摘 要：信息技術(shù)與高中數(shù)學(xué)的深度融合有利于提升高中數(shù)學(xué)教學(xué)效果，GeoGebra軟件以獨(dú)特的功能優(yōu)勢(shì)與高中數(shù)學(xué)教學(xué)相契合.通過(guò)在課前階段認(rèn)真了解學(xué)情、制定目標(biāo)、規(guī)劃教學(xué)思路、制作教學(xué)相關(guān)課件，在教學(xué)階段將GeoGebra融入概念教學(xué)、規(guī)則推演、活動(dòng)探究、方法提煉等教學(xué)活動(dòng)中，能夠形成高中數(shù)學(xué)教與學(xué)的新形態(tài)，進(jìn)而提升高中數(shù)學(xué)教學(xué)質(zhì)量.

關(guān)鍵詞：GeoGebra；高中；數(shù)學(xué)；教學(xué)設(shè)計(jì)

中圖分類號(hào)：G632

文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A

文章編號(hào)：1008-0333（2024）33-0021-03

收稿日期：2024-08-25

作者簡(jiǎn)介：蔡瑩（1981.9—），女，福建省福清人，本科，中學(xué)一級(jí)教師，從事高中數(shù)學(xué)教學(xué)研究.

基金項(xiàng)目：福建省教育科學(xué)“十四五”規(guī)劃2023年度立項(xiàng)課題“GeoGebra環(huán)境下的高中數(shù)學(xué)探究教學(xué)研究”（項(xiàng)目編號(hào)：FJJKZX23-726）．

隨著信息技術(shù)的飛速發(fā)展，教育領(lǐng)域的數(shù)字化、信息化趨勢(shì)日益明顯.GeoGebra作為一款集多功能于一體的輔助教學(xué)軟件，逐漸成為高中數(shù)學(xué)教學(xué)的有力工具.在傳統(tǒng)教學(xué)模式中，數(shù)學(xué)概念的抽象性和邏輯推理的復(fù)雜性往往是學(xué)生學(xué)習(xí)的難點(diǎn).而GeoGebra軟件的引入，能夠?yàn)閷W(xué)生提供直觀、動(dòng)態(tài)的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)環(huán)境，有助于降低學(xué)習(xí)難度，提高學(xué)習(xí)興趣.

1 GeoGebra軟件的功能優(yōu)勢(shì)

高中數(shù)學(xué)課程涵蓋了數(shù)與代數(shù)、函數(shù)、幾何與圖形、概率與統(tǒng)計(jì)等多個(gè)知識(shí)板塊，不僅要求學(xué)生掌握基本的數(shù)學(xué)概念和計(jì)算技巧，還需要他們具備一定的空間想象能力和邏輯推理能力.GeoGebra軟件作為一款集多功能于一體的輔助教學(xué)工具，具備運(yùn)算和測(cè)量功能、動(dòng)態(tài)變換功能、軌跡追蹤功能、數(shù)據(jù)處理功能等，與高中數(shù)學(xué)教學(xué)有較高的契合性.運(yùn)算和測(cè)量功能能夠幫助學(xué)生精準(zhǔn)計(jì)算數(shù)學(xué)數(shù)據(jù)、精確繪制圖形；動(dòng)態(tài)變換功能可支持學(xué)生通過(guò)拖拽點(diǎn)、線、面等元素觀察圖形的變化，進(jìn)而增強(qiáng)對(duì)數(shù)學(xué)概念的理解；軌跡追蹤功能支持學(xué)生和教師記錄圖形變化的過(guò)程，從而幫助學(xué)生觀察并分析圖形運(yùn)動(dòng)的規(guī)律；數(shù)據(jù)處理功能能夠支持?jǐn)?shù)據(jù)輸入、統(tǒng)計(jì)分析和圖表生成等操作，對(duì)于數(shù)據(jù)分析和概率統(tǒng)計(jì)的數(shù)學(xué)知識(shí)學(xué)習(xí)尤為重要^[1].

