［摘" 要］ 新課改背景下的數(shù)學(xué)教學(xué)不再滿足于知識與技能的掌握程度，而更關(guān)注學(xué)力的發(fā)展情況. 在課堂中，如何引導(dǎo)學(xué)生從無到有進行正確的數(shù)學(xué)思考，獲得良好的學(xué)習(xí)能力呢？研究者以“橢圓的方程”教學(xué)為例，從以下幾個方面展開教學(xué)設(shè)計與思考：APOS理論指導(dǎo)，親歷實操活動；基于認知經(jīng)驗，預(yù)設(shè)探索途徑；應(yīng)用分層教學(xué)，滿足實際需要；借助問題引導(dǎo)，揭露知識本質(zhì).

［關(guān)鍵詞］ 怎么學(xué)；學(xué)習(xí)能力；橢圓

核心素養(yǎng)集中體現(xiàn)了學(xué)科教育的核心價值，是學(xué)生形成關(guān)鍵能力、必備品質(zhì)以及正確價值觀的體現(xiàn). 在教育全面深化改革的當(dāng)下，想盡一切辦法培育學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)，已然成為廣大數(shù)學(xué)教師的共識. 《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020年修訂）》明確指出數(shù)學(xué)教學(xué)要緊扣知識的內(nèi)涵與本質(zhì)，引導(dǎo)學(xué)生在數(shù)學(xué)思考中實現(xiàn)從無到有的轉(zhuǎn)變，掌握具體的學(xué)習(xí)方法. 實踐證明，教會學(xué)生怎么學(xué)是實施課程教育的核心，是激發(fā)學(xué)生從無到有、提高學(xué)習(xí)能力的關(guān)鍵.

教學(xué)分析

橢圓是圓錐曲線章節(jié)的內(nèi)容. 學(xué)生在課前就已經(jīng)接觸了直線與圓的相關(guān)知識，對解析幾何的常規(guī)研究思想和方法有了初步的掌握. 若能規(guī)范對橢圓的研究，并將研究思想與方法提煉出來，將對后續(xù)研究的深入和知識的拓展起到示范和引導(dǎo)的作用. 鑒于此，教師可基于學(xué)生已有的認知和經(jīng)驗，有意識地引導(dǎo)學(xué)生從無到有進行思考，從而構(gòu)建一套相對系統(tǒng)的探索解析幾何的通用方法. 基于上述分析，筆者結(jié)合學(xué)生學(xué)情設(shè)計了相應(yīng)的教學(xué)過程.

教學(xué)過程設(shè)計

1. APOS理論指導(dǎo)，親歷實操活動

APOS理論由美國數(shù)學(xué)家杜賓斯基等人創(chuàng)立，該理論致力于概念學(xué)習(xí)過程的探索，對數(shù)學(xué)概念的教學(xué)具有指導(dǎo)意義. APOS理論認為，學(xué)習(xí)者在學(xué)習(xí)概念的過程中需經(jīng)歷一個完整的心理建構(gòu)過程，此過程包含操作或活動階段、過程階段、對象階段和概型階段，強調(diào)概念教學(xué)可基于學(xué)生的認知水平實施反省抽象和思維運算，讓學(xué)生學(xué)會從綜合的角度來審視概念所具備的背景和形式定義等，為揭露概念的內(nèi)涵與外延奠定基礎(chǔ). 將APOS理論應(yīng)用到橢圓方程的教學(xué)中，可讓學(xué)生從根本上理解什么是橢圓的方程，并在動手畫橢圓的過程中，對橢圓形成深刻理解.

活動安排：課前準(zhǔn)備好圓形紙張，課堂上在圓形紙張內(nèi)任意取點F（非圓心），將紙片進行翻折，讓其邊緣經(jīng)過點F后再展開，由此獲得折痕l（用筆勾勒）. 如圖1所示，多次重復(fù)上述步驟，勾勒出多條折痕，分析所獲得的折痕輪廓可能為一個什么曲線.

從勾勒的折痕來看，學(xué)生初步判斷形成的曲線是橢圓. 那么，如何確定這個結(jié)論是否準(zhǔn)確呢？在教師的引導(dǎo)下，學(xué)生進行了相應(yīng)驗證：探尋折痕上的哪個點是構(gòu)成橢圓曲線的點，并分析該點滿足什么條件.

剛開始，學(xué)生面對這些眼花繚亂的折痕有點手足無措，但在這個問題的引導(dǎo)下，瞬間就發(fā)現(xiàn)了問題的本質(zhì)——探尋折痕上形成橢圓的點.

為了讓學(xué)生更清晰地理解這個問題，教師利用幾何畫板進行折痕演示，引導(dǎo)學(xué)生通過直觀觀察來發(fā)現(xiàn)橢圓的形成過程. 幾何畫板的使用以學(xué)生為主體，要求學(xué)生通過觀察和思考操作結(jié)論，將對折疊活動的直觀感知逐步深化為理論層面的理解.

