探究性教學(xué)是一種以學(xué)生為主體、教師為輔導(dǎo)的教學(xué)方法，它強(qiáng)調(diào)學(xué)生在教學(xué)過程中的主動參與和自主探究，教師則負(fù)責(zé)提供問題、情境、資源、指導(dǎo)和反饋，以幫助學(xué)生構(gòu)建和發(fā)現(xiàn)知識，培養(yǎng)學(xué)生的探究能力和創(chuàng)新能力[1].且在教學(xué)設(shè)計(jì)和實(shí)施中，要堅(jiān)持以數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)發(fā)展為導(dǎo)向，選取資源，設(shè)計(jì)情景，助力學(xué)生在活動中發(fā)現(xiàn)問題，在方案對比中提升評價(jià)能力，在知識的聯(lián)系過程中鞏固知識結(jié)構(gòu)，深化對概念的理解，形成以知識技能為明線，思想方法為暗線，明暗結(jié)合的探究性課堂，落實(shí)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的目標(biāo).

本文以“銳角三角函數(shù)”的概念學(xué)習(xí)為例，進(jìn)行單元教學(xué)設(shè)計(jì).首先，從具體的數(shù)學(xué)實(shí)踐活動中感知變量之間的關(guān)系；其次，明確具體問題后，進(jìn)行實(shí)驗(yàn)與證明；進(jìn)而，完成類比探究和應(yīng)用鞏固；最后，進(jìn)行交流反思，從整體上深化課標(biāo)中“三會”的目標(biāo)，促進(jìn)數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的發(fā)展.

1 問題背景

1. 1 知識發(fā)展背景

幾何知識由實(shí)際測量活動中產(chǎn)生，由簡單的直接測量，發(fā)展為有條件限制的間接測量，這其中涉及到轉(zhuǎn)化和計(jì)算.首先，可以借助圖形全等關(guān)系，轉(zhuǎn)化不可直接測量的問題為可直接測量；然后發(fā)現(xiàn)，根據(jù)圖形相似關(guān)系進(jìn)行計(jì)算，可以節(jié)省實(shí)測工作量；進(jìn)而發(fā)現(xiàn)直角三角形中角度與邊比之間的對應(yīng)關(guān)系后，可在單一圖形中完成測量工作，大大節(jié)省了構(gòu)圖過程.

知識的產(chǎn)生與實(shí)際需求密不可分，且具有連貫性.因此在教學(xué)設(shè)計(jì)中還原實(shí)踐活動場景，既有利于深化知識與實(shí)際的聯(lián)系，又能培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)和提出問題的能力，發(fā)展學(xué)生的創(chuàng)新意識.

1. 2 學(xué)生認(rèn)知背景

為了了解學(xué)生的實(shí)際“模型觀念”素養(yǎng)水平，設(shè)計(jì)了如下前測試題：

（1）你還記得“函數(shù)”的定義么？請?jiān)囍鴮懴聛?（2）關(guān)于函數(shù)，我們都研究了什么？請列舉出來.（3）我們學(xué)習(xí)函數(shù)的相關(guān)知識后，它有什么作用？（4）在“利用相似形測量樓高”的活動中，咱們班王強(qiáng)同學(xué)提出：使仰角為 45^° 時，觀測者到樓根的距離，加上觀測者的眼高就是樓的高度.請你評價(jià)一下這個方法的優(yōu)缺點(diǎn).

收回調(diào)查結(jié)果共65份.整合結(jié)果數(shù)據(jù)如下.

根據(jù)數(shù)據(jù)可以分析得出： ① 過往練習(xí)中，具體類型函數(shù)的題目過多，應(yīng)用函數(shù)概念的情景很少，所以對于函數(shù)概念的記憶和理解不到位； ② 經(jīng)常用到且時間較近的知識和技能比較熟悉，對于函數(shù)概念的回憶形成了干擾； ③ 學(xué)生對測樓高的實(shí)踐活動印象深刻，有利于發(fā)現(xiàn)直角三角形中銳角與任意兩邊比之間的關(guān)系.

基于以上背景，對銳角三角函數(shù)的概念教學(xué)環(huán)節(jié)設(shè)計(jì)如下： ① 從實(shí)踐中的不同方法對比出發(fā)，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)更優(yōu)的測量方法，培養(yǎng)學(xué)生用數(shù)學(xué)眼光觀察現(xiàn)實(shí)世界的意識； ② 通過類似情況的對比，引導(dǎo)學(xué)生抽象變量之間的關(guān)系，主動建立與函數(shù)概念的聯(lián)系，深化函數(shù)概念的理解，培養(yǎng)學(xué)生用數(shù)學(xué)方法表達(dá)現(xiàn)實(shí)世界的意識； ③ 經(jīng)歷實(shí)驗(yàn)過程，完成銳角三角函數(shù)的證明與應(yīng)用，提升自主探究能力，培養(yǎng)學(xué)生用數(shù)學(xué)方法思考現(xiàn)實(shí)世界的意識.