2 基于GeoGebra的高中數(shù)學(xué)教學(xué)設(shè)計(jì)

2.1 教學(xué)前準(zhǔn)備

2.1.1 認(rèn)真了解學(xué)情

GeoGebra雖是一款功能強(qiáng)大的教學(xué)輔助工具，但其應(yīng)用效果取決于學(xué)生的接受能力和學(xué)習(xí)需求.教師通過(guò)深入了解學(xué)情，可以更加精準(zhǔn)地把握學(xué)生的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)、學(xué)習(xí)興趣、學(xué)習(xí)習(xí)慣以及可能遇到的難點(diǎn)，從而有針對(duì)性地制定教學(xué)目標(biāo)、選擇教學(xué)內(nèi)容、設(shè)計(jì)教學(xué)活動(dòng)，使GeoGebra的應(yīng)用更加貼合學(xué)生的實(shí)際情況.為了有效地了解學(xué)情，教師可以采取多種途徑.首先，可以通過(guò)查閱學(xué)生的數(shù)學(xué)成績(jī)、作業(yè)完成情況以及課堂表現(xiàn)等歷史數(shù)據(jù)，初步評(píng)估學(xué)生的數(shù)學(xué)水平和學(xué)習(xí)能力；其次，可以通過(guò)與學(xué)生進(jìn)行面對(duì)面的交流或問(wèn)卷調(diào)查，了解他們對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的興趣、態(tài)度以及對(duì)于GeoGebra這一教學(xué)工具的認(rèn)知和期待；最后，教師可以通過(guò)觀察學(xué)生在預(yù)習(xí)相關(guān)內(nèi)容時(shí)的表現(xiàn)，發(fā)現(xiàn)他們可能存在的困惑和誤解.

2.1.2 依據(jù)新課標(biāo)制定目標(biāo)

新課標(biāo)作為教育教學(xué)的指導(dǎo)性文件，明確規(guī)定了各學(xué)科的教學(xué)要求、目標(biāo)以及評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)，為教師的教學(xué)活動(dòng)提供了明確的方向和依據(jù).依據(jù)新課標(biāo)制定教學(xué)目標(biāo)，教師便可以使教學(xué)內(nèi)容的選擇、教學(xué)活動(dòng)的設(shè)計(jì)以及教學(xué)評(píng)價(jià)的實(shí)施都契合新課標(biāo)的要求.教師需要深入研讀新課標(biāo)的相關(guān)內(nèi)容，理解其核心理念、總體目標(biāo)以及具體的教學(xué)要求^[2].在此基礎(chǔ)上，教師應(yīng)結(jié)合GeoGebra的特點(diǎn)和優(yōu)勢(shì)，立足于四基四能、數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)、情感態(tài)度與價(jià)值觀幾方面考量，細(xì)化新課標(biāo)中的教學(xué)目標(biāo)，形成具有可操作性的教學(xué)目標(biāo)體系.

2.1.3 依據(jù)教材規(guī)劃教學(xué)思路

教材是教學(xué)活動(dòng)的主要依據(jù)，系統(tǒng)地呈現(xiàn)了學(xué)科的知識(shí)體系、邏輯結(jié)構(gòu)和教學(xué)方法，為分析是否能利用GeoGebra軟件的優(yōu)勢(shì)突破重難點(diǎn)提供了參考，也為教師規(guī)劃教學(xué)思路提供了保障.因此，在教學(xué)前階段，教師應(yīng)該總結(jié)提煉出教材中的相關(guān)知識(shí)網(wǎng)絡(luò)，以便進(jìn)一步明確利用GeoGebra教學(xué)的思路.

