引言

自新一輪課程改革以來(lái)，課標(biāo)的修訂、教材的新編，使三角函數(shù)的概念編寫發(fā)生了較大變化.不同版本教材先后使用過(guò)“任意角終邊上任意一點(diǎn)的坐標(biāo)\"“任意角終邊與單位圓的交點(diǎn)坐標(biāo)\"來(lái)定義三角函數(shù).教材對(duì)三角函數(shù)定義方式的選擇體現(xiàn)了怎樣的教材編寫理念？三角函數(shù)不同定義方式的產(chǎn)生又有怎樣的歷史原因？對(duì)于使用過(guò)不同版本教材進(jìn)行學(xué)習(xí)或教學(xué)的教師來(lái)說(shuō)，存在較多困惑，本文旨在探討HPM視角下三角函數(shù)概念的教學(xué)，通過(guò)追溯三角函數(shù)概念的歷史發(fā)展，分析不同歷史時(shí)期數(shù)學(xué)家對(duì)三角函數(shù)的理解和應(yīng)用，構(gòu)建更加符合學(xué)生認(rèn)知規(guī)律的教學(xué)路徑，以期促進(jìn)學(xué)生對(duì)三角函數(shù)概念的理解.

史海鉤沉

1.幾何階段希臘天文學(xué)家希帕科斯（約前180—前125）是三角學(xué)最早的創(chuàng)建者之一.他將球面三角方法引用于平面三角形，在制作弦表時(shí)，其使用的“正弦”是指“圓弧所對(duì)弦的弦長(zhǎng)”希臘天文學(xué)家托勒密（約100—178）繼承了梅內(nèi)勞斯等人的研究成果，進(jìn)一步豐富了弦表．他使用的\"正弦”同樣是“圓弧所對(duì)弦的弦長(zhǎng)”，不過(guò)將圓的半徑從 R=57.18 改成了 R=60.6 世紀(jì)，印度數(shù)學(xué)家阿耶波多在制作弦表時(shí)，其使用的“正弦\"是指“圓弧所對(duì)弦的半弦長(zhǎng)”.德國(guó)數(shù)學(xué)家雷格蒙塔努斯（1436—1476）采用了印度人的“正弦\"定義，即“圓弧所對(duì)弦的半弦長(zhǎng)”并首次對(duì)三角學(xué)做了完整、獨(dú)立的闡述，使三角學(xué)正式從天文學(xué)中獨(dú)立出來(lái)[1]24.8世紀(jì)，中國(guó)也有了正切表和正弦表．9世紀(jì)，阿拉伯天文學(xué)家阿爾·巴塔尼創(chuàng)立了系統(tǒng)的三角學(xué)術(shù)語(yǔ)，包括三角函數(shù)的許多重要概念，比如正弦、余弦、正切、余切等[2].在這一階段，無(wú)論是古希臘、印度，還是阿拉伯、中國(guó)，三角函數(shù)表仍是在給定半徑長(zhǎng)時(shí)弧與弦的對(duì)應(yīng)關(guān)系，仍停留在表格形式，角的范圍也只限制在[0^°，180^°]^[3].

2.代數(shù)階段[1]24

16世紀(jì)，哥白尼的學(xué)生雷提庫(kù)斯（1514—1576）最先給出角的正弦概念，把弧的正弦改成了銳角的正弦.三角形就形成了三角關(guān)系的基本結(jié)構(gòu)，相應(yīng)的圓成了從屬.他把正弦、余弦、正切等定義成直角三角形的邊長(zhǎng)之比，從而使平面三角學(xué)從球面三角學(xué)中獨(dú)立出來(lái)，至此三角學(xué)真正形成了.在這一階段，三角學(xué)從天文學(xué)中分離出來(lái)，成為數(shù)學(xué)的一個(gè)獨(dú)立分支.值得注意的是，這時(shí)所討論的“三角函數(shù)”僅限于銳角三角函數(shù)，而且研究銳角三角函數(shù)的目的在于解三角形和三角計(jì)算，屬于常量數(shù)學(xué)的主要內(nèi)容.