2基于探究性教學(xué)模式開展教學(xué)實(shí)踐

2.1 設(shè)置限制條件，培養(yǎng)“特殊 一般”的觀察意識

在“利用相似形測樓高”活動中，王強(qiáng)同學(xué)提出“仰角為 45^° 時，較為方便”，同學(xué)們給出的評價(jià)有“利用等量關(guān)系可減少計(jì)算\"“少構(gòu)造一個三角形”“對觀測位置有一定要求”.于是依據(jù)最后這個評價(jià)添加新條件：仰角 45^° 處有障礙物，還能否設(shè)計(jì)出同樣優(yōu)點(diǎn)的測量方案？

學(xué)生能夠提出，“尋找仰角為 30^° 或 60^° 角的方案”.此時配合板書的梳理（如圖1），可助力學(xué)生感知變量之間關(guān)系.然后引導(dǎo)學(xué)生思考更一般的情況：仰角 30^°，45^°，60^° 處都有障礙物時，怎么辦？學(xué)生最終能夠提出一般化的猜想：“在直角三角形中，給出一個銳角 ∠A 的度數(shù) 有唯一的值.”

2.2 設(shè)計(jì)實(shí)驗(yàn)步驟并實(shí)施，培養(yǎng)科學(xué)探索精神

《教育部關(guān)于加強(qiáng)和改進(jìn)中小學(xué)實(shí)驗(yàn)教學(xué)的意見》中指出，強(qiáng)化學(xué)生實(shí)踐操作，有助于培養(yǎng)學(xué)生的探索求知和創(chuàng)新精神，發(fā)展科學(xué)素養(yǎng)和意志品質(zhì)[2].

首先，學(xué)生給出初步的實(shí)驗(yàn)步驟設(shè)計(jì)： ① 任意畫一個銳角 ∠MAN：② 在邊 AM 上任取一點(diǎn) B ，過點(diǎn) B 作 BC⊥AN 于點(diǎn) c ③ 測量 BC 和 AC 的長，并計(jì)算 值； ④ 重復(fù) ②③ 數(shù)次，比較 的值，得出結(jié)論.

然后，對步驟進(jìn)行優(yōu)化.其中第 ① 步“任意畫一個銳角 ，可以分組畫不同的角度，提升實(shí)驗(yàn)效率；第 ③ 步需要測兩次線段的長，會增加誤差出現(xiàn)的幾率，所以考慮減少測量次數(shù)，將第 ② 步中的“在邊 AM 上任取一點(diǎn) B ”改為“在邊 AM 上取點(diǎn)B ，使得 AB=1cm，2cm，3cm^…，， ，這樣只測量一次AC 的長.學(xué)生分組按步驟進(jìn)行實(shí)驗(yàn).完成實(shí)驗(yàn)報(bào)告：

學(xué)生結(jié)論中出現(xiàn)此種情況：三次計(jì)算的 值不同，但給出結(jié)論“BC 為定值”.提示學(xué)生應(yīng)依據(jù)數(shù)據(jù)進(jìn)行總結(jié)，即調(diào)整為‘ 的值近似相等”或\"猜測 為定值”，引導(dǎo)學(xué)生樹立嚴(yán)謹(jǐn)?shù)目茖W(xué)精神.

2.3思考嚴(yán)謹(jǐn)?shù)淖C明方法，促進(jìn)核心素養(yǎng)發(fā)展

實(shí)驗(yàn)結(jié)果與猜想有差距，通過分析得出，應(yīng)是實(shí)測誤差導(dǎo)致，因此思考避免或減小誤差的方法，即借助信息技術(shù)（如幾何畫板）進(jìn)行實(shí)驗(yàn)，可以避免誤差的干擾，亦能實(shí)現(xiàn)動態(tài)觀察.

在實(shí)驗(yàn)過程中同學(xué)們還發(fā)現(xiàn)了經(jīng)典的相似三角形情況（如圖4），因此可以通過證明 ΔAB₁C₁° ΔAB₂C₂ ，得出 ，再通過比例性質(zhì)得 （204 完成演繹證明的同時，又鞏固了基礎(chǔ)知識和基本技能.

為方便使用，還需進(jìn)行定義和符號化表示，如圖5，從而引出正切的定義和符號.

