摘要：章起始課是單元教學(xué)的第一課，在明確學(xué)習(xí)方向、構(gòu)建知識(shí)框架、確定思想研究方法等方面具有綱領(lǐng)性的作用.本文以學(xué)習(xí)遷移為基礎(chǔ)，以高中數(shù)學(xué)“函數(shù)的概念”為內(nèi)容載體，從“舊知引新知、情境生概念、新知喚舊知、課堂小結(jié)”等方面進(jìn)行教學(xué)設(shè)計(jì)，并提出教學(xué)反思.

關(guān)鍵詞：章起始課；學(xué)習(xí)遷移；函數(shù)的概念；教學(xué)設(shè)計(jì)

學(xué)習(xí)遷移是指學(xué)生原有認(rèn)知結(jié)構(gòu)中的知識(shí)和技能對(duì)新的學(xué)習(xí)過(guò)程的影響，是知識(shí)轉(zhuǎn)化、遷移、整合等過(guò)程中的心理活動(dòng).［1］學(xué)習(xí)遷移強(qiáng)調(diào)在不同情境中靈活運(yùn)用知識(shí)和技能的能力.在數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師運(yùn)用這一理論可以促進(jìn)學(xué)生對(duì)概念的深入理解和靈活運(yùn)用.［2］同時(shí)，普通高中數(shù)學(xué)教育應(yīng)將重點(diǎn)放在提升學(xué)生能夠?qū)⑺鶎W(xué)知識(shí)靈活運(yùn)用到實(shí)際生活中的能力.［3］

章起始課作為單元的“先行組織者”，對(duì)學(xué)生的整體學(xué)習(xí)過(guò)程和數(shù)學(xué)素養(yǎng)的提升有著深遠(yuǎn)影響，在知識(shí)的引入、學(xué)習(xí)動(dòng)機(jī)的激發(fā)、思維能力的培養(yǎng)、知識(shí)的遷移等方面也起到了重要的作用.［4］通過(guò)對(duì)以往知識(shí)的復(fù)習(xí)，將新舊知識(shí)融會(huì)貫通，使學(xué)生對(duì)新概念、舊知識(shí)之間的聯(lián)系有更清晰的認(rèn)識(shí)與理解，從而形成知識(shí)的系統(tǒng)化網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu).本文以人教A版《普通高中教科書數(shù)學(xué)必修第一冊(cè)》第三章“函數(shù)的概念”章起始課為例，從學(xué)習(xí)遷移視角進(jìn)行了教學(xué)設(shè)計(jì)，并提出了教學(xué)設(shè)計(jì)反思.

1學(xué)習(xí)遷移視角下“函數(shù)的概念”章起始課教學(xué)設(shè)計(jì)

1.1內(nèi)容分析

函數(shù)作為高中數(shù)學(xué)課程的主線之一，其知識(shí)內(nèi)部具備很強(qiáng)的整體性、關(guān)聯(lián)性與同構(gòu)性.［5］“函數(shù)的概念”是高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)階段除“預(yù)備知識(shí)”之外，學(xué)生接觸到的第一個(gè)數(shù)學(xué)知識(shí)內(nèi)容，所以這節(jié)課不僅是“函數(shù)的概念”章起始課，也是高中函數(shù)主線的起始課程.同時(shí)本節(jié)課也是一節(jié)在初中“函數(shù)變量說(shuō)”基礎(chǔ)上的概念課，學(xué)生嘗試用集合語(yǔ)言對(duì)函數(shù)概念進(jìn)行定義，進(jìn)一步將函數(shù)概念抽象為“對(duì)應(yīng)關(guān)系說(shuō)”，使學(xué)生理解“對(duì)應(yīng)關(guān)系說(shuō)”函數(shù)概念的本質(zhì)，為學(xué)生在后面章節(jié)中繼續(xù)學(xué)習(xí)函數(shù)的表示法、圖象和性質(zhì)做好準(zhǔn)備.

1.2學(xué)情分析

學(xué)生在初中已初步學(xué)習(xí)過(guò)函數(shù)知識(shí)，知道“與之對(duì)應(yīng)”“因變量會(huì)隨著自變量的變化而變化”，對(duì)一次函數(shù)、二次函數(shù)、反比例函數(shù)等常見的函數(shù)模型也比較熟悉，但是已有認(rèn)知結(jié)構(gòu)中沒有自變量取值范圍這一概念.學(xué)生在以往的學(xué)習(xí)中雖然接觸了多種函數(shù)的表現(xiàn)形式，但對(duì)其本質(zhì)的理解仍顯不足.函數(shù)的概念涉及大量文字描述和復(fù)雜的邏輯表達(dá)，抽象程度高且符號(hào)化、形式化明顯.

