摘"要：

隨著新高考改革的全面開展，2024年高考數(shù)學(xué)試卷題目總量由22題減至19題，使得試卷結(jié)構(gòu)更加靈活，對于學(xué)生思維過程與思維能力的考查更加突出.解析幾何作為高考內(nèi)容的重要組成部分，重“代數(shù)解析”輕“幾何特征”的解題方式已不符合新高考重思維考查的要求，應(yīng)探尋借助幾何直觀、剖析圖形特征、實現(xiàn)運算縮減、深化理性思考的問題解決路徑，以促使學(xué)生幾何直觀能力得到提升，促進學(xué)生理性思維的有效發(fā)展．

關(guān)鍵詞：幾何直觀；解析幾何；數(shù)學(xué)運算；理性思考

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標準（2022年版）》指出幾何直觀的內(nèi)涵為“運用圖表描述和分析問題的意識與習(xí)慣”^［1］；《普通高中數(shù)學(xué)課程標準（2017年版2020年修訂）》提出以幾何直觀和空間想象為核心的直觀想象核心素養(yǎng)，它主要包括“利用圖形描述、分析數(shù)學(xué)問題；建立形與數(shù)的聯(lián)系，構(gòu)建數(shù)學(xué)問題的直觀模型，探索解決問題的思路”^［2］；我國數(shù)學(xué)教育專家孔凡哲、史寧中指出“幾何直觀是學(xué)習(xí)者在直觀感知的事物基礎(chǔ)上形成的理性思考”^［3］；數(shù)學(xué)教育家王尚志將幾何直觀歸納為一種想象力，主要是“依托和利用圖形進行數(shù)學(xué)的思考和想象”^［4］.總之，幾何直觀就是借助幾何圖形的直觀特征將抽象的數(shù)學(xué)問題與直觀的圖形語言聯(lián)系起來，通過數(shù)形結(jié)合，找到解決問題的最佳路徑，實現(xiàn)以簡馭繁的問題分析與問題解決．本文以九省聯(lián)考和2024年數(shù)學(xué)新高考I卷中解析幾何解答題為例，探尋借助幾何直觀、剖析圖形特征、實現(xiàn)運算縮減、深化理性思考的問題解決路徑，以促使學(xué)生幾何直觀能力得到提升，促進學(xué)生理性思維的有效發(fā)展．

1"案例分析

例1"（2024年九省聯(lián)考數(shù)學(xué)第18題）已知拋物線C：y²＝4x的焦點為F，過F的直線l交C于A，B兩點，過F與l垂直的直線交C于D，E兩點，其中B，D在x軸上方，M，N分別為AB，DE的中點.

（1）證明：直線MN過定點.

（2）設(shè)G為直線AE與直線BD的交點，求△GMN面積的最小值．

解法1：（1）直線MN過定點（3，0），證明過程略.

（2）先求直線MN的方程.設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），D（x₃，y₃），E（x₄，y₄），直線l的方程為x＝my＋1（不妨令m＞0），由x＝my＋1，

y²＝4x，得y²－4my－4＝0，

則有Δ＞0，y₁＋y₂＝4m，y₁y₂＝－4，得M（2m²＋1，2m），同理得y₃＋y₄＝－4m，y₃y₄＝－4，N（2m²＋1，－2m），故直線MN的方程為mx－（m²－1）·y－3m＝0.直線AE的方程為y＝y(tǒng)₄－y₁x₄－x₁（x－x₁）＋y₁，又y²₁＝4x₁，y²₄＝4x₄，化簡得y＝4y₁＋y₄x＋y₁y₄y₁＋y₄，同理可得直線BD的方程為y＝4y₂＋y₃x＋y₂y₃y₂＋y₃，聯(lián)立兩直線方程得x_G＝y(tǒng)₁y₂y₃＋y₂y₃y₄－y₁y₂y₄－y₁y₃y₄4（y₂＋y₃－y₁－y₄），又y₁y₂＝y(tǒng)₃y₄＝－4，故x_G＝－4y₃－4y₂＋4y₄＋4y₁4（y₂＋y₃－y₁－y₄）＝－1，將其代入直線AE的方程得y_G＝y(tǒng)₁y₄－4y₁＋y₄.由方程y²－4my－4＝0，解得y₁＝2m－2m²＋1，同理可得y₄＝－2m－21m²+1，代入化簡可得y_G＝2（m－1）m＋1，所以點G的坐標為－1，2（m－1）m＋1.求△GMN的面積.點G到直線MN的距離d＝|2m²＋2 |m²＋（m²－1）²＝2（m²＋1）m⁴－m²＋1，由弦長公式或兩點間距離公式可得MN＝2（m²＋1）m⁴－m²＋1m²，故△GMN的面積S＝12d·MN＝12·2（m²＋1）m⁴－m²＋1·2（m²＋1）m⁴－m²＋1m²＝2（m²＋1）²m²＝2m²＋1m²＋2≥8，當且僅當m＝1時，△GMN的面積取得最小值8．