3.解析階段[4]

18世紀(jì)初，英國(guó)數(shù)學(xué)家牛頓最早將arcsinx和sinx展開(kāi)為冪級(jí)數(shù)： ．同時(shí)期，歐拉用三角級(jí)數(shù)表示了函數(shù)．變量數(shù)學(xué)逐漸成為主要內(nèi)容.

1748年，歐拉在其著作《無(wú)窮分析引論》中提出三角函數(shù)是對(duì)應(yīng)的函數(shù)線與圓半徑的比值（這是用角的終邊上任意一點(diǎn)的坐標(biāo)來(lái)定義三角函數(shù)的）.此后，歐拉令圓的半徑等于1，用角的終邊與單位圓的交點(diǎn)坐標(biāo)重新定義三角函數(shù)，使三角研究大為簡(jiǎn)化.歐拉的這一理論革新，使三角學(xué)從靜態(tài)研究三角形解法的狹隘范疇中解放出來(lái)，轉(zhuǎn)而用于反映現(xiàn)實(shí)世界中一切可用三角函數(shù)描述的運(yùn)動(dòng)或變化過(guò)程，推動(dòng)三角學(xué)發(fā)展成為一門具有現(xiàn)代特征的學(xué)科．在這一階段，三角學(xué)從常量數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)變?yōu)樽兞繑?shù)學(xué)，逐步建立起了解析理論體系.

4.史料評(píng)析

從三角函數(shù)概念的歷史發(fā)展來(lái)看，第一階段聚焦于正弦概念.其產(chǎn)生與發(fā)展主要服務(wù)于解決天文學(xué)中的測(cè)量問(wèn)題，定義中的“弧長(zhǎng)\"關(guān)聯(lián)球面弧長(zhǎng)，“弦長(zhǎng)\"作為測(cè)量目標(biāo)，研究范疇集中于球面三角學(xué).到了第二階段，正弦、余弦、正切等概念相繼出現(xiàn)，主要用于解決平面三角形中邊角的計(jì)算問(wèn)題.這一時(shí)期，三角學(xué)突破了“圓\"的限制，轉(zhuǎn)向平面三角形領(lǐng)域，推動(dòng)平面三角學(xué)快速發(fā)展.在第三階段，三角函數(shù)概念逐漸完善.其發(fā)展一方面旨在刻畫現(xiàn)實(shí)世界中運(yùn)動(dòng)與變化的過(guò)程，另一方面也是為了適應(yīng)數(shù)學(xué)內(nèi)部微積分等理論發(fā)展的需求．顯然，三個(gè)階段的三角函數(shù)的研究對(duì)象各有側(cè)重：第一階段以球面三角形為研究主體；第二階段主要研究平面三角形，前兩個(gè)階段角的研究范圍存在較大局限性；第三階段則著重研究現(xiàn)實(shí)中的周期現(xiàn)象．由此可見(jiàn)，任意角三角函數(shù)并非簡(jiǎn)單由銳角三角函數(shù)推廣而來(lái)，二者產(chǎn)生的背景不同，所呈現(xiàn)的性質(zhì)也存在差異．換言之，銳角三角函數(shù)與任意角三角函數(shù)源于不同的問(wèn)題背景，當(dāng)二者相遇，弧度制應(yīng)運(yùn)而生，促使兩部分內(nèi)容融合為一個(gè)有機(jī)整體.基于歷史發(fā)展脈絡(luò)，三角函數(shù)概念的學(xué)習(xí)應(yīng)當(dāng)突破銳角三角函數(shù)的局限，以周期現(xiàn)象為實(shí)際背景，運(yùn)用解析幾何的研究方法，構(gòu)建“創(chuàng)新\"的三角函數(shù)模型.

融史于教

1.復(fù)習(xí)回顧，情境創(chuàng)設(shè)

問(wèn)題1初中角的概念與高中任意角的概念的區(qū)別有哪些？

生1：角的范圍不同.初中研究360^° 以內(nèi)的角，高中研究實(shí)數(shù)范圍內(nèi)的角.

生2：研究視角不同.初中角的概念是靜態(tài)角，高中任意角的概念是動(dòng)態(tài)角.