折紙活動是揭示橢圓起源及其性質(zhì)的一個關(guān)鍵途徑，該途徑操作簡單且易于掌握，因此它常被用于課堂教學(xué)中. 然而，折疊和畫線的過程較為緩慢，且折疊次數(shù)受到限制. 在教育信息化的當(dāng)下，教師可以帶領(lǐng)學(xué)生通過觀察幾何畫板的演示，形成更加直觀和深刻的印象. 同時，教師還可以鼓勵學(xué)生將動手操作的內(nèi)容通過幾何畫板自主展現(xiàn)出來. 結(jié)合這兩種方法，讓學(xué)生親身體驗橢圓的形成過程，從而激發(fā)他們的探索興趣，并推動他們積極參與后續(xù)的探究活動.

設(shè)計意圖 新課改的推行促使教師不得不跟上時代的步伐，摒棄傳統(tǒng)的“灌輸式”教學(xué)模式，引導(dǎo)學(xué)生在自由、民主的氛圍下進行深入探索. APOS理論的介入，讓橢圓概念的探索變得更加具體、明朗、有趣，使學(xué)生在此過程中培養(yǎng)了用客觀事實解決數(shù)學(xué)問題的能力.

2. 基于認知經(jīng)驗，預(yù)設(shè)探索途徑

從認知結(jié)構(gòu)遷移理論的角度來看，任何有意義的學(xué)習(xí)都是在已有的認知結(jié)構(gòu)之上建立的，此為意義學(xué)習(xí)的根本，不存在脫離原有認知經(jīng)驗的學(xué)習(xí)過程. 這里所提到的有意義的學(xué)習(xí)主要涉及以認知結(jié)構(gòu)作為中介的知識遷移，即將原有認知經(jīng)驗與新知學(xué)習(xí)有機地融于一體，通過知識的遷移來構(gòu)建新的知識體系.

剖析學(xué)生在本節(jié)課之前所具備的認知結(jié)構(gòu)，可知“圓的方程”是他們已經(jīng)掌握的知識. 將探索圓方程的方法遷移到橢圓方程的探索中來，能起到事半功倍的效果. 在學(xué)生構(gòu)建出橢圓圖形的基礎(chǔ)上，教師可以提出以下問題來啟發(fā)學(xué)生進行思考.

師：我們已經(jīng)了解了橢圓的形成過程，那么接下來我們應(yīng)該研究什么呢？

此為一個具有啟發(fā)性與導(dǎo)向性的問題. 在這個問題的啟發(fā)下，學(xué)生將他們先前對圓的研究經(jīng)驗與知識，自然而然地遷移到橢圓的探索中來，從而自主地構(gòu)建起探索的思路. 以下是師生之間的溝通過程.

生1：我認為探索完橢圓的定義之后，應(yīng)該探索橢圓的方程了.

師：說說你的想法.

生1：在研究圓的過程中，我們首先探索了圓的定義，隨后研究了圓的方程. 基于此，我認為橢圓的研究路徑應(yīng)該與圓相似.

師：這個想法不錯. 在獲得了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程之后，接下來該怎么辦呢？

生2：可通過探索直線與橢圓的位置關(guān)系，進一步深化對橢圓相關(guān)知識的理解.

生3：除了探索直線與橢圓的位置關(guān)系，我認為還可以研究橢圓與其他曲線，例如橢圓、雙曲線、拋物線等，存在怎樣的位置關(guān)系.

師：非常好！從大家的討論中可以看出，你們的想法受到了對“圓”的探索的啟發(fā). 但這里有一點需要注意：當(dāng)我們得到橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程之后，首要任務(wù)是探索橢圓的幾何性質(zhì)，而非橢圓與其他曲線的位置關(guān)系. 誰能說一說這是為什么呢？

生4：由于我們尚未研究橢圓的性質(zhì)，因此必須先明確這些性質(zhì)，才能進一步探索它與其他曲線的位置關(guān)系.

師：很好，這就是解析幾何所具備的學(xué)科特性，即用代數(shù)法來探索幾何對象，通常遵循“定義—方程—性質(zhì)—位置關(guān)系”的研究流程.

設(shè)計意圖 設(shè)問與追問的應(yīng)用，促使學(xué)生調(diào)取自身已有的認知經(jīng)驗，羅列出探索解析幾何問題的一般流程，為后續(xù)探索更多問題提供了思路參考. 從學(xué)生的表現(xiàn)來看，大多數(shù)學(xué)生都能準(zhǔn)確預(yù)設(shè)課堂走向，說明他們具備良好的推理能力. 在教師和學(xué)生的共同努力與探索下，學(xué)生自主構(gòu)建了深入研究橢圓的基本思路. 此環(huán)節(jié)的設(shè)計遵循了“以生為本”的理念，不僅揭示了建構(gòu)主義理論對數(shù)學(xué)教學(xué)的重要作用，還幫助學(xué)生提煉了相應(yīng)的數(shù)學(xué)思想方法.

