摘 要：“實(shí)變函數(shù)”是數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè)的一門重要的基礎(chǔ)課程，它以數(shù)學(xué)分析為基礎(chǔ)，在分析學(xué)領(lǐng)域中起著至關(guān)重要的作用。由于“實(shí)變函數(shù)”理論性強(qiáng)，內(nèi)容抽象，學(xué)生學(xué)習(xí)起來難度較大。結(jié)合這一情況，在線上線下結(jié)合越來越普遍的教學(xué)背景下，關(guān)于“實(shí)變函數(shù)”的教學(xué)模式進(jìn)行了探索與實(shí)踐，采用傳統(tǒng)線下教學(xué)與線上學(xué)習(xí)平臺相結(jié)合的混合式教學(xué)模式，采用類比式教學(xué)與舉例相結(jié)合的教學(xué)方法，具體分為課前準(zhǔn)備（線上）、課堂教學(xué)（線下）、課后鞏固三個(gè)階段。結(jié)果表明，這一混合式教學(xué)模式可以有效提高學(xué)生的學(xué)習(xí)效率。

關(guān)鍵詞：混合式教學(xué)；實(shí)變函數(shù)；勒貝格積分

1 “實(shí)變函數(shù)”課程現(xiàn)狀分析

“實(shí)變函數(shù)”是主要針對數(shù)學(xué)系數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè)學(xué)生開設(shè)的一門專業(yè)基礎(chǔ)課程，它是數(shù)學(xué)領(lǐng)域的一個(gè)重要分支，以數(shù)學(xué)分析為前導(dǎo)課程，并在此基礎(chǔ)上發(fā)展起來的一門學(xué)科，主要研究的是測度理論與勒貝格積分理論?！皩?shí)變函數(shù)”課程中“勒貝格積分”理論的出現(xiàn)主要源于微積分存在的一些局限性，如積分與極限交換次序條件太強(qiáng)、多數(shù)較為常見函數(shù)在黎曼意義下不可積等。正是由于這些局限性極大地限制了黎曼積分的發(fā)展，由此“勒貝格積分”理論應(yīng)運(yùn)而生。同時(shí)，實(shí)變函數(shù)也是許多后續(xù)課程如泛函分析、調(diào)和分析等的重要理論基礎(chǔ)，是數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè)學(xué)生后續(xù)開展科研的堅(jiān)實(shí)支柱。但由于其本身具有理論性、抽象性與邏輯性較強(qiáng)等特點(diǎn)，“實(shí)變函數(shù)”也成為學(xué)生公認(rèn)的最難學(xué)習(xí)的課程。原因有三個(gè)方面：（1）雖然說實(shí)變函數(shù)中的大多理論是在數(shù)學(xué)分析的基礎(chǔ)上得到的，但理論深度又高于數(shù)學(xué)分析，因此對學(xué)生來說，就需要較為扎實(shí)的數(shù)學(xué)分析理論基礎(chǔ)；（2）由于實(shí)變函數(shù)自身理論的抽象性與邏輯性，導(dǎo)致學(xué)生學(xué)習(xí)起來難度較大，難以調(diào)動(dòng)學(xué)習(xí)的積極性；（3）由于課時(shí)的限制，教師無法全面系統(tǒng)地向?qū)W生講授完整的理論知識，導(dǎo)致學(xué)生對整體知識框架一知半解。