經(jīng)過(guò)預(yù)備知識(shí)的學(xué)習(xí)，學(xué)生雖在知識(shí)、技能方法、思維品格等方面為函數(shù)新篇章打下了基礎(chǔ)，但現(xiàn)階段其數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)、數(shù)學(xué)語(yǔ)言的嚴(yán)謹(jǐn)性、邏輯性等方面仍顯不足.由此可見，本節(jié)課的重難點(diǎn)在于對(duì)對(duì)應(yīng)關(guān)系本質(zhì)的理解以及抽象形成函數(shù)概念的過(guò)程.為了有效突破這些難點(diǎn)，本節(jié)課將通過(guò)復(fù)習(xí)初中所學(xué)函數(shù)知識(shí)，借助情境引入來(lái)激發(fā)學(xué)生的研究興趣，采用問(wèn)題驅(qū)動(dòng)的方法引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行合作與交流.此外，借助信息技術(shù)可實(shí)現(xiàn)抽象內(nèi)容的可視化和靜態(tài)內(nèi)容動(dòng)態(tài)化，從而幫助學(xué)生更好地理解函數(shù)概念.

1.3教學(xué)目標(biāo)

本節(jié)課的教學(xué)目標(biāo)如下.

（1）運(yùn)用“變量說(shuō)”描述具體情境中對(duì)應(yīng)的函數(shù)關(guān)系，分析并歸納出函數(shù)的共同特征，抽象出函數(shù)概念，建立“對(duì)應(yīng)關(guān)系說(shuō)”，增強(qiáng)數(shù)學(xué)抽象和邏輯推理素養(yǎng).

（2）通過(guò)解析式、圖象、表格等形式理解函數(shù)的對(duì)應(yīng)關(guān)系，體會(huì)引入符號(hào)f表示對(duì)應(yīng)法則的必要性；并能用函數(shù)概念刻畫簡(jiǎn)單具體的函數(shù).

1.4教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn)

本節(jié)課的教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn)如下.

教學(xué)重點(diǎn)：函數(shù)的概念、函數(shù)的三要素.

教學(xué)難點(diǎn)：函數(shù)的概念、對(duì)應(yīng)法則的含義，符號(hào)y=f（x），x∈A.

1.5教學(xué)過(guò)程設(shè)計(jì)

環(huán)節(jié)一：舊知引新知.

問(wèn)題1在初中我們學(xué)習(xí)過(guò)哪些基本函數(shù)？初中函數(shù)的定義又是什么呢？根據(jù)已學(xué)知識(shí)回答下列兩個(gè)小問(wèn)題.

（1）正方形周長(zhǎng)l與邊長(zhǎng)a的關(guān)系是l=4a，l是a的函數(shù)嗎？它與正比例函數(shù)y=4x相同嗎？

（2）根據(jù)已學(xué)函數(shù)知識(shí)，能否判斷出y=x與y=x2x是否相同？

【設(shè)計(jì)意圖】?jī)蓚€(gè)小問(wèn)題引導(dǎo)學(xué)生在判斷兩個(gè)函數(shù)是否相同時(shí)，從自變量和對(duì)應(yīng)關(guān)系入手，為后面強(qiáng)調(diào)函數(shù)的三要素作鋪墊，同時(shí)也讓學(xué)生認(rèn)識(shí)到對(duì)函數(shù)概念進(jìn)一步研究的必要性.

環(huán)節(jié)二：情境生概念.

問(wèn)題2某高速列車加速到200km/h后，保持勻速行駛0.5h.這段時(shí)間內(nèi)，列車行進(jìn)的路程s（單位：km）與運(yùn)行時(shí)間t（單位：h）之間的關(guān)系可以表示為s=200t.

（1）根據(jù)初中所學(xué)知識(shí)，s是t的函數(shù)嗎？

（2）當(dāng)列車加速到200km/h后，列車運(yùn)行15min行進(jìn)距離是多少？能否求出運(yùn)行1h的行進(jìn)距離？

（3）時(shí)間t和路程s的變化范圍如何用集合A1和集合B1來(lái)表示？集合A1和集合B1之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系是什么？

（4）根據(jù)上述問(wèn)題，如何更精準(zhǔn)地表達(dá)s與t的關(guān)系？

【設(shè)計(jì)意圖】 第（1）小問(wèn)是讓學(xué)生回顧初中函數(shù)知識(shí)，根據(jù)初中所學(xué)的函數(shù)定義回答問(wèn)題，培養(yǎng)用定義作判斷的意識(shí)；第（2）小問(wèn)是讓學(xué)生認(rèn)識(shí)到函數(shù)關(guān)系要考慮自變量的變化范圍；第（3）（4）小問(wèn)是讓學(xué)生關(guān)注自變量與因變量的變化范圍，在具體情境中嘗試用更嚴(yán)謹(jǐn)?shù)恼Z(yǔ)言表達(dá)函數(shù)的概念.