2.1.4 制作教學(xué)相關(guān)課件

課件也是輔助教師教學(xué)，營(yíng)造積極教學(xué)氛圍的重要工具.教師在制作課件時(shí)應(yīng)該適當(dāng)考量GeoGebra的適用內(nèi)容，而不是單純地為了引進(jìn)此軟件的支持而使用.例如，在制作人教版高中數(shù)學(xué)必修第二冊(cè)第九章《統(tǒng)計(jì)》的相關(guān)課件時(shí)，教師可以利用GeoGebra強(qiáng)大的測(cè)量功能和數(shù)據(jù)分析功能，設(shè)計(jì)直觀、動(dòng)態(tài)的演示，幫助學(xué)生突破學(xué)習(xí)障礙，激發(fā)學(xué)習(xí)興趣.此外，教師可以將此軟件與其他教學(xué)設(shè)備相結(jié)合，如多媒體投影儀等，構(gòu)建出更加生動(dòng)、立體的教學(xué)環(huán)境.

2.2 教學(xué)過(guò)程設(shè)計(jì)策略

2.2.1 基于GeoGebra的概念形成

概念作為培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)思維的基石，蘊(yùn)含著深邃的數(shù)學(xué)思想和解決問(wèn)題的策略.學(xué)生要想掌握數(shù)學(xué)概念，不僅要能準(zhǔn)確記憶其定義與符號(hào)，更要深刻領(lǐng)悟其背后的本質(zhì)屬性.因此，在概念教學(xué)中，教師可充分利用GeoGebra引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷概念形成的全過(guò)程.

以人教版高中數(shù)學(xué)選擇性必修第二冊(cè)第四章中的“等比數(shù)列”為例，首先，教師可先利用GeoGebra向?qū)W生展示謝爾賓斯基三角形，讓學(xué)生看到謝爾賓斯基三角形迭代過(guò)程中每一層三角形的個(gè)數(shù)、邊長(zhǎng)、周長(zhǎng)、面積等元素均呈現(xiàn)等比數(shù)列的規(guī)律，激發(fā)學(xué)生好奇心和探索欲的同時(shí)，巧妙地引出了等比數(shù)列的概念.其次，教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生觀察謝爾賓斯基三角形以及其他類似的生活實(shí)例，共同歸納出等比數(shù)列的核心特征（相鄰兩項(xiàng)之比為常數(shù)），幫助學(xué)生掌握等比數(shù)列的定義^[3].再次，教師應(yīng)充分利用軟件動(dòng)態(tài)演示功能，繪制等比數(shù)列的圖象，讓學(xué)生直觀地觀察到等比數(shù)列的增減性、擺動(dòng)性等特性，從而對(duì)等比數(shù)列產(chǎn)生更加深入的理解.在此基礎(chǔ)上，教師再?gòu)墓鹊慕嵌葘?duì)等比數(shù)列進(jìn)行分類.最后，教師需引導(dǎo)學(xué)生將等比數(shù)列與等差數(shù)列進(jìn)行類比，對(duì)比兩者的異同點(diǎn)，幫助學(xué)生構(gòu)建更加完整的知識(shí)體系.同時(shí)，借助GeoGebra軟件進(jìn)一步拓展等比數(shù)列的相關(guān)概念，如等比中項(xiàng)、求和公式等，為學(xué)生的后續(xù)學(xué)習(xí)打下堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ).

2.2.2 基于GeoGebra的規(guī)則演繹

數(shù)學(xué)作為一門以推理運(yùn)算為核心的學(xué)科，深深扎根于公式法則與定理命題之中.而學(xué)生在運(yùn)算過(guò)程中所出現(xiàn)的錯(cuò)誤，往往源于對(duì)公式、定理、法則的理解不夠透徹.傳統(tǒng)的高中數(shù)學(xué)教學(xué)模式下，教師多采用先展示規(guī)則、再推導(dǎo)驗(yàn)證、后變式應(yīng)用的教學(xué)路徑，而GeoGebra的應(yīng)用，可為這一路徑增加“發(fā)現(xiàn)規(guī)則”這一元素，從而為數(shù)學(xué)教學(xué)增添更多的活力.