2 教學(xué)模式探索

鑒于上述情形，實(shí)變函數(shù)應(yīng)該“如何教”成了亟待解決的問題，但此前傳統(tǒng)“實(shí)變函數(shù)”的教學(xué)形式比較單一，課堂多為“滿堂灌”的教學(xué)形式，老師講學(xué)生聽，授課內(nèi)容也是較為煩瑣的理論證明，導(dǎo)致學(xué)生課堂參與度低，整體積極性不高，缺少思考這一重要的理解與接受的過程。近幾年關(guān)于“實(shí)變函數(shù)”課程的教學(xué)模式也在不斷改革與探索，比如多采用案例式教學(xué)替代傳統(tǒng)的理論證明，課題式教學(xué)可以幫助學(xué)生更清楚地認(rèn)識到實(shí)變函數(shù)理論的發(fā)展歷程，從而掌握其思維脈絡(luò)。在幾年的教學(xué)工作中，本人也一直致力于尋求一種能充分調(diào)動(dòng)學(xué)生學(xué)習(xí)積極性的教學(xué)模式，實(shí)踐發(fā)現(xiàn)，通過線上和線下兩種途徑開展的混合式教學(xué)，既能有效提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，又有利于師生間的深度互動(dòng)，從而提升學(xué)生學(xué)習(xí)的效率與積極性，更能有效幫助教師開展“實(shí)變函數(shù)”課程的教學(xué)工作。具體教學(xué)流程大致分為課前準(zhǔn)備（線上）、課堂教學(xué)（線下）、課后鞏固練習(xí)。

3 “實(shí)變函數(shù)”教學(xué)模式實(shí)踐

3.1 課前準(zhǔn)備（線上）

“實(shí)變函數(shù)”課程的學(xué)習(xí)需要一定的數(shù)學(xué)分析基礎(chǔ)，在學(xué)期初第一堂課綜合考慮學(xué)生的基礎(chǔ)扎實(shí)程度以及學(xué)習(xí)興趣，將學(xué)生劃分為不同的小組，對于不同程度的小組提前發(fā)送不同難度的課前預(yù)習(xí)任務(wù)，保證因材施教，程度好的學(xué)生更容易進(jìn)步，程度一般的學(xué)生也能有所收獲，從而逐漸提高學(xué)生自主學(xué)習(xí)、發(fā)現(xiàn)問題、解決問題的能力。在實(shí)際教學(xué)實(shí)施的過程中，也及時(shí)根據(jù)學(xué)生的實(shí)際情況重新組建分組。

學(xué)校會(huì)通過學(xué)習(xí)通等平臺組建線上班級，教師在課前發(fā)送預(yù)習(xí)任務(wù)，學(xué)生通過教師推薦或自己尋找的線上教學(xué)資源自行提前預(yù)習(xí)。小組代表在平臺上回答教師所提問題或提出自己的疑問，回答情況計(jì)入過程性考核。例如，學(xué)生在開始學(xué)習(xí)第三章《測度論》內(nèi)容時(shí)，線上提出疑問（如圖1所示）。

學(xué)生提出問題：如何理解內(nèi)測度與外測度，如何理解若“內(nèi)測度=外測度”，則集合可測這一結(jié)論？結(jié)合學(xué)生所提問題，在實(shí)際課堂教學(xué)中，著重講解內(nèi)測度與外測度的概念，并輔以直觀例子幫助學(xué)生更加直觀地去理解概念。以測量一棵樹的高度為例，將這棵樹視為一個(gè)集合（見圖2）。

用沒有刻度的長為5m的尺子測量樹高，量1次不足，2次有余，因此5mlt;樹高lt;10m；用沒有刻度的長為1m的尺子測量樹高，量7次不足，8次有余，因此7mlt;樹高lt;8m，尺子長度越來越小，“不足”“有余”都越來越接近樹高，此時(shí)，不足的最大值，有余的最小值最接近樹高。

因此，若“不足的最大值=有余的最小值”，則樹高能準(zhǔn)確測量出樹的高度，不足的最大值可近似視為內(nèi)測度，有余的最小值可近似視為外測度，即若內(nèi)測度＝外測度，則該集合可測。在講解概念的同時(shí)，以此為例，可以將抽象的概念直觀化，學(xué)生可以更加容易理解。在整個(gè)教學(xué)過程中，學(xué)生課前提前預(yù)習(xí)，提出問題，教師講解過程更具有針對性，學(xué)生帶著問題去學(xué)習(xí)，也更能提高學(xué)生的求知欲，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的熱情，提高課堂授課的效率。

3.2 課堂教學(xué)（線下）

在實(shí)際課堂教學(xué)過程中，教師要針對不同的問題合理運(yùn)用多種教學(xué)方法開展教學(xué)，幫助學(xué)生更加具體地理解抽象的知識點(diǎn)與邏輯性較強(qiáng)的證明過程。