問(wèn)題3一家電器維修公司要求工人每周至少工作1天，至多不超過(guò)6天.如果公司確定的工資標(biāo)準(zhǔn)是每人每天350元，并且每周付一次工資，回答以下四個(gè)小問(wèn)題.

（1）該公司員工的每周工資由什么因素決定？如何確定員工的每周具體工資？

（2）該公司每位員工的每周工資ω（單位：元）是工作天數(shù)d（單位：天）的函數(shù)嗎？

（3）工作天數(shù)d和每周工資ω的變化范圍如何用集合A2和集合B2來(lái)表示？集合A2和集合B2之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系是什么？

（4）參考問(wèn)題2，如何精準(zhǔn)表示出ω與d的對(duì)應(yīng)關(guān)系？

追問(wèn)問(wèn)題2中的s=200 t與問(wèn)題3中的ω=350 d是同一個(gè)函數(shù)嗎？它們又有哪些異同點(diǎn)？

【設(shè)計(jì)意圖】本題是解決工資問(wèn)題，學(xué)生很容易把它與工作天數(shù)聯(lián)系起來(lái)考慮，一是讓學(xué)生從具體情境中學(xué)會(huì)抽象函數(shù)的自變量；二是引導(dǎo)學(xué)生使用解析法、列表法、圖象法（可強(qiáng)調(diào)解析法，以便追問(wèn)與問(wèn)題1進(jìn)行比較）等不同的函數(shù)表示法；三是讓學(xué)生根據(jù)變量間的對(duì)應(yīng)關(guān)系判斷ω是否為d的函數(shù)，并讓學(xué)生再次刻畫出函數(shù)關(guān)系，訓(xùn)練他們使用集合語(yǔ)言的表達(dá)方式.同時(shí)，通過(guò)追問(wèn)，引導(dǎo)學(xué)生思考確定函數(shù)概念的基本條件，強(qiáng)調(diào)自變量范圍和因變量范圍的重要性.

問(wèn)題4下圖為北京市2016年11月23日的空氣質(zhì)量指數(shù)（Air Quality Index，簡(jiǎn)稱AQI）變化圖.

（1）根據(jù)該圖，能否確定這一天內(nèi)任意時(shí)刻t的空氣質(zhì)量指數(shù)I？

（2）I是t的函數(shù)嗎？如果是，你能描述I與t的對(duì)應(yīng)關(guān)系嗎？

追問(wèn)1本題中，t和I的變化范圍大致是什么？如何用集合來(lái)表示？

追問(wèn)2對(duì)于數(shù)集B3=｛t|0≤t≤24｝中任意一個(gè)t值，能否根據(jù)圖象判斷出是否有唯一的I與之對(duì)應(yīng)？

【設(shè)計(jì)意圖】學(xué)生雖然初中已經(jīng)學(xué)過(guò)函數(shù)的定義，有利用定義判斷是否是函數(shù)的經(jīng)驗(yàn).但在學(xué)生固有思維中，他們通常認(rèn)為只有可判斷出自變量對(duì)應(yīng)的函數(shù)值，這樣的關(guān)系才能叫作函數(shù)，如解析式等.所以本題中學(xué)生根據(jù)圖象判斷“變量說(shuō)”的函數(shù)概念比較困難，學(xué)生認(rèn)為無(wú)法從圖象中得到具體的自變量與因變量對(duì)應(yīng)關(guān)系，函數(shù)值不能準(zhǔn)確確定，只能先引入一個(gè)較大數(shù)集，使得函數(shù)值能夠完全包含在內(nèi).根據(jù)追問(wèn)2學(xué)生認(rèn)可圖象可以表示函數(shù)，同時(shí)也加深了用集合語(yǔ)言描述函數(shù)關(guān)系的意識(shí).

問(wèn)題5國(guó)際上常用恩格爾系數(shù)rr=食物支出金額總支出金額×100%反映一個(gè)地區(qū)人民生活質(zhì)量的高低，恩格爾系數(shù)越低，生活質(zhì)量越高.根據(jù)表1可以看出，該省城鎮(zhèn)居民的生活質(zhì)量越來(lái)越高.

