摘要：柯西不等式以其獨(dú)特的對(duì)稱結(jié)構(gòu)形式和豐富的內(nèi)涵，在數(shù)學(xué)解題中得到廣泛的應(yīng)用.解題的思路是通過變形來溝通待解決的問題與柯西不等式之間的聯(lián)系，常見的變形方法與技巧有添項(xiàng)、拆項(xiàng)、分解、組合、配湊、變量代換等.本文通過例題的求解詳細(xì)闡述運(yùn)用柯西不等式解題的方法與技巧，旨在提升學(xué)生的解題能力，發(fā)展學(xué)生的綜合素養(yǎng).

關(guān)鍵詞：柯西不等式；最值問題；幾何類問題

柯西不等式既是高中數(shù)學(xué)中的一個(gè)重要不等式，也是歷年高考數(shù)學(xué)中一個(gè)重要的考點(diǎn)和熱點(diǎn).高考試題中最常見的是以選擇題、填空題、簡(jiǎn)答題等題型求代數(shù)式的最值［1］，或者借助柯西不等式來證明不等式、恒等式等.

1柯西不等式的內(nèi)涵

1.1柯西不等式的不同形式

柯西不等式有以下四種形式.

（1）二維形式.若a，b，c，d都是實(shí)數(shù)，則（a2+b2）（c2+d2）≥（ac+bd）2，當(dāng)且僅當(dāng)ad=bc時(shí)，等號(hào)成立.

（2）二維三角形式.設(shè)x1，y1，x2，y2∈R，則x21+y21+x22+y22≥（x1-x2）2+（y1-y2）2，當(dāng)且僅當(dāng)x1y2=x2y1時(shí)，等號(hào)成立.

（3）向量形式.設(shè)α，β是平面上的兩個(gè)向量，則|α·β|≤|α||β|，當(dāng)且僅當(dāng)β是零向量或存在實(shí)數(shù)k，使α=kβ時(shí)，等號(hào)成立.

（4）多維（一般）形式.設(shè)a1，a2，a3，…，an，b1，b2，b3，…，bn是實(shí)數(shù)，則（a21+a22+…+a2n）（b21+b22+…+b2n）≥（a1b1+a2b2+…+anbn）2，當(dāng)且僅當(dāng)bi=0（i=1，2，…，n）或存在一個(gè)實(shí)數(shù)k，使得ai=kbi（i=1，2，3，…，n）時(shí)，等號(hào)成立.

多維形式是二維形式通過構(gòu)造函數(shù)法的推廣.按照“循序漸進(jìn)，由特殊到一般”的規(guī)律和方法，學(xué)生需先學(xué)習(xí)較簡(jiǎn)單的二維形式，再學(xué)習(xí)三維形式，進(jìn)而推廣為多維形式的柯西不等式.

1.2柯西不等式的證明

下面是對(duì)柯西不等式一般形式的證明.

1.2.1構(gòu)造法

證明：若ai=0（i=1，2，…，n），顯然柯西不等式等號(hào)成立，原不等式為真.

若ai（i=1，2，…，n）不全為零，可以構(gòu)造二次函數(shù)f（x）=（a21+a22+…+a2n）x2+2（a1b1+a2b2+

a3b3+…+anbn）x+（b21+b22+…+b2n）.

∵f（x）=（a21x2+2a1b1x+b21）+（a22x2+2a2b2x+b22）+…+（a2nx2+2anbnx+b2n）=（a1x+b1）2+（a2x+b2）2+…+（anx+bn）2≥0，且其二次項(xiàng)系數(shù)a21+a22+…+a2n＞0 .

∴判別式Δ≤0，即（a21+a22+…+a2n）（b21+b22+…+b2n）≥（a1b1+a2b2+…+anbn）2，

當(dāng)且

僅當(dāng)a1x+b1=a2x+b2=…=anx+bn=0，即bi=0（i=1，2，…，n）或存在一個(gè)實(shí)數(shù)k，使得ai=kbi（i=1，2，3，…，n）時(shí)，等號(hào)成立.