以人教版高中數(shù)學(xué)選擇性必修第二冊(cè)第五章《一元函數(shù)的導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用》為例，教師在針對(duì)導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則進(jìn)行教學(xué)時(shí)，可充分借助GeoGebra幫助學(xué)生發(fā)現(xiàn)規(guī)則.在教學(xué)中，教師可鼓勵(lì)學(xué)生親自在GeoGebra的運(yùn)算區(qū)中探索y=xsinx等函數(shù)的導(dǎo)數(shù).在此基礎(chǔ)上，教師應(yīng)改變基本函數(shù)f（x），g（x）的解析式，讓學(xué)生在GeoGebra的動(dòng)態(tài)演示下觀察f（x）g（x）的導(dǎo)數(shù)的變化，清晰地看到和式的由來(lái)，從而歸納出積的求導(dǎo)法則，深刻體驗(yàn)到“再創(chuàng)造”數(shù)學(xué)的樂(lè)趣.當(dāng)然，教師還需引導(dǎo)學(xué)生在利用GeoGebra便捷推導(dǎo)驗(yàn)證公式后，與練習(xí)過(guò)程中的紙筆運(yùn)算結(jié)果進(jìn)行比對(duì)，從而加深對(duì)規(guī)則的理解與應(yīng)用.

2.2.3 基于GeoGebra的活動(dòng)探究

數(shù)學(xué)教學(xué)過(guò)程中的活動(dòng)探究是一個(gè)至關(guān)重要的環(huán)節(jié)，能夠?yàn)閷W(xué)生提供親身體驗(yàn)的機(jī)會(huì).GeoGebra動(dòng)態(tài)形象的優(yōu)勢(shì)為教學(xué)過(guò)程中的活動(dòng)探究提供了有力的支持.以人教版高中數(shù)學(xué)選擇性必修第一冊(cè)第三章《圓錐曲線的方程》為例，在傳統(tǒng)教學(xué)模式下，當(dāng)教師帶領(lǐng)學(xué)生探究圓錐曲線的包絡(luò)線時(shí)，多數(shù)通過(guò)折紙等手工操作呈現(xiàn)圓錐曲線的形狀，但手工折紙不僅費(fèi)時(shí)費(fèi)力，而且難以準(zhǔn)確、直觀地展示包絡(luò)線的形成過(guò)程.而GeoGebra為探究圓錐曲線的包絡(luò)線提供了強(qiáng)有力的支持.在實(shí)際教學(xué)中，教師可利用GeoGebra簡(jiǎn)單地拖動(dòng)滑動(dòng)條，改變點(diǎn)之間的相對(duì)位置，使學(xué)生清晰地觀察到包絡(luò)線隨著中垂線條數(shù)增多而逐漸清晰，直至完整的圓錐曲線展現(xiàn)在眼前.更重要的是，教師可利用GeoGebra的動(dòng)態(tài)演示功能揭示圓錐曲線之間的內(nèi)在聯(lián)系和統(tǒng)一性（即當(dāng)某一點(diǎn)從圓外運(yùn)動(dòng)到圓內(nèi)時(shí)，包絡(luò)線由雙曲線變?yōu)闄E圓）^[4].在此基礎(chǔ)上，教師可選取包絡(luò)線上的任意一點(diǎn)，并利用GeoGebra的計(jì)算功能驗(yàn)證所選取的點(diǎn)滿足雙曲線的定義，進(jìn)而幫助學(xué)生從外在的包絡(luò)現(xiàn)象深入到內(nèi)在的數(shù)學(xué)原理，完成從感性認(rèn)識(shí)到理性思考的飛躍.

2.2.4 基于GeoGebra的方法提煉

數(shù)學(xué)教學(xué)的一個(gè)核心任務(wù)就是讓學(xué)生掌握解題方法，能夠解決數(shù)學(xué)問(wèn)題.但數(shù)學(xué)題目類型較多且千變?nèi)f化，相應(yīng)的解題方法也會(huì)更加復(fù)雜、多變.因此，教師的教學(xué)重點(diǎn)之一是幫助學(xué)生提煉解題方法，進(jìn)而幫助學(xué)生更好地解決實(shí)際問(wèn)題.基于GeoGebra這一強(qiáng)大的教學(xué)輔助軟件，教師可設(shè)計(jì)一系列富有啟發(fā)性和互動(dòng)性的教學(xué)活動(dòng)，幫助學(xué)生深入理解問(wèn)題本質(zhì)，提煉出有效的解題策略.