（1）根據(jù)表中數(shù)據(jù)，恩格爾系數(shù)r是年份y的函數(shù)嗎？

（2）仿照問(wèn)題2到問(wèn)題4的方法，你能精確描述這個(gè)函數(shù)嗎？

（3）聯(lián)系實(shí)際情況，如果我們引入集合B4=｛r|0lt;r≤1｝，對(duì)于任意一個(gè)年份y，都有唯一集合B4中唯一的r值與之對(duì)應(yīng)嗎？

【設(shè)計(jì)意圖】通過(guò)問(wèn)題2到問(wèn)題5的訓(xùn)練，學(xué)生能夠下意識(shí)利用初中的函數(shù)定義，判斷出這道題中的表格可以表示為函數(shù).第（3）小問(wèn)與問(wèn)題4的追問(wèn)2有異曲同工之妙，都是為了讓學(xué)生體會(huì)到函數(shù)值所在集合和函數(shù)值集合的區(qū)別與聯(lián)系.

問(wèn)題6同學(xué)們，回顧問(wèn)題2到問(wèn)題5，你發(fā)現(xiàn)了它們有哪些共同點(diǎn)與不同點(diǎn)，請(qǐng)你借助這四個(gè)問(wèn)題實(shí)例中完善“變量說(shuō)”的經(jīng)驗(yàn)，嘗試完善初中函數(shù)的定義.

【設(shè)計(jì)意圖】學(xué)生歸納異同點(diǎn)時(shí)，答案會(huì)相對(duì)比較開放.教師可以引導(dǎo)學(xué)生從自變量取值集合、函數(shù)值所在集合、對(duì)應(yīng)關(guān)系、函數(shù)表示方式等方面進(jìn)行歸納總結(jié)，讓學(xué)生通過(guò)歸納四個(gè)函數(shù)的共同特點(diǎn)，體會(huì)到數(shù)學(xué)抽象的過(guò)程，并嘗試用集合語(yǔ)言刻畫出函數(shù)的概念，最后再由教師進(jìn)行補(bǔ)充.

環(huán)節(jié)三：新知喚舊知.

問(wèn)題7請(qǐng)你根據(jù)函數(shù)的概念，重新表述一下一次函數(shù)、二次函數(shù)、反比例函數(shù).

【設(shè)計(jì)意圖】與已有認(rèn)知形成閉環(huán)，對(duì)已學(xué)函數(shù)重新定義，加深函數(shù)定義理解的同時(shí)，也再次加深對(duì)函數(shù)三要素的認(rèn)識(shí).

環(huán)節(jié)四：課堂小結(jié).

（1）體會(huì)函數(shù)是描述變量之間依賴關(guān)系的重要數(shù)學(xué)模型.

（2）用集合與對(duì)應(yīng)的思想理解函數(shù)的概念.

（3）理解函數(shù)三要素和函數(shù)符號(hào)的深刻意義.

（4）函數(shù)概念學(xué)習(xí)的一般思路為創(chuàng)設(shè)情境—?dú)w納共性—生成概念—辨析概念—應(yīng)用概念.

2教學(xué)反思

有效的章起始課能夠促進(jìn)學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的遷移能力，提高他們對(duì)新知識(shí)的理解和應(yīng)用水平.本節(jié)課以“函數(shù)的概念”為例，以學(xué)生為中心，從學(xué)生對(duì)函數(shù)定義的已有認(rèn)知出發(fā).首先，通過(guò)四個(gè)實(shí)例引導(dǎo)學(xué)生感知函數(shù)三要素的重要性，使學(xué)生意識(shí)到“更新”函數(shù)定義的必要性.其次，四個(gè)實(shí)例層層遞進(jìn)，其中既有離散的自變量取值，又有連續(xù)的自變量取值，也涉及函數(shù)的三種表示方式，為后續(xù)學(xué)習(xí)作鋪墊.問(wèn)題2和問(wèn)題3是讓學(xué)生學(xué)會(huì)用集合刻畫函數(shù)的定義域與值域，并用集合語(yǔ)言刻畫出函數(shù)的對(duì)應(yīng)關(guān)系（或集合間的對(duì)應(yīng)關(guān)系）.問(wèn)題4和問(wèn)題5是讓學(xué)生體會(huì)到函數(shù)值所在集合與函數(shù)值取值集合的區(qū)別.用對(duì)應(yīng)關(guān)系將四個(gè)問(wèn)題串聯(lián)起來(lái)，使學(xué)生逐漸從“變量說(shuō)”過(guò)渡到“對(duì)應(yīng)關(guān)系說(shuō)”，在函數(shù)概念的生成過(guò)程中提升了學(xué)生的“數(shù)學(xué)抽象”素養(yǎng).

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