解法2：（1）略.（2）先進行等積轉(zhuǎn)化.記線段AD的中點為H，直線GM與AD的交點為S，由H，M分別為AD，AB的中點可得MH∥DG，則有S△GHD＝S△GMD，故有S△GHS＝S△SMD，記直線GN與AD的交點為T，同理可得S△GHT＝S△TNA，故有S△GMN＝S四邊形ADMN＝12AM·DN＝18AB·DE.設(shè)直線l的方程為x＝my＋1，由x＝my＋1，

y²＝4x，得y²－4my－4＝0，設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），D（x₃，y₃），E（x₄，y₄），則有Δ＞0，y₁＋y₂＝4m，y₁y₂＝－4，則AB＝1＋m²"|y₁－y₂|＝4（1＋m²），同理可得DE＝41m²＋1，故有S△GMN＝18×4（1＋m²）×41m²＋1＝2m²＋1m²＋2≥8，當且僅當m＝1時，△GMN的面積取得最小值8．

評析：九省聯(lián)考數(shù)學(xué)測試卷的第18題在師生間引起了巨大反響.本題以解析幾何中的拋物線為基本問題情境，考查拋物線與直線的位置關(guān)系與度量關(guān)系，考查所形成圖形面積的最值問題，考查學(xué)生的“四基四能”、幾何直觀能力與數(shù)學(xué)運算素養(yǎng).其中第（2）問設(shè)計巧妙，“想得到”與“想不到”的計算量懸殊，如果延續(xù)第（1）問的解題思路，采用解析幾何的常規(guī)方法先聯(lián)立方程得到M，N兩點的坐標，求得直線MN的方程及線段MN的長度，再聯(lián)立直線AE與BD的方程求出交點G的坐標及點G到直線MN的距離，最后寫出△GMN面積的表達式以求得最小值，那么作答過程非常繁雜，很難完成解答；若學(xué)生在緊張的考試中能夠“停一停、想一想”，巧妙地結(jié)合平面幾何中三角形面積全等的知識，采用等量代換的方法，就能獲得S△GMN＝S四邊形ADMN，從而比較輕松地完成△GMN面積最小值的求解．

例2"（2024年數(shù)學(xué)新高考Ⅰ卷第16題）已知點A（0，3）和點P3，32分別為橢圓C：x²a²＋y²b²＝1 （a＞b＞0）上兩點.

（1）求C的離心率.

（2）若過P的直線l交C于另一點B，且△ABP的面積為9，求l的方程．

解法1：（1）C的離心率為12，求解過程略.

（2）先聯(lián)立方程，求得弦長PB.橢圓C的方程為x²12+y²9=1.當直線l的斜率不存在時，直線l的方程為x＝3，此時B3，－32，S△ABP＝92≠9，不符合題意，舍去；當直線l的斜率存在時，直線l的方程可設(shè)為y－32＝k（x－3），即為y＝kx＋32－3k，由y＝kx＋32－3k，

x²12+y²9=1，得到（3＋4k²）x²＋12k（1－2k）x＋36k²－36k－27＝0，設(shè)點B（x₁，y₁），則有Δ＞0，x₁＋3＝12k（2k－1）3＋4k²，3x₁＝36k²－36k－273＋4k²，則有PB＝1＋k²|x₁－3|＝61＋k²|2k＋3|3＋4k².通過面積列方程.點A到直線的距離d＝3|2k＋1|21＋k²，則有S△ABP＝12PB·d＝12·61＋k²|2k＋3|3＋4k²·3|2k＋1|21＋k²＝9，化簡得|（2k＋1）·（2k＋3）|＝2（3＋4k²）.聯(lián)立求l的方程.

由

（2k＋1）（2k＋3）≥0，

（2k＋1）（2k＋3）＝2（3＋4k²）

或（2k＋1）（2k＋3）＜0，

－（2k＋1）（2k＋3）＝2（3＋4k²），解得k＝12或k＝32，故直線l的方程為y＝12x或y＝32x－3．

解法2：（1）略.

（2）以AP為底，得到高.由A，P兩點坐標可求得直線AP的方程為x＋2y－6＝0，同時得到AP＝352，又S△ABP＝12AP·h，故有h＝1255，即點B到直線AP的距離為1255.通過方程組求點B的坐標，繼而求出直線l的方程.設(shè)B（x₁，y₁），則有|x₁＋2y₁－6|5＝1255，