問(wèn)題2如圖1是我國(guó)古代生產(chǎn)生活中的水車，水車在運(yùn)水的過(guò)程中，做圓周運(yùn)動(dòng).將其抽象成圖2，提出問(wèn)題：已知水車的中心0離水面的高度為 h ，它的半徑為 r ，觀測(cè)運(yùn)水管P從水平位置的點(diǎn)A出發(fā)，逆時(shí)針?lè)较蜃鰟蛩俎D(zhuǎn)動(dòng)，旋轉(zhuǎn)角記為0.

（1）當(dāng)0= 時(shí)，求運(yùn)水管P到A水面的高度 H （2）根據(jù)（1）猜想運(yùn)水管到水面的高度 H 與旋轉(zhuǎn)角0的函數(shù)關(guān)系式生3：（1）當(dāng) 時(shí)， 中當(dāng) 時(shí)， （2）猜想 H= h+rsin0.

設(shè)計(jì)意圖問(wèn)題1旨在深化學(xué)生對(duì)三角函數(shù)研究視角從靜態(tài)到動(dòng)態(tài)轉(zhuǎn)變的理解；問(wèn)題2通過(guò)重構(gòu)數(shù)學(xué)史上任意角三角函數(shù)的發(fā)生發(fā)展過(guò)程，以我國(guó)古代水車文化為背景，創(chuàng)新性地提出與圓周運(yùn)動(dòng)相關(guān)的實(shí)際問(wèn)題.這一設(shè)計(jì)，一方面有助于培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題的能力，另一方面也為任意角三角函數(shù)概念的學(xué)習(xí)奠定基礎(chǔ).

2.推理探究，概念生成

師：這樣的猜想合理嗎？在運(yùn)水管P逆時(shí)針運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，∠AOP從銳角推廣到了任意角 θ ，如何理解這里的任意角0的正弦值sino？

活動(dòng)1探究運(yùn)水管P在不同位置時(shí)的函數(shù)解析式，與猜想的結(jié)果進(jìn)行比較，解釋sino的含義.

活動(dòng)結(jié)果當(dāng)P在水平位置 OA 上方時(shí)， H=h+MP ，與 H=h+rsinθ 作比較，需要 rsinθ=MP 即， 時(shí)，猜想成立；當(dāng) P 在水平位置 OA 下方時(shí)， H= h-MP ，與 H=h+rsinθ 作比較，需要rsinθ=-MP ，即 時(shí)，猜想成立．根據(jù)上述推理， sinθ 出現(xiàn)了兩種表達(dá)式：sin0=±MP

問(wèn)題3數(shù)學(xué)追求表達(dá)的統(tǒng)一與簡(jiǎn)潔，那么能否用一個(gè)量代替 ±MP 使sinθ有統(tǒng)一的表示？

生4：通過(guò)觀察，我發(fā)現(xiàn)MP和-MP的值剛好是圓心為 o ，半徑為r的圓上動(dòng)點(diǎn)P的縱坐標(biāo)！因此，可以建立直角坐標(biāo)系，用點(diǎn)P的縱坐標(biāo)y表示 ±MP 這樣sin0就能統(tǒng)一表示為 車

師：以 o 為原點(diǎn)， OA 為 Φ_x 軸，建立平面直角坐標(biāo)系（如圖3所示），將角 θ 放入直角坐標(biāo)系中（角0的始邊與 x 軸正半軸重合），以原點(diǎn)為圓心， r 為半徑作圓，與角0的終邊交于點(diǎn) P（x，y） ，則

設(shè)計(jì)意圖活動(dòng)1與問(wèn)題3構(gòu)成一個(gè)有機(jī)整體．首先，通過(guò)活動(dòng)組織學(xué)生推導(dǎo)H的表達(dá)式，引導(dǎo)學(xué)生在將其與猜想的表達(dá)式進(jìn)行比較時(shí)，發(fā)現(xiàn)任意角的正弦值存在正數(shù)與負(fù)數(shù)，從而形成認(rèn)知沖突；其次，通過(guò)問(wèn)題3促使學(xué)生思考如何“創(chuàng)新”合適的代數(shù)量統(tǒng)一sin0的表達(dá)式，讓學(xué)生初步感受三角函數(shù)與動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)的關(guān)系，進(jìn)而自然且富有創(chuàng)造性地引入平面直角坐標(biāo)系，生成任意角三角函數(shù)的定義.

