)生在完成探究任務(wù)后主動(dòng)提出“能否用不同形狀的紙片做類似實(shí)驗(yàn)？如果研究圓臺(tái)形紙杯，其‘最優(yōu)形狀'會(huì)怎樣？\"等問(wèn)題，這體現(xiàn)出學(xué)生濃厚的探究欲望和活躍的創(chuàng)新思維。教師給予肯定，并鼓勵(lì)有興趣的學(xué)生課后繼續(xù)探究。

教師應(yīng)在強(qiáng)調(diào)實(shí)驗(yàn)操作規(guī)范性的基礎(chǔ)上，引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注數(shù)據(jù)的準(zhǔn)確性，掌握控制誤差的方法，在提高實(shí)驗(yàn)結(jié)果科學(xué)性的同時(shí)，體會(huì)嚴(yán)謹(jǐn)求證的重要性。

（作者單位：麻城市第六初級(jí)中學(xué)）文字編輯劉佳