摘 要：本文基于《義務教育數(shù)學課程標準（2022年版）》的相關要求，采用文本分析法和文獻法，借鑒學界開展教材分析的理論框架，對人教版小學數(shù)學五年級上冊“小數(shù)乘法”單元的例題與習題編排情況進行分析。分析發(fā)現(xiàn)，人教版小學數(shù)學教材中“小數(shù)乘法”單元例題和習題編排具有如下三個特點：知識點劃分較細，例題和習題的編排遵循“由易到難”的基本原則；題目設計注重巧妙運用生活情景，建構學生熟悉的模型，密切數(shù)學與生活的聯(lián)系；例題和習題解答要求上注重知識的靈活運用等。基于此，筆者還就“小數(shù)乘法”單元例題和習題使用提出了具體教學建議，為教師有效實施教學活動提供參考。

關鍵詞：小學數(shù)學；小數(shù)乘法；教材分析；習題；例題

中圖分類號：G623.5文獻標識碼：A文章編號：1673-260X（2024）11-0106-05

教材既是學生學習內(nèi)容的直接來源，又是教師進行教學設計和組織教學實施的重要依據(jù)。教師在教學設計和組織教學實施時，需立足教材，用好教材，挖掘教材背后的編寫意圖，深究知識本質。因此，對教材進行合理有效的分析，不但是提升教材使用效率的重要途徑，而且是提高教師教學效果和學生學習效果的重要保障。

隨著學界對教材分析工作的關注度不斷提高，教材分析的理論日趨完善，方法和途徑日趨豐富，分析結果的信度和效度顯著提升。肖磊等學者在文獻中將教材分析分為三種類型：單一版本教材分析、橫向教材比較分析和縱向教材演變分析[1]。單一版本教材分析是指向某一版本教材的整體或局部的編排理念、內(nèi)容結構等方面的分析；橫向教材比較分析與縱向教材演變分析則分別關注的是不同版本教材之間的對比和某一時期教材縱向的演變。對于單一版本教材分析，徐文彬等學者又在其著作文獻中將分析方法分為兩個維度，即縱向分析與橫向分析，縱向分析主要關注知識在不同年級的分布與銜接情況，橫向分析則主要關注具體某一年級某一單元內(nèi)容的編排、重難點處理等情況[2]。

《義務教育數(shù)學課程標準（2022年版）》（以下簡稱“新課標”）中“探索”一詞表明學生的學習過程是主動發(fā)現(xiàn)并非被動接受，這就要求教師去設計恰當?shù)幕顒游鸵龑W生探究，給予學生充足的時間去“發(fā)現(xiàn)問題—解決問題—建構知識”[3]。通過分析新課標中對于“小數(shù)乘法”學段目標、課程內(nèi)容和學業(yè)要求的表述，明確“小數(shù)乘法”單元的學習和教學必須注重培養(yǎng)學生的運算能力與推理意識[3，4]。值得一提的是，掌握算法是正確計算小數(shù)乘法的前提，有助于學生運算能力的提升；溝通小數(shù)乘法與整數(shù)乘法之間的聯(lián)系，利用轉化和對比思想推理小數(shù)乘法的算理和算法，有利于培養(yǎng)學生的推理意識。我們在進行教學設計和組織教學實施時，必須關注這兩個方面的問題。

本文以新課標的相關要求為導向，借鑒和采用徐文彬等三位學者提出的關于單一版本教材分析的橫向維度分析框架，分析人教版小學數(shù)學五年級上冊“小數(shù)乘法”單元的例題與習題內(nèi)容編排情況，具體從例題和習題兩個維度進行分析，例題層面主要分析知識結構、情景創(chuàng)設、表征方式、學習過程四個方面；習題層面主要分析習題的內(nèi)容組織、問題類型、認知水平三個方面[2]?；痉治隹蚣苋绫?所示：