問(wèn)題4初中銳角三角函數(shù)的定義與該定義相符合嗎？

生5：符合.從點(diǎn) P 向坐標(biāo)軸作垂線構(gòu)造直角三角形，此時(shí)銳角三角函數(shù)的定義與上述定義內(nèi)涵一致.

師：類比任意角的正弦函數(shù)的定義，說(shuō)說(shuō)如何定義任意角的余弦函數(shù)和正切函數(shù)

生

師：很好！這樣我們就從水車轉(zhuǎn)動(dòng)問(wèn)題出發(fā)，借助平面直角坐標(biāo)系中任意角的終邊與圓的交點(diǎn)的坐標(biāo)關(guān)系，定義了任意角的三角函數(shù).這個(gè)定義就是任意角三角函數(shù)的終邊定義.

設(shè)計(jì)意圖問(wèn)題4意在引導(dǎo)學(xué)生體會(huì)數(shù)學(xué)概念發(fā)展的繼承性，即保持與原有概念相統(tǒng)一的特點(diǎn)，并在此基礎(chǔ)上不斷拓展深化．思考環(huán)節(jié)的設(shè)置，重點(diǎn)在于引導(dǎo)學(xué)生開(kāi)展類比學(xué)習(xí)，推廣已有知識(shí)，從而更深入地理解任意角三角函數(shù)的概念.

問(wèn)題5古希臘天文學(xué)家托勒密編制了從 0.5^° 到180間隔 0.5^° 的完整的弦表（弦長(zhǎng)的表格），相當(dāng)于計(jì)算出了從 0.25^° 到 90^° 的所有角的正弦值，那么，請(qǐng)思考：如何應(yīng)用任意角三角函數(shù)的定義能更快捷地制作弦表？

生7：取圓的半徑 r=1 ，就可以快速制作出弦表.

師：很好！當(dāng)半徑 _.r=1 時(shí)，正弦值就等于角的終邊與單位圓交點(diǎn)的縱坐標(biāo)，這個(gè)值就是弦表中需要的半弦長(zhǎng)

師：顯然，取半徑 _r=1 更便于三角函數(shù)的計(jì)算與研究，點(diǎn)的坐標(biāo)與點(diǎn)運(yùn)動(dòng)后的弧長(zhǎng)也都具有了更豐富的幾何意義．不妨將終邊定義發(fā)展為更為簡(jiǎn)潔的單位圓定義.

三角函數(shù)的定義：設(shè)0是一個(gè)任意角， θ∈R ，它的終邊OP與單位圓相交于點(diǎn) P（x，y） 那么， y 叫做θ的正弦函數(shù)，記作 sinθ ，即 γ=sinθ x 叫做e的余弦函數(shù)，記作 cosθ ，即 x=cosθ 叫做0的正切函數(shù)，記作 tanθ ，即 （x≠0） ）

設(shè)計(jì)意圖問(wèn)題5借助數(shù)學(xué)史中正弦函數(shù)值的應(yīng)用價(jià)值，引導(dǎo)學(xué)生思考并探索終邊定義的簡(jiǎn)化方法，自然推導(dǎo)出任意角三角函數(shù)的單位圓定義．通過(guò)這一過(guò)程，幫助學(xué)生理解該定義的應(yīng)用價(jià)值，初步感悟任意角三角函數(shù)值的幾何意義.

活動(dòng)2在運(yùn)用函數(shù)概念理解三角函數(shù)概念的基礎(chǔ)上，在弧度制下完成三角函數(shù)定義域的表格填寫任務(wù)，并將三角函數(shù)在各個(gè)象限內(nèi)的值的符號(hào)，填入對(duì)應(yīng)圖示的括號(hào)之中.

設(shè)計(jì)意圖引導(dǎo)學(xué)生從函數(shù)概念三要素的角度理解三角函數(shù)概念，明確三角函數(shù)的定義域；通過(guò)實(shí)際應(yīng)用三角函數(shù)定義，培養(yǎng)學(xué)生初步運(yùn)用能力，使其能夠借助數(shù)形結(jié)合思想，掌握三角函數(shù)值在各個(gè)象限的符號(hào)規(guī)律，從而深化對(duì)三角函數(shù)概念的理解與認(rèn)識(shí).

