摘"要：涉及直線與圓錐曲線的位置關(guān)系及其綜合應(yīng)用的問題，特別是其中的相交或相切問題，設(shè)計形式新穎，一直是高考命題中的一個創(chuàng)新應(yīng)用熱點.因此，本文結(jié)合一道直線與拋物線的相交、相切問題，從解析視角與幾何視角來切入，合理剖析與應(yīng)用，歸納總結(jié)解題技巧與策略，總結(jié)一般性結(jié)論與變式拓展，旨在引領(lǐng)并指導(dǎo)數(shù)學(xué)教學(xué)與解題研究．

關(guān)鍵詞：拋物線；直線；切線；平行；坐標(biāo)

在解析幾何模塊知識中，涉及直線與圓錐曲線的位置關(guān)系及其綜合應(yīng)用的問題，設(shè)計形式多樣、新穎，一直是高考命題中的一個基本考點，也是全面體現(xiàn)考生“四基”與“四能”的一個重要場所.其中涉及直線與圓錐曲線的相交或相切問題，內(nèi)涵豐富，背景創(chuàng)新，是圓錐曲線知識模塊中綜合考查的一個基本點，變化多端，形式多變，備受各方關(guān)注．

1"問題呈現(xiàn)

（2024年安徽省示范高中皖北協(xié)作區(qū)高三聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷第14題）已知拋物線C：y²=4x的焦點為F，過F的直線l與C交于A，B兩點.過A作C的切線m及平行于x軸的直線m′，過F作平行于m的直線交m′于M，過B作C的切線n及平行于x軸的直線n′，過F作平行于n的直線交n′于N.若|AM|－|BN|=83，則點A的橫坐標(biāo)為""""．

分析：此題以拋物線為載體，結(jié)合直線與拋物線的位置關(guān)系、拋物線的焦點弦以及線段的長度關(guān)系等設(shè)置，進而確定對應(yīng)定點的坐標(biāo)問題．

在實際解決問題中，可以從平面解析幾何的基本知識切入，利用設(shè)線思維與設(shè)點思維來轉(zhuǎn)化與應(yīng)用；也可以從平面幾何的直觀形象切入，利用幾何思維來直觀分析與邏輯推理等.這是解決此類問題中比較常見的一些基本技巧與方法．

2"問題破解

2.1"設(shè)線思維

方法1：設(shè)線法1.

由題易知直線l的斜率存在且不為0，設(shè)直線l的方程為y=k（x－1）（k≠0），代入拋物線C：y²=4x，整理可得k²x²－2（k²+2）x+k²=0．

設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則有x₁gt;0，x₂gt;0，x₁x₂=1①.

不妨設(shè)點A在x軸上方，由于y=2x¹²"，則有y′=1x．

結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義知直線m的斜率為y′|x=x₁=1x₁，所以直線m的方程為y－2x¹²₁=1x₁（x－x₁），此時直線m與x軸的交點是A′（－x₁，0），所以|A′F|=|AM|=x₁+1．

同理可得直線n與x軸的交點是B′（－x₂，0），所以|B′F|=|BN|=x₂+1．

由于|AM|－|BN|=83，則有x₁－x₂=83②.

聯(lián)立①和②，解得x₁=3，x₂=13，所以點A的橫坐標(biāo)為3，故填答案3．

方法2：設(shè)線法2.

設(shè)直線l的方程為x=sy+1，代入拋物線C：y²=4x，整理可得y²－4sy－4=0．

設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則有y₁y₂=－4①.

設(shè)過點A的切線m與x軸交于點A′，過點B的切線n與x軸交于點B′，則有|A′F|=|AM|，|B′F|=|BN|．

過點A的切線m的方程為y₁y=2x+2x₁，此時直線m與x軸的交點是A′（－x₁，0），同時可得直線n與x軸的交點是B′（－x₂，0），

所以|AM|－|BN|=|A′F|－|B′F|=（x₁+1）－（x₂+1）=x₁－x₂=83，即y²₁4－y²₂4=83②.