1 “小數(shù)乘法”單元例題分析

1.1 知識結構分析

對例題所蘊含的知識點及呈現(xiàn)順序的分析，是教材分析不可或缺的一部分，恰當?shù)姆治隹梢詭椭覀兏美斫饨滩膬?nèi)容的編排意圖。

教材中“小數(shù)乘法”單元共設計編排了9道例題，并劃分為五個板塊，分別是小數(shù)乘整數(shù)、小數(shù)乘小數(shù)、積的近似數(shù)、小數(shù)中的運算律、解決問題。教材借助進率為十的單位量引入小數(shù)乘整數(shù)，鼓勵學生運用多樣化解題策略。隨后，基于例1的經(jīng)驗，脫離具體量探究小數(shù)乘整數(shù)的算理與算法。在此基礎上，引入小數(shù)乘小數(shù)，從具體量到脫離具體量，從一位小數(shù)到兩位小數(shù)，逐步增加難度。同時，還關注到小數(shù)倍數(shù)、乘法驗算、近似數(shù)與運算律等相關知識點，豐富小數(shù)乘法的知識范圍，拓寬學生的知識面。最后，將知識遷移到復雜的情景中，活用知識解決實際問題。例8和例9既注重培養(yǎng)學生理解題意的能力和解決問題能力，又引導學生初步感悟函數(shù)思想。

本單元的內(nèi)容設計符合新課標中的內(nèi)容規(guī)定，整體編排遵循“小步子”原則，將知識細化成若干道例題，每一個例題都緊扣前一個例題知識展開，前一道例題的經(jīng)驗是后一道例題的基礎，后一道例題是對前一道例題知識的拓展，學習內(nèi)容之間環(huán)環(huán)相扣。這種循序漸進的設計思路有效減輕了學生的學習壓力，通過知識的不斷重復與難度的逐步提升，讓學生在輕松愉快的氛圍中自然地深入學習知識，理解知識本質。

1.2 情景創(chuàng)設分析

朱家樂等學者在進行小學數(shù)學教材情景分析時，將教材情景分為生活情景、數(shù)學情景、其他學科情景[5]。我們借鑒該分類依據(jù)，分析人教版小學數(shù)學教材中“小數(shù)乘法”例題的情景創(chuàng)設情況。教材中“小數(shù)乘法”單元的例題涉及情景類型較為豐富，其中生活情景例題4道，數(shù)學情景例題3道，其他學科情景例題2道。例題設計側重于從學生熟悉的模型出發(fā)，創(chuàng)設生活化情景，引導學生借助已有的知識經(jīng)驗，進行知識遷移或推理，從而解決問題并理解小數(shù)乘法運算意義，同時，編者也更重視引導學生感悟數(shù)學與生活的聯(lián)系，感受數(shù)學的實用性。例如，例1通過創(chuàng)設買風箏情景，引出問題：3個蝴蝶風箏需要多少元？對于這一問題的解決，學生可以聯(lián)系“總價=單價×數(shù)量”這一已有知識經(jīng)驗，即3個蝴蝶風箏需要花費3×9.5（元），也即求3個9.5是多少元，從而理解小數(shù)乘整數(shù)的意義之一是“幾個相同小數(shù)的相加”。除生活情景外，教材中還編排了創(chuàng)設數(shù)學情景和其他學科情景的例題。通過創(chuàng)設數(shù)學情景克服了生活情景存在的不足：不是所有的計算都可以借助單位換算轉化為整數(shù)，讓學生回歸數(shù)學本身，發(fā)現(xiàn)與探究乘法運算算理。而通過創(chuàng)設其他學科情景又能巧妙地將數(shù)學學習與其他學科融合，如例5通過創(chuàng)設“非洲野狗與鴕鳥之間奔跑速度的關系”的情景，讓學生計算鴕鳥奔跑速度，激發(fā)學生的好奇心與探索欲。