以人教版高中數(shù)學(xué)選擇性必修第二冊(cè)第五章《一元函數(shù)的導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用》為例，其中的導(dǎo)數(shù)零點(diǎn)問(wèn)題可成為教師利用GeoGebra幫助學(xué)生提煉解題方法的有效載體.首先，教師可利用GeoGebra將復(fù)雜的函數(shù)圖象直觀地展現(xiàn)出來(lái)，讓學(xué)生能夠通過(guò)觀察圖象的變化趨勢(shì)，初步判斷函數(shù)的單調(diào)性和零點(diǎn)位置.其次，教師可引導(dǎo)學(xué)生從不同角度出發(fā)思考問(wèn)題，即嘗試不同的“找點(diǎn)”策略，培養(yǎng)其思維的靈活性和創(chuàng)新性.當(dāng)學(xué)生找到符合條件的點(diǎn)后，教師可利用GeoGebra的計(jì)算和繪圖功能進(jìn)一步引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行證明，使他們能夠更加專注于探索問(wèn)題的本質(zhì)和解題策略.最后，在學(xué)生進(jìn)行證明后，教師可利用GeoGebra幫助學(xué)生回顧和反思解題過(guò)程，提煉出解題的關(guān)鍵步驟和核心思想，并同步利用GeoGebra縮放學(xué)生所證明的函數(shù)，幫助學(xué)生清晰地看到不同放縮函數(shù)與原始函數(shù)之間的關(guān)系，從而在提高學(xué)生解題能力的同時(shí)，促進(jìn)其數(shù)學(xué)思維的提升.

3 結(jié)束語(yǔ)

綜上所述，通過(guò)對(duì)GeoGebra在高中數(shù)學(xué)教學(xué)設(shè)計(jì)中的應(yīng)用研究，凸顯了這一輔助軟件在促進(jìn)數(shù)學(xué)教學(xué)現(xiàn)代化、提高教學(xué)效率與效果方面的巨大潛力，為教師在實(shí)際教學(xué)中如何有效運(yùn)用GeoGebra提供了指導(dǎo).未來(lái)，隨著GeoGebra功能的不斷完善和數(shù)學(xué)教學(xué)改革的深入推進(jìn)，GeoGebra將在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中發(fā)揮更加重要的作用.作為教師，應(yīng)當(dāng)不斷探索和創(chuàng)新，充分利用GeoGebra等現(xiàn)代信息技術(shù)手段，優(yōu)化教學(xué)設(shè)計(jì)，提升教學(xué)質(zhì)量，為學(xué)生的全面發(fā)展奠定堅(jiān)實(shí)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ).

參考文獻(xiàn)：

[1] 王靜.基于GeoGebra的高中數(shù)學(xué)直觀想象素養(yǎng)培養(yǎng)的思考：以“柱、錐、臺(tái)的側(cè)面展開(kāi)與面積”教學(xué)設(shè)計(jì)為例[J].中小學(xué)數(shù)學(xué)（高中版），2024（03）：61-64.

[2] 馬孟華，施亞軍，彭元忠.基于信息技術(shù)工具GeoGebra輔助下的高中數(shù)學(xué)高效課堂案例設(shè)計(jì)及反思：以“對(duì)數(shù)函數(shù)”新課教學(xué)為例[J].數(shù)學(xué)教學(xué)研究，2024，43（01）：51-62.

[3] 趙麗君.新教材理念引領(lǐng)下GeoGebra軟件助力高中數(shù)學(xué)課堂的實(shí)踐研究[J].牡丹江教育學(xué)院學(xué)報(bào)，2023（06）：103-106.

[4] 李崇榆.基于GeoGebra的高中數(shù)學(xué)探究式教學(xué)：以“祖暅原理與球的體積”的教學(xué)為例[J].中學(xué)數(shù)學(xué)研究（華南師范大學(xué)版），2022（12）：1-2，53.

[責(zé)任編輯：李 璟]