1.2.2數(shù)學(xué)歸納法

當(dāng)n=1時(shí)，等式顯然成立.當(dāng)n=2時(shí)，左邊=（a21+a22）（b21+b22）=（a1b1）2+（a2b2）2+（a1b2）2+（a2b1）2≥（a1b1）2+（a2b2）2+2a1a2b1b2=（a1b1+a2b2）2=右邊，當(dāng)a2b1=a1b2，即a1b1=a2b2時(shí)，等號(hào)成立.

故n=1，2時(shí)，不等式成立.

假設(shè)n=k（k∈N，k≥2）時(shí)，不等式成立，即（a1b1+a2b2+…+akbk）2≤（b21+b22+…+bkk）·（a21+a22+…+akk）.

當(dāng)bi=λai（λ為常數(shù)，i=1，2，…，k），或a1=a2=…=ak=0時(shí)，等號(hào)成立.

設(shè)A=a21+a22+…+a2k，B=b21+b22+…+b2k，C=a1b1+a2b2+…+akbk.

（A+a2k+1）（B+b2k+1）=AB+Ab2k+1+Ba2k+1+a2k+1b2k+1≥C2+2Cak+1bk+1+a2k+1b2k+1=（C+ak+1bk+1）2，即（a21+a22+…+a2k+a2k+1）（b21+b22+…+b2k+b2k+1）≥（a1b1+a2b2+…+akbk+ak+1bk+1）2

當(dāng)bi=λai（λ為常數(shù)，i=1，2，…，k，k+1）或a1=a2=…=ak=ak+1=0時(shí)，等號(hào)成立，即n=k+1時(shí)，等號(hào)成立.

綜上所述，不等式對(duì)一切自然數(shù)n均成立.

2運(yùn)用柯西不等式解題的方法與技巧

2.1求最值類問題

求一個(gè)變量的最值時(shí)，首先是分離目標(biāo)變量，然后利用柯西不等式建立目標(biāo)變量的不等式，最后通過解不等式即可獲得該變量的最值.

當(dāng)求多元變量代數(shù)式的最小值時(shí)，通常是將多元變量代數(shù)式整理移動(dòng)到柯西不等式的左邊；

當(dāng)求多元變量代數(shù)式的最大值時(shí)，通常是將多元變量代數(shù)式整理移動(dòng)到柯西不等式的右邊.

2.1.1配方法

柯西不等式具有固定的結(jié)構(gòu)，對(duì)于不符合柯西不等式形式的問題，解題時(shí)要先分析其特點(diǎn)與結(jié)構(gòu)，充分利用已知條件進(jìn)行配湊，再應(yīng)用柯西不等式.

例1已知c＞0，a，b為非零的實(shí)數(shù)，并滿足4a2-2ab+4b2-c=0，當(dāng)|2a+b|最大時(shí)，求3a-4b+5c的最小值.

解析：因?yàn)榭挛鞑坏仁剑╝2+b2）（c2+d2）≥（ac+bd）2，當(dāng)

且僅當(dāng)

ac=bd時(shí)，等號(hào)成立，所以4a2-2ab+4b2-c=0c4=a2-12ab+b2

=a-b42+1516b2，根據(jù)柯西不等式，得a-b42+1516b2·（A2+B2）≥Aa-b4+B·

154b2，只有當(dāng)Aa-b4+B154b=|2a+b|時(shí)，才能保證|2a+b|取得最大值，所以就有Aa=2a，即A=2.又2a-b2+154Bb=2a+b，即B=615.

因?yàn)?a-b4+615154b=2a+b，且有A2+B2=22+6152，所以a-b42+1516b2·22+6152≥2a-b4+615154b2.

當(dāng)a-b42=154b615時(shí)，|2a+b|取得最大值，所以a=32b，c=10b2，3a-4b+5c=121b-22-2≥-2，即最小值為-2.

思路與方法：本題不能直接套用柯西不等式，需要先對(duì)4a2-2ab+4b2-c=0進(jìn)行配方處理，使之符合柯西不等式的形式后再求解.

2.1.2換元法

在求最值的過程中，有時(shí)需要通過換元的方法對(duì)原式和目標(biāo)式進(jìn)行變形，目的是“拼湊”出與柯西不等式相似的結(jié)構(gòu)，為柯西不等式的應(yīng)用創(chuàng)造條件.