1.3 表征方式分析

目前，常見的數(shù)學知識表征方式分為三大類：文字表征、數(shù)字表征、圖形表征。人教版教材中“小數(shù)乘法”單元例題基本以文字表征與數(shù)字表征相結合的方式編排。9道例題都綜合運用了不同的表征方式。其中，7道例題都是通過人物對話的形式，向學生提示解題思路或者表述解題過程，例如，例3中先用提示語“兩個因數(shù)都是小數(shù)怎么計算呢？可以把他們看作整數(shù)來計算嗎？”為學生學習指引方向，隨后在探究算理后，再給出不完整的文字表述，幫助學生總結小數(shù)乘小數(shù)的算法，使學生所學知識理論化系統(tǒng)化。數(shù)字表征指進入情景后，根據(jù)一定的信息寫出的數(shù)學算式以及解決過程。例2、例3和例4中，教材用虛線框中的豎式幫助學生理解小數(shù)乘法與整數(shù)乘法的聯(lián)系。此外，合適的圖形表征可以直觀地展示數(shù)量關系和數(shù)量變化過程，有利于幫助學生分析和解決問題，但是本單元僅有一道例題編排采用了圖形表征，這對于基礎較為薄弱的學生而言，會加重他們的學習負擔。

1.4 學習過程分析

從學習過程來看，教材中“小數(shù)乘法”單元例題編排可分為算法算理學習與知識運用學習兩類。例1—例3屬于算法算理學習，采用轉化和對比的方法幫助學生學習。如例2，計算0.72×5，教材借助提示語啟發(fā)學生可以將小數(shù)問題轉化為整數(shù)問題解決，將0.72×5轉化成72×5，隨后以箭頭引導學生理解轉化背后的道理，最后，再通過對比兩個算式，體會3.60中的“0”與360中“0”所表示的含義不同，進而可刪去小數(shù)部分的“0”。該過程通過引導學生轉化和對比，將問題簡單化，便于學生解決問題并掌握算法及其背后的計算道理。例4—例9則側重于不同情景下知識的運用，基本讓學生按照“理解題意—獨立解決問題—發(fā)現(xiàn)新問題—猜想—嘗試解決—獲得認識—回顧反思”這一過程展開學習。

總體來說，整個學習過程并非知識的直接傳授，而是通過“發(fā)現(xiàn)問題—聯(lián)系舊知—解決問題—建構知識”四個階段展開。對于學生難以發(fā)現(xiàn)和理解的內(nèi)容，例題提供文字線索，搭建學習“腳手架”，以此啟發(fā)學生思維，鼓勵學生獨立探索。當然，我們也應該考慮一點：算法學習過程只注重利用積的變化規(guī)律來解釋算法，而不注重回歸到“計數(shù)單位”本身，可能會導致出現(xiàn)學生只知道要擴大或縮小數(shù)字，卻不知為什么的情況。

2 “小數(shù)乘法”單元習題分析

2.1 內(nèi)容組織分析

內(nèi)容組織分析是指通過分析單元習題的數(shù)量以及所涉及的知識點，理解教材編排人員的意圖和單元的重點?！靶?shù)乘法”單元共編排設計了54道習題，其中，12道為“做一做”，40道練習題，1道思考題和1道討論題。習題與例題密切相關，習題或為例題的直接模仿，或為例題學習內(nèi)容的自然延伸和補充。例4中“做一做”的第2題，不僅是對例4知識點的再鞏固，又延伸提出了通過觀察，探索積的大小與因數(shù)大小關系的要求。