x²₁12+y²₁9=1，化簡得x₁＋2y₁＝－6，

3x²₁＋4y²₁＝36或x₁＋2y₁＝18，

3x²₁＋4y²₁＝36，解得x₁＝0，

y₁＝－3或x₁＝－3，

y₁＝－32，故有B（0，－3）或B－3，－32，所以直線l的方程為y＝12x或y＝32x－3．

評析：歷年高考全國卷的解析幾何解答題始終保持著淡化解題技巧、依托基礎(chǔ)知識考查通性通法的特色，對學(xué)生的“四基四能”、幾何直觀能力、邏輯推理和數(shù)學(xué)運算素養(yǎng)等進行全面考查.此題在知識層面對橢圓的標準方程、橢圓的幾何性質(zhì)、直線與橢圓的位置關(guān)系、面積等進行考查，在能力與數(shù)學(xué)思想層面對幾何直觀能力、數(shù)形結(jié)合思想、推理與運算能力、轉(zhuǎn)化與化歸思想等進行了考查，體現(xiàn)了新高考尤其注重學(xué)生能力提升與素養(yǎng)發(fā)展的命題導(dǎo)向.其中第（2）問，如果學(xué)生不依據(jù)圖形進行深度思考，而直接借助平時的解題經(jīng)驗引入直線l的方程進行解題，那么聯(lián)立方程和最終的含絕對值方程求解這兩步計算量巨大，對學(xué)生的運算能力和應(yīng)試心理都是一個挑戰(zhàn)；如果學(xué)生具備一定的幾何直觀能力，有意識地分析圖形，尋找圖形特征，便能發(fā)現(xiàn)以AP為底，則三角形的底與高均為定值，接下來借助方程組便可得到點B的坐標，繼而求出直線l的方程，使得問題解決的運算量銳減，這樣才符合學(xué)生對于解決16題的運算方面和用時方面的心理預(yù)期．

在2024年高考中，筆者所執(zhí)教班級學(xué)生人數(shù)為47人，數(shù)學(xué)單科班級平均分為117.4分，通過調(diào)查發(fā)現(xiàn)，采用解法1作答本題的學(xué)生數(shù)為32人，其余15人采用解法2或者其他做法，采用解法1的學(xué)生占比約為68％；班級數(shù)學(xué)得分超過120分的人數(shù)為21人，其中采用解法1且得分超過120分的學(xué)生人數(shù)為12人，占比約為57％.學(xué)生反映，在考場上比較緊張，便不加思索直接設(shè)直線l的方程進行解題，后來發(fā)現(xiàn)聯(lián)立方程時計算量略大，但也只能硬著頭皮做下去，或沒有做出來，使得后面的題目無法冷靜思考，這兩種結(jié)果都直接促使學(xué)生應(yīng)試水平遠低于真實水平.與學(xué)生深入交流發(fā)現(xiàn)，選擇解法1的原因有以下兩個：其一為依賴平時的解題經(jīng)驗，解析幾何解答題用“直譯法”作答過太多次，解法根深蒂固；其二為缺乏幾何直觀能力，雖有九省聯(lián)考的“教訓(xùn)”在前，但還是沒有養(yǎng)成先去剖析圖形特征尋找最佳解題路徑的習(xí)慣，僅僅停留在識圖表象.由此可見，在幾何章節(jié)新授課教學(xué)中，教師應(yīng)注重引導(dǎo)學(xué)生剖析幾何圖形特征，利用圖形特征進行數(shù)學(xué)問題的想象、思考與解決，提升幾何直觀能力；還應(yīng)摒棄經(jīng)驗教學(xué)與機械刷題模式，注重數(shù)學(xué)思考與思維品質(zhì)提升，讓充滿靈活性、深刻性、邏輯性、批判性、創(chuàng)新性的理性思考過程發(fā)生在每一個問題解決之前．

2"結(jié)語

當今社會是信息化、數(shù)字化、智能化高速發(fā)展的時代，社會需要高中教育為大學(xué)教育輸送具有探索精神、創(chuàng)新意識和拔尖學(xué)習(xí)能力的優(yōu)秀學(xué)子作為社會建設(shè)的儲備力量.幾何直觀作為高中生必備能力之一，既可以促使學(xué)生更好地理解探索數(shù)學(xué)學(xué)科本質(zhì)，又可以促進學(xué)生創(chuàng)新思維與發(fā)散思維的發(fā)展，應(yīng)引起廣大師生的重視與思考．

參考文獻

［1］ 中華人民共和國教育部.義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標準（2022年版）［M］.北京：北京師范大學(xué)出版社，2022．

［2］ 中華人民共和國教育部.普通高中數(shù)學(xué)課程標準（2017年版2020年修訂）［M］.北京：人民教育出版社，2020．

［3］孔凡哲，史寧中.關(guān)于幾何直觀的含義與表現(xiàn)形式——對《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標準（2011 年版）》的一點認識［J］.課程·教材·教法，2012（7）：92-97.

［4］王尚志，胡鳳娟.理解把握數(shù)學(xué)課程中的核心概念（一）——《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標準（2011 年版）》解析之三［J］.小學(xué)數(shù)學(xué)教育，2012（Z2）：8-11.