3. 應(yīng)用分層教學(xué)，滿足實際需要

個體差異是不可避免的. 基于學(xué)生的實際認知水平和學(xué)習(xí)能力，實施科學(xué)的分組策略，并加強合作學(xué)習(xí)，能夠有效地提升所有學(xué)生的思維能力，使每位學(xué)生都能掌握學(xué)習(xí)方法，并在學(xué)習(xí)過程中取得顯著進步. 將分層教學(xué)與科學(xué)分組合作相結(jié)合，依據(jù)學(xué)生的學(xué)習(xí)情況設(shè)計教學(xué)內(nèi)容和方向，可以初步規(guī)劃課堂教學(xué)的基本進度，同時為個性化處理一些突發(fā)情況打下堅實的基礎(chǔ).

所有學(xué)生均認同上述兩種方法，為了讓學(xué)生能從他人的思路中獲得啟示，從真正意義上“學(xué)會學(xué)習(xí)”，教師根據(jù)學(xué)生的具體情況，要求他們分析上述兩個方程的共同點. 經(jīng)過思考，學(xué)生迅速指出兩個方程的共同點在于“平移”. 這一發(fā)現(xiàn)的主要原因在于這兩個方程極為相似，只有一個符號不一樣，因此可以運用在探索三角函數(shù)圖象時所采用的平移的方法來分析問題.

師：若選擇其他的點作為坐標(biāo)系的原點，則橢圓的方程會是怎樣的呢？

一石激起千層浪，學(xué)生迅速被這個問題所吸引.

設(shè)計意圖 分層教學(xué)模式的實施，為學(xué)生的思維搭建了堅實平臺. 在對問題的分析與探索過程中，學(xué)生不僅獲得了良好的“三會”能力，還進一步加深了對知識間聯(lián)系重要性的體會，為知識的融會貫通奠定了基礎(chǔ). 由此可見，分層教學(xué)是促使深度學(xué)習(xí)發(fā)生的關(guān)鍵.

4. 借助問題引導(dǎo)，揭露知識本質(zhì)

概念的特征越鮮明，學(xué)生理解起來就越容易；反之，若非本質(zhì)特征繁多，學(xué)生在理解與接受概念時會遇到更多困難. 創(chuàng)設(shè)豐富的問題情境，能夠引導(dǎo)學(xué)生從多角度和不同視角發(fā)掘概念的核心特征，從而為知識的遷移和應(yīng)用打下堅實的基礎(chǔ). 實際上，創(chuàng)設(shè)問題情境，就是將問題的核心內(nèi)容暴露出來，讓學(xué)生在“變”中發(fā)現(xiàn)“不變”，并通過類比對知識的形成過程產(chǎn)生明確的認識. 從某種意義上來說，這種模式可有效提升學(xué)力.

鑒于對方程與具體橢圓之間的對應(yīng)關(guān)系還不夠了解，教師可適當(dāng)變形原有的方程，以不斷訓(xùn)練學(xué)生的識別能力，從而守住學(xué)習(xí)成果，提高學(xué)生對問題關(guān)鍵要素的識別能力.

生7：通過分析方程的推導(dǎo)過程，我們可以根據(jù)x2與y2的分母大小來判斷焦點位于哪個坐標(biāo)軸.

師：的確，看來大家對橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的探究和歸納做得不錯. 今后，當(dāng)我們面對新的探索課題時，首要任務(wù)是從其特性入手進行細致觀察，以便更深入地理解和掌握.

設(shè)計意圖 問題引導(dǎo)與類比分析是課堂教學(xué)的基本策略. 在此環(huán)節(jié)中，在教師的循循善誘下，學(xué)生借助類比法不僅深入理解了知識的本質(zhì)，還培養(yǎng)了良好的探究能力，提煉了相應(yīng)的數(shù)學(xué)思想方法，學(xué)會了怎么學(xué)，達成了預(yù)期的教學(xué)目標(biāo).

數(shù)學(xué)教學(xué)的核心在于引導(dǎo)學(xué)生掌握學(xué)習(xí)方法，關(guān)鍵在于引導(dǎo)他們經(jīng)歷“從無到有”的知識探索過程. 作為課堂的引路人，教師應(yīng)始終將學(xué)生的“學(xué)”置于教學(xué)的中心位置，使學(xué)生通過學(xué)習(xí)特定的知識點，掌握探索同類知識的能力，這是提高學(xué)生學(xué)習(xí)能力的關(guān)鍵.

總之，關(guān)注學(xué)生的元認知發(fā)展，引導(dǎo)學(xué)生“從無到有”構(gòu)建良好的學(xué)習(xí)方法，是“教會學(xué)生怎么學(xué)”的關(guān)鍵，也是培養(yǎng)學(xué)生終身可持續(xù)發(fā)展能力的核心.