教材中練習題的編排設計并非僅局限于對所學知識的鞏固，而是更加注重指向對學生能力的培養(yǎng)以及情感、態(tài)度和價值觀的塑造。例如，練習三中的第3題，計算世界上第一臺計算機的重量，然后再與目前的輕巧筆記本電腦對比，這有利于讓學生直觀地感受到人類科技的進步，感受科技的魅力。第5題“回收1t廢紙，可以保護16棵樹?；厥?4.5t廢紙可以保護多少棵樹？”不僅能鍛煉學生小數(shù)乘法運算能力，而且還在潤物無聲中滲透了環(huán)保教育，培養(yǎng)了學生的環(huán)保意識。練習四中的第2、3、5題是關于估算的習題，以“夠不夠用”為問題，重視學生估算意識的培養(yǎng)。此外，習題編排還關注考察學生對其他數(shù)學知識和學科知識的綜合應用，如練習二第2題，計算時學生需先正確讀出臺秤上物品的重量，才可進行計算。

總體來說，人教版教材“小數(shù)乘法”單元的習題數(shù)量適中，難度層層遞進，習題涵蓋知識點范圍廣，不局限于小數(shù)乘法的核心知識，還擴充了其他數(shù)學知識和學科知識。

2.2 問題類型分析

徐文彬等三位學者在其著作中將數(shù)學問題劃分為八種類型，分別是總結回顧型問題、理解判斷型問題、解釋說理型問題、計算型問題、運算給定型問題、生活情景型問題、猜想型問題、數(shù)學活動型問題[2]。我們按照上述分類方法對“小數(shù)乘法”單元習題進行分析。

人教版教材中“小數(shù)乘法”單元習題編排的問題類型豐富多樣，八種問題類型均有涉及。具體而言，生活情景型問題類習題最多，共27道，占比50%，這從側面反映出教材的編寫更加注重將數(shù)學知識與生活實際相聯(lián)系，發(fā)揮數(shù)學的工具性價值，培養(yǎng)學生用數(shù)學思維思考現(xiàn)實世界問題的能力，同時，也與新課標中“能在較復雜的真實情景中，選擇恰當?shù)倪\算方法解決問題，形成運算能力和推理意識”的學業(yè)要求匹配度較高，前瞻性較突出[3]。例如，練習二中的第12題，前兩問是分別計算節(jié)能冰箱與普通冰箱的一天耗電量，最后一問則是鼓勵學生自己提問題、解決問題。此外，計算型問題的習題也占有相當?shù)谋壤?，?2道，占比22.2%，運算給定型問題的習題也有5道，占比9.3%，這兩種類型問題的習題共占比約31.5%，廣泛分布于各個練習部分。這種編排設計旨在讓學生在學習過程中不斷地進行運算練習，鞏固和提升他們的計算能力，直接指向新課標中“能進行小數(shù)的四則運算”的學段目標，亦具一定的前瞻性[3]。

總體來說，人教版教材“小數(shù)乘法”單元習題編排類型設置相對合理，與新課標的要求契合度較高，不但指向學生運算能力的培養(yǎng)，而且注重培養(yǎng)和鍛煉學生解決實際問題的意識和能力。但是，稍有遺憾的是，教材習題編排上關于課標中“說明運算過程”這一要求體現(xiàn)得并不明顯[3]。