聯(lián)立①和②，消參并整理可得（3y²₁+4）（y²₁－12）=0，則有y²₁=12，可得x₁=3，

所以點A的橫坐標(biāo)為3，故填答案3．

點評：根據(jù)題設(shè)條件進行合理設(shè)線，可以非常有效地解決涉及直線與圓錐曲線的位置關(guān)系及其綜合應(yīng)用問題.設(shè)線法可以借助直線的斜率、定點等元素加以應(yīng)用，設(shè)置與題設(shè)相關(guān)的直線方程，給問題的進一步分析與求解提供條件.以上兩種方法中的設(shè)線思維，先利用直線方程的設(shè)置，然后與拋物線方程聯(lián)立，合理構(gòu)建關(guān)于坐標(biāo)的關(guān)系式，最后聯(lián)立方程組來分析與求解對應(yīng)的坐標(biāo)．

2.2"設(shè)點思維

方法3：設(shè)點法1.

設(shè)Aa²4，a，Bb²4，b，又F（1，0），則有aa²4-1=bb²4-1，可得14ab²－a=14a²b－b，整理得ab（b－a）=4（a－b），即ab=－4．

由于y=2x¹²"，則有y′=1x，結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義可知kFM=k_m=2a，則知直線FM的方程為y=2a（x－1），與直線y=a聯(lián)立解得Ma²2+1，a，則有|AM|=a²2+1－a²4=a²4+1．

同理可得|BN|=b²4+1．

|AM|－|BN|=a²4+1－b²4+1=a²4－b²4=83，而ab=－4，代入消元可得a²4－4a²"=83，解得a²4=3．

所以點A的橫坐標(biāo)為3，故填答案3．

方法4：設(shè)點法2.

設(shè)Ay²₁4，y₁，By²₂4，y₂．

由拋物線C：y²=4x，對其兩邊關(guān)于變量x求導(dǎo)，可得2yy′=4．

利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義知直線m斜率為y′|y=y₁=2y₁"，直線FM的方程為y=2y₁"（x－1），與直線m′的方程y=y₁聯(lián)立，可得My²₁2+1，y₁，則有|AM|=y²₁2+1－y²₁4=y²₁4+1．

同理可得|BN|=y²₂4+1，所以|AM|－|BN|=y²₁4+1－y²₂4+1=y²₁4－y²₂4=83．

A，B，F(xiàn)三點共線，結(jié)合拋物線的焦點弦性質(zhì)有y₁y₂=－p²=－4，代入消元可得y²₁4－4y²₁"=83，解得y²₁4=3，

所以點A的橫坐標(biāo)為3，故填答案3．

點評：根據(jù)題設(shè)條件進行合理設(shè)點，也可以非常有效地解決涉及直線與圓錐曲線的位置關(guān)系及其綜合應(yīng)用問題.基于設(shè)點場景，可以利用三點共線，也可以利用拋物線的焦點弦性質(zhì)等，進而轉(zhuǎn)化并確定相關(guān)點的坐標(biāo)，并由此確定線段的長度，給問題的解決開拓空間與應(yīng)用.在設(shè)點法應(yīng)用中，往往是基于曲線方程來直接設(shè)置，特別是有關(guān)拋物線的焦點弦中與點的坐標(biāo)相關(guān)的性質(zhì)與對應(yīng)的“二級結(jié)論”，對于優(yōu)化解題有奇效．

2.3"幾何思維

方法5：幾何法.

設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），如圖1所示，由于平行的性質(zhì)可知∠1=∠2，∠3=∠4．

結(jié)合拋物線的光學(xué)性質(zhì)與幾何性質(zhì)，可知m即為相應(yīng)的角平分線，所以∠1=∠3，|AF|=|AM|．

同理可得|BF|=|BN|，而結(jié)合|AM|－|BN|=83，則有|AF|－|BF|=83，結(jié)合拋物線的定義可知（x₁+1）－（x₂+1）=x₁－x₂=83①.

結(jié)合拋物線的焦點弦性質(zhì)有x₁x₂=p²4=1②.