3.2.1 采用新舊知識類比式教學(xué)，建立知識之間的聯(lián)系

“實(shí)變函數(shù)”課程的重點(diǎn)即為第五章《積分論》，主要介紹勒貝格積分的內(nèi)容，勒貝格積分的產(chǎn)生是建立在黎曼積分局限性的基礎(chǔ)之上，為了解決黎曼積分遺留下來的問題。此前學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了數(shù)學(xué)分析，掌握了黎曼積分的定義。因此在介紹勒貝格積分時(shí)可以類比黎曼積分。在這里可以采用師生問答的方式展開，教師提出問題：大家已經(jīng)學(xué)習(xí)過數(shù)學(xué)分析，掌握了微積分基本定理，哪位同學(xué)能說出微積分基本定理的內(nèi)容？

學(xué)生回答完后，教師補(bǔ)充說明，這里的積分即為黎曼積分。接著再提出第二個(gè)問題：誰能說出黎曼積分是怎么定義的？都有哪些類型的函數(shù)是黎曼可積的呢？

教師對學(xué)生回答進(jìn)行補(bǔ)充說明，介紹黎曼積分的概念以及黎曼可積的充要條件，此處可以結(jié)合圖形將黎曼積分的定義簡述為：分割、求和、取極限。分割即為對定義域進(jìn)行分割；求和即求出定義域每個(gè)小矩形的面積；取極限即定義域分割足夠細(xì)時(shí)，可近似地用小矩形的面積代替曲邊梯形的面積。

接著采用一個(gè)數(shù)分中常見的黎曼意義下不可積的函數(shù)，以狄利克雷函數(shù)為例，引導(dǎo)學(xué)生思考這一函數(shù)黎曼不可積的原因，由此介紹黎曼積分的局限性。

如何解決這一局限性呢？不妨換個(gè)角度去考慮問題。從黎曼積分定義入手，仍采用分割、求和、取極限的方法，不過這里的分割即為對值域進(jìn)行分割，分割得足夠細(xì)時(shí)，可近似地用小矩形的面積代替曲邊梯形的面積，此即為一種新的積分：勒貝格積分。類比黎曼積分的定義，引導(dǎo)學(xué)生找出黎曼積分局限性的根源所在，由此轉(zhuǎn)換思路，勒貝格積分產(chǎn)生。

此時(shí)，學(xué)生對于勒貝格積分的定義認(rèn)識還不夠，教師再以一個(gè)實(shí)際的例子帶領(lǐng)學(xué)生去更加直觀地認(rèn)識勒貝格積分。教師拿出一堆硬幣，分別為一角、五角和一元的各五個(gè)，提出問題：我們現(xiàn)在來數(shù)一數(shù)這些硬幣一共有多少，可以采用什么方法去數(shù)呢？給學(xué)生預(yù)留出思考的時(shí)間，學(xué)生回答如下。

（1）我可以隨機(jī)拿出來一個(gè)對應(yīng)的面額，最后再相加。（2）把相同面額的放到一起，看看每個(gè)面額各有多少個(gè)，面額乘以個(gè)數(shù)再相加。

教師對學(xué)生回答進(jìn)行總結(jié)，點(diǎn)出第一種方式對應(yīng)的即為黎曼積分，第二種即為勒貝格積分。此時(shí)學(xué)生對黎曼積分和勒貝格積分的區(qū)別與聯(lián)系已大致掌握。

3.2.2 采用較為直觀的圖形配合講述，便于學(xué)生理解

“實(shí)變函數(shù)”中多為理論性證明，邏輯性強(qiáng)，學(xué)生理解能力差，因此在此部分的講解上，教師除了考慮如何更清楚地向?qū)W生傳授知識，更重要的是如何能讓學(xué)生主動(dòng)去接受知識，因此教師在講解證明題過程中，要注意選取合適的講述方式提高學(xué)生的興趣，幫助學(xué)生理解。比如在講述第三章第二節(jié)中定理3內(nèi)容時(shí)，可采用圖示法配合講述，學(xué)生可以直觀地看到每一個(gè)步驟的由來，理解起來更加簡單和更容易接受，過程如下。