3.概念應(yīng)用，深化理解

例1結(jié)合三角函數(shù)單位圓定義，□答下列三角函數(shù)值.（1）sin450^°;（2）cos3π （2 例2 （1）求 的正弦、余弦和正切值;（2）已知角 α 的終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn) P（-3 ，-4），求角α的正弦、余弦和正切值.

設(shè)計(jì)意圖通過(guò)例1深化學(xué)生對(duì)任意角三角函數(shù)幾何意義的理解；通過(guò)例2深化學(xué)生對(duì)三角函數(shù)單位圓定義與終邊定義之間關(guān)系的認(rèn)知，借助相似三角形實(shí)現(xiàn)兩種定義的相互轉(zhuǎn)化，從而使學(xué)生深入理解兩種定義的特點(diǎn)與優(yōu)勢(shì).

例3判斷下列三角函數(shù)值的符號(hào)（不用求出具體值）.

（3）tan556o.

例4設(shè) sinθlt;0 且tan0gt;0，確定0是第幾象限的角.

設(shè)計(jì)意圖通過(guò)例3、例4，引導(dǎo)學(xué)生掌握正弦函數(shù)、余弦函數(shù)、正切函數(shù)的定義域，理解函數(shù)值在各個(gè)象限的符號(hào)變化規(guī)律，從而進(jìn)一步深化對(duì)三角函數(shù)概念的理解，體會(huì)數(shù)形結(jié)合思想在三角函數(shù)學(xué)習(xí)中的應(yīng)用.

思考

教學(xué)通過(guò)重構(gòu)歷史順序、創(chuàng)設(shè)問(wèn)題情境、凸顯單位圓的幾何意義，引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷三角函數(shù)概念發(fā)生發(fā)展的全過(guò)程，使其在歷史與現(xiàn)實(shí)的交匯中體會(huì)數(shù)學(xué)知識(shí)的生成邏輯．在教學(xué)過(guò)程中，首先運(yùn)用重構(gòu)式教學(xué)法，將歷史上三角函數(shù)概念的發(fā)展過(guò)程“圓弧所對(duì)弦長(zhǎng) $$ 圓弧所對(duì)半弦長(zhǎng) $$ 角度所對(duì)半弦長(zhǎng) $$ 直角三角形邊的比值一終邊定義 $$ 單位圓定義\"重構(gòu)為“終邊定義 $$ 單位圓定義”，以數(shù)學(xué)建模為主導(dǎo)，帶領(lǐng)學(xué)生經(jīng)歷三角函數(shù)概念發(fā)生發(fā)展的全過(guò)程；其次采用順應(yīng)式教學(xué)法，對(duì)歷史上的水車問(wèn)題進(jìn)行基于教學(xué)需求的創(chuàng)設(shè)，從特殊到一般，立足銳角三角函數(shù)與任意角三角函數(shù)概念的關(guān)聯(lián)，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)并提出相關(guān)問(wèn)題；最后運(yùn)用復(fù)制式教學(xué)法，借助歷史上托勒密編制弦表的情境，設(shè)計(jì)弦表制作問(wèn)題，引導(dǎo)學(xué)生簡(jiǎn)化三角函數(shù)概念，進(jìn)而引出單位圓定義．由此可見(jiàn)，融入數(shù)學(xué)史的教學(xué)，既能凸顯知識(shí)的生成過(guò)程，又能培養(yǎng)學(xué)生的批判性思維，還能發(fā)揮數(shù)學(xué)文化的育人價(jià)值，是數(shù)學(xué)學(xué)科德育的重要途徑.

參考文獻(xiàn)：

[1］陳曦，張海玲，王尚志.HPM視角下“任意角三角函數(shù)的概念\"教學(xué)研究[J].首都師范大學(xué)學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版），2014（12）：23-27.

[2］樊靜妮.正弦函數(shù)歷史研究及其在HPM中的應(yīng)用[D].西北大學(xué)，2013.

[3］江灼豪，何小亞.弧度制發(fā)展的歷史溯源[J].數(shù)學(xué)通報(bào)，2016，55（7）：14-17.

[4]汪曉勤，韓祥臨.中學(xué)數(shù)學(xué)中的數(shù)學(xué)史[M].北京：科學(xué)出版社，2002.