一般地，在 RtΔABC 中， ∠C=90^° ，我們把銳角

∠A 的對邊與鄰邊的比叫做 ∠A 的正切值，記作

“tanA”.即 （20

再將結(jié)論“在直角三角形中，給出一個銳角 ∠A 的度數(shù)， 有唯一的值”與已有知識進(jìn)行聯(lián)系，學(xué)生能夠發(fā)現(xiàn)其符合函數(shù)的定義，因此我們可以將銳角 ∠A 的正切值定義為 ∠A 的銳角正切函數(shù).再類比得出 ∠A 的銳角正弦函數(shù)和銳角余弦函數(shù)，三者統(tǒng)稱為銳角三角函數(shù).

2.4 鞏固探究模式，梳理總結(jié)要點(diǎn)

初三階段的學(xué)生已經(jīng)掌握探究的基本步驟，因此積累探究經(jīng)驗(yàn)是每一次探究活動的要點(diǎn).通過設(shè)置以下問題，引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注要點(diǎn)：銳角三角函數(shù)的自變量和函數(shù)值分別是什么量？我們是如何發(fā)現(xiàn)他們之間關(guān)系的？這次實(shí)驗(yàn)過程中，又有哪些要點(diǎn)值得我們注意？

通過思考與書寫，引導(dǎo)學(xué)生回顧問題的發(fā)現(xiàn)和提出過程，深化學(xué)生“特殊- 一般”的探究意識，培養(yǎng)學(xué)生實(shí)事求是的科學(xué)實(shí)驗(yàn)精神；鞏固知識間的聯(lián)系性，發(fā)展推理能力，激發(fā)學(xué)生主動觀察和探究現(xiàn)實(shí)世界的熱情.

3學(xué)生自主探究教學(xué)的實(shí)踐反思

數(shù)學(xué)教學(xué)要能“啟迪學(xué)生主動積極思維、引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會思考，使學(xué)生的數(shù)學(xué)思維得以發(fā)展，讓學(xué)生的數(shù)學(xué)知識、經(jīng)驗(yàn)和能力得以生長.\"[3]而連貫的情景體系，有利于學(xué)生在持續(xù)思考中發(fā)現(xiàn)和提出問題，在實(shí)踐活動中強(qiáng)化知識方法間的聯(lián)系，在質(zhì)疑辨析中積累探究經(jīng)驗(yàn).

3.1合理利用知識生成背景，整體把握教材內(nèi)容

通過梳理幾何知識的生成過程，設(shè)計(jì)連貫的任務(wù)情景，有利于促進(jìn)學(xué)生的持續(xù)思考，養(yǎng)成“特殊 - 一般”的探索意識，培養(yǎng)從現(xiàn)實(shí)世界中發(fā)現(xiàn)和提出問題的能力.引導(dǎo)學(xué)生梳理銳角正切函數(shù)的發(fā)現(xiàn)、證明、應(yīng)用過程，然后自主類比探究銳角的正弦、余弦函數(shù)，培養(yǎng)學(xué)生自主探究的能力和科學(xué)的探究精神.

3.2 深入挖掘?qū)W生認(rèn)知問題，實(shí)現(xiàn)核心素養(yǎng)發(fā)展

函數(shù)概念是數(shù)學(xué)中的重要概念.深刻的理解函數(shù)概念，不僅有利于初高中的知識銜接，更能提升解決問題能力和促進(jìn)創(chuàng)新意識發(fā)展.相比一次、二次、反比例函數(shù)中自變量與函數(shù)之間的關(guān)系，銳角三角函數(shù)的函數(shù)值，無法通過對應(yīng)的銳角角度計(jì)算獲得.因此通過銳角三角函數(shù)的探究過程，可以強(qiáng)化對于函數(shù)概念的理解，是對初中階段函數(shù)學(xué)習(xí)的一次收官總結(jié)，同時經(jīng)歷完整的模型建構(gòu)過程，促進(jìn)模型觀念的發(fā)展.

參考文獻(xiàn)：

[1]史建英.“以學(xué)為中心”的初中數(shù)學(xué)探究式教學(xué)策略探究[J].數(shù)理天地（初中版），2024（22）：75—78.

[2]教基[2019]16號.關(guān)于加強(qiáng)和改進(jìn)中小學(xué)實(shí)驗(yàn)教學(xué)的意見[z].

[3]曹一鳴.新課程標(biāo)準(zhǔn)解析與教學(xué)指導(dǎo).初中數(shù)學(xué)[M].北京：北京師范大學(xué)出版社，2022.