定理：設(shè)S1，S2都可測，證明S1∪S2也可測。

此題要證明集合S1∪S2可測，關(guān)于集合可測，學(xué)生學(xué)習(xí)到了可測的定義，故可以用定義去證明，分析如下。

（1）由圖3可知，要證明S1∪S2可測，由可測集合定義，只需證明對任意集合T，滿足m*T=m*［T∩（S1∪S2）］+m*［T∩（S1∪S2）c］，即要證T=①③②+④。

已知T=①③+②④。

（2）分析上面兩部分，有重合之處，因此考慮將①③②與②④分的更詳細(xì)。

①③②=①③+②，其中①③為①③②在S1內(nèi)，②為①③②在S1外。②④=②+④，其中②為②④在S2內(nèi)，④為②④在S2外。

①③②=T∩（S1∪S2），①③=T∩S1=［T∩（S1∪S2）］∩S1，②④=T∩S1c，②=［T∩（S1∪S2）］∩S1c=（T∩S1c）∩S2，④=T∩（S1∪S2）c=（T∩S1c）∩S2c，利用S1的可測性，代入集合可測定義即可證得。

證明過程：因S1可測，故對任意集合T有m*T=m*（T∩S1）+m*（T∩S1c）。又m*（T∩S1）+m*（T∩S1c）=m*［（T∩（S1∪S2））∩S1］+m*［（T∩（S1∪S2））∩S1c］+m*［T∩（S1∪S2）c］=m*［T∩（S1∪S2）］+m*［T∩（S1∪S2）c］。

綜上所述，即得m*T=m*［T∩（S1∪S2）］+m*［T∩（S1∪S2）c］，即S1∪S2可測。

對于證明過程，先提出問題：已知的證明集合可測方法是什么？引導(dǎo)學(xué)生回顧定義，鞏固已學(xué)知識；接著帶領(lǐng)學(xué)生觀察圖3，引導(dǎo)學(xué)生小組討論已知條件與要證結(jié)論之間的聯(lián)系，從而理清整道題的證明邏輯，明白教材中集合之間相互替換的原因，并清楚地掌握“要證什么，即證什么，觀察已知與要證之間的關(guān)系”這一證明流程，引導(dǎo)學(xué)生結(jié)合圖示一步步自己寫出證明過程，不僅能使枯燥的理論知識生動(dòng)化，激發(fā)學(xué)生的聽課積極性，更能幫助學(xué)生思維上從“怎么證”到“為什么這么證”的轉(zhuǎn)變，通過一道題掌握一類題。

3.2.3 探尋概念中隱藏的典故，提高學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情

由于實(shí)變函數(shù)整體理論性較強(qiáng)，學(xué)生學(xué)習(xí)起來較為枯燥，因此適時(shí)地在課堂上插入有趣的數(shù)學(xué)典故，不僅能拓寬學(xué)生的視野，更能有效提高課堂的活躍氣氛，從而調(diào)動(dòng)學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性。比如在介紹集合論中康托爾定理時(shí)，此前學(xué)生已經(jīng)了解到集合可分為有限集、可數(shù)集與不可數(shù)集，之后提出問題：已知可數(shù)集合都對等，那么不可數(shù)集合的基數(shù)是否有大小之分呢？如果有，是否有基數(shù)最大的集合呢？這對學(xué)生來說是之前沒有思考過的。學(xué)生在思考時(shí)，適時(shí)地插入著名的“羅素悖論”，以及由此引發(fā)的數(shù)學(xué)史上第三次危機(jī)。

1902年，英國數(shù)學(xué)家羅素提出：以M表示是其自身成員的集合的集合，N表示不是其自身成員的集合的集合。那么N是否為它自身的成員？

若是，則N∈M，即說明N不屬于它自身；若不是，則N∈N，即說明N屬于它自身。無論哪種可能都將導(dǎo)致矛盾，這就是著名的羅素悖論。

羅素悖論的一個(gè)通俗表示即“理發(fā)師悖論”。一天，一位理發(fā)師掛出一塊招牌寫著：“我只為不給自己理發(fā)的人理發(fā)”。此時(shí)提出疑問，這位理發(fā)師是否應(yīng)該給自己理發(fā)？問題馬上引發(fā)了學(xué)生的激烈討論。教師及時(shí)介紹由羅素悖論引發(fā)的數(shù)學(xué)史上第三次危機(jī)，以及為基礎(chǔ)數(shù)學(xué)發(fā)展帶來的重大進(jìn)步。此時(shí)學(xué)生的聽課積極性已被充分調(diào)動(dòng)起來，教師再引導(dǎo)學(xué)生將此問題轉(zhuǎn)化為集合問題去考慮，進(jìn)而得出康托爾定理的證明。