2.3 認知水平分析

參考王建波學者的研究成果，我們將從模仿、理解、運用、探究四個層面對教材中習題編排的認知水平進行分析[6]。模仿是指學生以例題為藍本，直接模仿其解題步驟和策略，以實現(xiàn)問題的解決；理解指學生深入知識本質，不但可以判斷知識使用情況的對錯，而且可以解釋說明；運用則表示學生能夠遷移所學知識至新情景，運用知識解決新問題；探究屬于較高的認知層次，學生能結合現(xiàn)有知識通過觀察和分析發(fā)現(xiàn)規(guī)律。人教版教材中“小數(shù)乘法”單元的習題編排多為“運用”認知水平和“模仿”認知水平，分別有33道和13道習題，占比61.1%和24.1%，“探究”認知水平與“理解”認知水平的習題較少，均為4道，占比7.4%。單元習題的編排設計突出對學生運算技能的錘煉，并致力于構建數(shù)學與日常生活的緊密聯(lián)系，重點關注的是知識的“實用性”，而非將數(shù)學學習置于生活情境之外，使之成為一個“孤獨者”。例如，練習二第10題，若想解決問題，學生需要事先在生活中調(diào)查獲知水果的單價，然后才能去計算總價。這種設計理念旨在使學生能夠將數(shù)學知識應用于實際問題解決過程之中，從而更深入地理解和應用所學的數(shù)學知識，有助于發(fā)展學生的數(shù)學核心素養(yǎng)，培養(yǎng)學生的創(chuàng)新思維和實踐能力，使知識真正轉化為解決實際問題的能力與技能。同時，“探究”認知水平的出現(xiàn)也表明人教版教材在習題編排上關注了難度的變化，不單純考慮通過簡單的模仿、理解、應用類型的習題去鞏固知識，也考慮學生思維訓練和推理意識的培養(yǎng)，例如，思考題要求用一個大水桶（能盛11kg水）和一個小水桶（能盛4kg水）來準確地量出5kg的水的問題，顯然體現(xiàn)了這樣的編排設計考量。

3 教學建議

以上我們對人教版小學數(shù)學教材“小數(shù)乘法”單元的例題和習題編排情況進行了系統(tǒng)的分析。最后，基于上述分析結果，給出如下三點教學建議，供教師在教學實施過程中參考。

3.1 創(chuàng)造真實情景，以問題鏈重組知識內(nèi)容

王永輝學者將問題鏈的概念定義為教師為了達成教學目標，依據(jù)問題間的邏輯關系而預設的問題串[7]。人教版教材“小數(shù)乘法”單元的例題編排類型劃分較細，這可能會使學生學習缺乏挑戰(zhàn)性，而問題鏈的出現(xiàn)能改變這一局面，所以教師應借助問題鏈重組知識結構，使得割裂的知識相互聯(lián)結，幫助學生形成完整的知識結構。設置問題鏈時，教師要注重創(chuàng)設真實的問題情景，從學生身邊的真實情景出發(fā)調(diào)動學生學習的積極性，激發(fā)學生探索欲。同時，也能使學生感受數(shù)學知識與現(xiàn)實生活的聯(lián)系，深刻體會生活處處有數(shù)學，數(shù)學時刻蘊含在生活之中[8]。

人教版小學數(shù)學教材中“小數(shù)乘法”單元編排在五年級上冊第一單元，講授這個單元內(nèi)容時，正值開學初期，教師在依托例題和習題進行教學設計時，可考慮以裝飾教室為主題，將“小數(shù)乘法”單元知識串聯(lián)。比如，教師可以將“一盆綠植9.5元，購買三盆綠植需要花費多少錢？”“若想設置一個長為0.8m，寬為0.5m的照片墻，需要購買多大的紙板？需要花費多少錢？”等一系列關于裝飾教室的問題作為素材形成知識鏈為本單元的學習創(chuàng)設真實情景，這不但能幫助學生理解小數(shù)乘法相關知識，鍛煉運算能力和形成應用意識，還能增強學生的創(chuàng)造力和想象力，培養(yǎng)責任感與團隊精神。再者，教師還可以依據(jù)實際情況調(diào)整知識內(nèi)容結構，例如，先估算后精算，學習初期可以讓學生嘗試估一估，根據(jù)實際情況選擇估大或估小，初步體會估算的價值，避免學生后期產(chǎn)生“已經(jīng)掌握了精算，為什么還要估算”的疑惑[9]。例5中的驗算也可以在算法學習中滲透，而且需要特別指出一點，驗算的重要性應貫穿于整個學習過程，而不能僅僅當作一個獨立的知識點去看待，要讓學生從一開始學習時就明白驗算的重要性，并將其作為解題過程的一個重要部分。