例2已知實(shí)數(shù)x，y，z滿足x2+y2+z2+4x+2z-7=0，試求x+y+z的最大值.

解析：將原式x2+y2+z2+4x+2z-7=0整理變形為

（x+2）2+y2+（z+1）2=12.

設(shè)x+2=w，y=v，z+1=u，得（x+2）2+y2+（z+1）2=w2+v2+u2=12.

x+y+z=w+v+u-3，因?yàn)椋╳+v+u）2≤（12+12+12）（w2+v2+u2）=36，

所以-6≤w+v+u≤6，當(dāng)且僅當(dāng)w=v=u=2時(shí)，w+v+u取得最大值6，此時(shí)x+2=y=z+1. 由此可知x+y+z的最大值為6-3=3.

思路與方法：本題通過恰當(dāng)?shù)匾胄伦兞看鷵Q原式中的部分式子，不僅為運(yùn)用柯西不等式創(chuàng)造了條件，而且達(dá)到了化難為易、化繁為簡(jiǎn)的效果.

2.1.3轉(zhuǎn)化法

當(dāng)不能直接運(yùn)用柯西不等式時(shí)，應(yīng)先通過拆項(xiàng)、重組等方法，將原式轉(zhuǎn)化為符合柯西不等式的形式后再求解.

例3已知正數(shù)a，b，c滿足a+b+c=6，試求2a+2b+1+2c+3的最大值.

解析：根據(jù)正數(shù)a，b，c滿足a+b+c=6的已知條件，由柯西不等式可得（2a+2b+1+2c+3）2=（1×2a+1×2b+1+1×2c+3）2≤（12+12+12）·（2a+2b+1+2c+3）=3（2a+2b+2c+4）=48，當(dāng)且僅當(dāng)2a=2b+1=2c+3，即a=83，b=136，c=76時(shí)，等號(hào)成立，則有2a+2b+1+2c+3≤43，即2a+2b+1+2c+3的最大值為43.

思路與方法：解答本題的關(guān)鍵是利用柯西不等式將原式通過變形與轉(zhuǎn)化，化根式為整式后再求解.可見，對(duì)于三元及以上的根式類問題，借助柯西不等式加以轉(zhuǎn)化變形是常用的一種方法.

2.2幾何類問題

靈活運(yùn)用柯西不等式，不僅在代數(shù)方面能夠幫助我們快速簡(jiǎn)捷地解決問題，而且在解決幾何類問題時(shí)同樣具有極大的優(yōu)越性.［2］

例4已知圓的半徑為R，求該圓內(nèi)接長(zhǎng)方形周長(zhǎng)的最大值.

解析：如圖1所示，設(shè)內(nèi)接長(zhǎng)方形ABCD的長(zhǎng)為x，寬為4R2-x2，長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)為C=2（x+4R2-x2）=2（1·x+1·4R2-x2），由柯西不等式可得

C≤2x2+4R2-x2212·（12+12）12=2×2R×2=42R.

當(dāng)且僅當(dāng)x1=4R2-x21，即x=2R時(shí)，等號(hào)成立.此時(shí)，寬為4R2-（2R）2=2R，即長(zhǎng)方形ABCD為正方形時(shí)，其周長(zhǎng)最大，最大值為42R.

思路與方法：本題先表示出長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)，得出目標(biāo)函數(shù)，然后利用柯西不等式的推論來求解.

3結(jié)語

熟練掌握對(duì)多項(xiàng)式進(jìn)行湊項(xiàng)、拆項(xiàng)、分解、組合等變形的方法與技巧，是應(yīng)用柯西不等式解題的關(guān)鍵.因此，教師在平時(shí)的教學(xué)和備考中要強(qiáng)化此類訓(xùn)練，通過有針對(duì)性的練習(xí)，幫助學(xué)生逐步達(dá)到熟能生巧、運(yùn)用自如的目的.

參考文獻(xiàn)

［1］張靜.魅力無窮的柯西不等式——基于一道教材習(xí)題的探究［J］.高中數(shù)理化，2023（5）：27-28.

［2］周琳娟.柯西不等式的應(yīng)用及其考查類型［J］.中學(xué)生數(shù)理化（高考數(shù)學(xué)），2023（6）：24-26.