3.3 課后鞏固

3.3.1 課后作業(yè)

除了課前為學(xué)生預(yù)留合適的問題促進(jìn)學(xué)生課前預(yù)習(xí)與課堂講述之外，課后及時(shí)鞏固所學(xué)內(nèi)容也是關(guān)鍵。每節(jié)課后要適當(dāng)?shù)夭贾谜n后作業(yè)，題目難度適中，不宜過于簡單也不宜過難，難度適當(dāng)?shù)念}目既能幫助學(xué)生復(fù)習(xí)所學(xué)知識，提升學(xué)習(xí)自信心，也能查漏補(bǔ)缺，及時(shí)鞏固本節(jié)課所學(xué)內(nèi)容。

3.3.2 復(fù)習(xí)回顧

每章安排至少一節(jié)集中復(fù)習(xí)課，復(fù)習(xí)過程要注意章節(jié)之間知識的連貫性，復(fù)習(xí)內(nèi)容要注意詳略得當(dāng)，重要及較難知識點(diǎn)重點(diǎn)復(fù)習(xí)，一般知識簡單帶過。根據(jù)實(shí)際復(fù)習(xí)效果，適時(shí)地調(diào)整復(fù)習(xí)內(nèi)容與進(jìn)度，確保復(fù)習(xí)的高效性。同時(shí)根據(jù)劃分的學(xué)習(xí)小組，安排小組之間開展問答挑戰(zhàn)，學(xué)生之間彼此查漏補(bǔ)缺，共同進(jìn)步。

3.3.3 批閱答疑

每周一次批閱學(xué)生作業(yè)，總結(jié)學(xué)生作業(yè)中出現(xiàn)的問題，對于出現(xiàn)問題較多的在課堂上集中講評，對于出現(xiàn)問題較少的地方在學(xué)習(xí)通平臺集中答疑。同時(shí)根據(jù)學(xué)生作業(yè)的寫作情況進(jìn)行不同等級的批閱，最后計(jì)入期末過程性考核，鼓勵(lì)學(xué)生認(rèn)真完成作業(yè)，形成良性循環(huán)。

結(jié)語

“實(shí)變函數(shù)”課程以數(shù)學(xué)分析為基礎(chǔ)，主要培養(yǎng)學(xué)生抽象思維與邏輯推理的能力，同時(shí)為后續(xù)的學(xué)習(xí)與科學(xué)研究打下堅(jiān)實(shí)基礎(chǔ)，是分析學(xué)理論體系中不可或缺的部分。但由于實(shí)變函數(shù)本身理論性較強(qiáng)，內(nèi)容抽象，學(xué)生學(xué)習(xí)起來難度較大。經(jīng)過教學(xué)實(shí)踐，從傳統(tǒng)“滿堂灌”的教學(xué)模式轉(zhuǎn)變?yōu)椴捎镁€上線下師生共同參與的混合式教學(xué)模式，不僅能提高學(xué)生學(xué)習(xí)實(shí)變函數(shù)的積極性，更能促進(jìn)學(xué)生自主思考，提高分析與解決實(shí)際問題的能力，幫助學(xué)生形成良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣，從而有效提高教師教與學(xué)生學(xué)的效率。

參考文獻(xiàn)：

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項(xiàng)目基金：河南開封科技傳媒學(xué)院校級教育教學(xué)改革與研究項(xiàng)目（編號：KCJG2024023）

作者簡介：劉亞蘋（1997— ），女，漢族，河南蘭考人，碩士研究生，助教，研究方向：基礎(chǔ)數(shù)學(xué)。