3.2 深入乘法本質，引入計數(shù)單位理解算理

教材中以文字表征和圖形表征的方式展示了如何運用積的變化規(guī)律將小數(shù)乘法轉化為整數(shù)乘法。為了更好地幫助學生感悟運算的一致性，教師可借助面積模型凸顯計數(shù)單位。

例如，計算2.4×0.8，因為2.4是24個0.1，0.8是8個0.1，所以2.4×0.8=24×0.1×8×0.1=（24×8）×（0.1×0.1）=192×0.01，故2.4×0.8=1.92，但學生難以理解推理過程，所以教師可先引入“單位×單位”的教學，為后期學習做鋪墊。將一個正方形看作“1”，將其平均分成10份，每一份就是0.1，0.1個0.1就是0.1的十分之一，也就是把0.1平均分成10份，其中的一份對于大正方形來說是0.01，其他計數(shù)單位的計算也是同理，這一部分的設計旨在幫助學生深入理解小數(shù)點左右移動是如何影響數(shù)的大小的[10]。引入圖形表征可清晰地展示出小數(shù)點位置的變化過程，幫助學生更好地理解和掌握小數(shù)點移動與數(shù)的大小變化之間的關系，知其所以然，從而提高小數(shù)乘法的計算準確性和效率。

3.3 挖掘習題深意，尋找素養(yǎng)落實點

例題和習題不僅是鍛煉與提升學生知識能力的工具，也是落實學科素養(yǎng)的重要載體。數(shù)學教師要有一雙善于發(fā)現(xiàn)的眼睛，學會挖掘例題和習題背后的深意，方能在數(shù)學學習中實現(xiàn)對學生能力、情感態(tài)度、生活習慣、價值觀等的有效培養(yǎng)。例如，“1hm2松柏林每天分泌殺菌素30kg，24.5hm2松柏林31天分泌殺菌素多少kg？”若想要解決該問題，學生首先要理解題意，尋找關鍵信息，建立信息與問題之間的邏輯關系，列出算式，隨后根據(jù)算式與乘法算法計算出最終答案。此外，這道習題還有更深層的設計意圖，即滲透環(huán)保教育，讓學生意識到植物（如松柏林）在維護環(huán)境健康方面的重要作用。教師不僅要發(fā)現(xiàn)指向數(shù)學學科的能力發(fā)展與素養(yǎng)培養(yǎng)，也同樣需要關注更深層的情感態(tài)度與價值觀，借助松柏林向學生介紹植物在環(huán)保中的貢獻，倡導大家珍惜和保護自然環(huán)境。再者，教師還應有意識地鼓勵學生反思解題流程，并通過圖形或文字清晰地表示出計算過程。這種做法不僅有助于加深學生對知識點的理解和記憶，還能培養(yǎng)他們的邏輯思維能力和表達能力。

4 總結

教材編排是專家思想的具體展現(xiàn)，深入分析教材編排有利于教師把握教學重點和理清學習環(huán)節(jié)。本文簡要分析了人教版教材“小數(shù)乘法”單元的編排情況，整體編排與新課標中相關要求相符，具有一定的前瞻性，但部分內(nèi)容還需教師進行調(diào)整與增添。教學時，教師應先研讀教材，整體把握“小數(shù)乘法”單元知識的脈絡和發(fā)展歷程，隨后精讀每一課時教材，深入剖析文字、圖片背后的意圖，緊接著，明確素養(yǎng)的落實點，確定單元目標與子目標，最后依據(jù)學習需要適當調(diào)整學習內(nèi)容與呈現(xiàn)方式，以便學生更好地突破重難點，實現(xiàn)有效學習。

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收稿日期：2024-06-24

通信作者：劉春輝（1982-），男，內(nèi)蒙古赤峰人，碩士，教授，碩士研究生導師，研究方向：數(shù)學教育，郵箱：chunhuiliu1982@163.com.

基金項目：內(nèi)蒙古自治區(qū)殘疾人聯(lián)合會研究項目（2023KTYJ19）