聯(lián)立①和②，解得x₁=3，x₂=13，所以點A的橫坐標(biāo)為3，故填答案3．

點評：回歸平面解析幾何問題中的平面幾何本質(zhì)與內(nèi)涵，借助幾何法來直觀想象與邏輯推理，也可以非常有效地解決涉及直線與圓錐曲線的位置關(guān)系及其綜合應(yīng)用問題.幾何法的本質(zhì)就是要依據(jù)題設(shè)條件作出相應(yīng)的草圖，通過平面幾何圖形的直觀形象來推理與運算，給問題的解決提供切入點與直觀思維.平面幾何中的平行、垂直等性質(zhì)，特別是圓錐曲線中的光學(xué)性質(zhì)與幾何性質(zhì)等方面的應(yīng)用，也是解決問題的常規(guī)思維．

3"規(guī)律總結(jié)

基于以上問題的應(yīng)用場景，以及解析過程，合理加以深度學(xué)習(xí)與深入探究，巧妙總結(jié)基本規(guī)律，可以得到相應(yīng)的一般性結(jié)論．

已知拋物線C：y²=2px（pgt;0）的焦點為F，過F的直線l與C交于A，B兩點.過A作C的切線m及平行于x軸的直線m′，過F作平行于m的直線交m′于M，過B作C的切線n及平行于x軸的直線n′，過F作平行于n的直線交n′于N.若|AM|－|BN|=q，則點A的橫坐標(biāo)為q+p²+q²2．

該結(jié)論的證明過程，可以參考以上問題的相關(guān)方法的解析過程.這里不再加以展開與敘述．

根據(jù)該結(jié)論，當(dāng)p=2，q=83時，相應(yīng)點A的橫坐標(biāo)為q+p²+q²2=83+2²+83²2=3，是相應(yīng)結(jié)論的一種特殊形式．

4"變式拓展

對原問題合理分析，抓住其中的關(guān)鍵點，以類似的形式來合理創(chuàng)設(shè)，進行巧妙的變式與拓展．

變式"已知拋物線C：y²=4x的焦點為F，點A是拋物線C在第一象限內(nèi)一點，過A作C的切線m及平行于x軸的直線m′，過F作平行于m的直線交m′于M.若|AM|=4，則點A的坐標(biāo)為""""．

解析：根據(jù)以上問題中幾何法的分析，可知|AF|=|AM|=4．

設(shè)Ay²₁4，y₁，而F（1，0），則有|AF|²=y²₁4－1²+y²₁=16，解得y²₁=12，結(jié)合點A是拋物線C在第一象限內(nèi)一點，可得A（3，23），故填答案（3，23）．

5"教學(xué)啟示

5.1"方法歸納

涉及圓錐曲線中的定值（點的坐標(biāo)、線段的長度、代數(shù)式的取值、幾何要素的特征等）問題，是近年高考、模擬卷以及競賽等命題中的一個熱點與難點問題，變化多端，形式各樣.以各種形式（選擇題、填空題或解答題）出現(xiàn)，滲透圓錐曲線中的定值問題，巧妙借助數(shù)值運算、推理證明、探索應(yīng)用等方式來創(chuàng)新設(shè)置，給問題的設(shè)置與知識的應(yīng)用創(chuàng)設(shè)更加多樣的場景．

解決此類問題時，主要技巧方法是通過“動態(tài)”場景與“靜態(tài)”數(shù)值的巧妙融合，合理創(chuàng)設(shè)場景，進而從“動”中取“靜”，以“動”致“靜”，在“動”中找規(guī)律，在“動”中取“定”，知識交匯性強，能力融合度高，能很好考查學(xué)生的數(shù)學(xué)知識與數(shù)學(xué)能力等，充分體現(xiàn)試題的選拔性與區(qū)分度，備受各類考試的命題者青睞．

5.2"能力提升

在解決直線與圓錐曲線的位置關(guān)系及其綜合應(yīng)用問題中，基于豐富的內(nèi)涵實質(zhì)，可以合理通過幾何內(nèi)涵與圖形直觀，從平面幾何的視角切入，合理直觀分析，剖析幾何特征；也可以合理通過代數(shù)屬性與問題實質(zhì)，從解析幾何的視角切入，合理推理分析，剖析代數(shù)屬性等.這都是充分體現(xiàn)數(shù)學(xué)基本能力的視角，由此產(chǎn)生與之相應(yīng)的數(shù)學(xué)思維，利用相應(yīng)的技巧方法來解題與應(yīng)用．

在實際解題過程中，基于數(shù)學(xué)思維方式的開拓與發(fā)散，以及數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識的交匯與融合，全面提升數(shù)學(xué)關(guān)鍵能力，提高數(shù)學(xué)解題能力，全面培養(yǎng)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)．