摘要：“母題”即原型題，往往是試卷命題的基礎(chǔ)，因為將“母題”進行變式后就形成了一道新題.近些年來，“課本再現(xiàn)和實踐探究題”在中考試卷中出現(xiàn)的次數(shù)越來越多，無形中指引教師要朝著這一新的方向研究.本文中從圓的一道“母題”出發(fā)，談一談如何借助“母題”進行變式，從而達到拓展學(xué)生思維、訓(xùn)練發(fā)散性思維的目的.

關(guān)鍵詞：“母題”；變式；思維拓展；發(fā)散性思維

在教學(xué)過程中，我們經(jīng)?？梢园l(fā)現(xiàn)這樣的現(xiàn)象——試卷或練習(xí)中的題目可以在課本中找到原型，這個原型就是“母題”.“母題”對變式的設(shè)計及思維拓展等都有重要作用，不僅能強化學(xué)生的知識基礎(chǔ)，也能挖掘并發(fā)展學(xué)生的潛能，不斷幫助學(xué)生提高解決問題的能力.本文中以北師大版教材為例，談一談如何利用“母題”進行變式及思維拓展.

1 “母題”的重要作用

首先，“母題”體現(xiàn)了教材的基礎(chǔ)性.教材是教學(xué)的主要載體，通過解答練習(xí)題，學(xué)生既可以學(xué)習(xí)基礎(chǔ)知識，又能積累基本解題經(jīng)驗[1].如果“母題”較難，不利于學(xué)生強化與鞏固基礎(chǔ)知識.所以，教材上的“母題”都比較基礎(chǔ)，學(xué)生的輻射面更廣.

其次，“母題”是命題或變式的基礎(chǔ).在命制試卷時，往往會借助“母題”.例如，江西2021年和2023年的中考試卷中，都出現(xiàn)了“課本再現(xiàn)和實踐探究題”，這類題就是通過“母題”變式而來.所以，“母題”是命題或變式的基礎(chǔ).

最后，“母題”體現(xiàn)了教學(xué)目標(biāo)和數(shù)學(xué)素養(yǎng).因為“母題”都經(jīng)過了專家的精心挑選和設(shè)計，既能幫助教師強化課堂教學(xué)，又能讓學(xué)生通過解“母題”鞏固課堂所學(xué)，有助于形成和發(fā)展數(shù)學(xué)素養(yǎng).

2 “母題”與變式間的關(guān)系

“母題”是變式的基礎(chǔ)，變式是“母題”的延申，這是對“母題”和變式之間的關(guān)系相對簡單的概括.這主要是因為變式往往需在“母題”的基礎(chǔ)上完成，而與變式相關(guān)的內(nèi)容“母題”中可能不具備，是“母題”的補充或延申.例如，北師大版九年級下冊教材中第84頁有這樣一道“母題”：

如圖1，圓內(nèi)接四邊形ABCD兩組對邊的延長線分別交于點E，F(xiàn)，且∠E=40°，∠F=60°，求∠A的度數(shù).

如果將條件“∠E=40°，∠F=60°”改變?yōu)椤敖瞧椒志€”或“垂直平分線”，那么這些新的條件就是“母題”的補充或延伸.

這種補充或延伸體現(xiàn)在三個方面：

（1）知識的補充

“母題”中并未出現(xiàn)角平分線或垂

直平分線，自然學(xué)生在解題時不會應(yīng)用這兩個知識點.而一旦“母題”變式中出現(xiàn)這兩個條件，那么勢必會增加與這兩個條件有關(guān)的知識點.所以，變式是“母題”的知識的補充.

（2）技法的補充

在“母題”中，解題方法可能比較簡單，但變式中的解題方法可能更豐富、更靈活，是“母題”的一種技法的補充.

（3）數(shù)學(xué)思想的補充

“母題”中蘊含的數(shù)學(xué)思想，可能與變式中蘊含的數(shù)學(xué)思想不同，彼此形成互補，共同促進學(xué)生數(shù)學(xué)思想的全面形成與發(fā)展[2].這也是“母題”與變式間相輔相成的關(guān)系.

3 例展“母題”變式

既然“母題”和變式間存在如此重要的關(guān)系，同時“母題”對變式的設(shè)計及思維拓展發(fā)揮著重要作用，那么，如何進行“母題”變式呢？接下來，結(jié)合北師大版教材中第84頁的一道“母題”進行課堂例析.

“母題”呈現(xiàn)如上，先來看看其解法：

解：如圖2，連接EF.

∵四邊形ABCD是圓的內(nèi)接四邊形，

∴∠ECD=∠A.

∵∠1+∠2=∠ECD，

∴∠1+∠2=∠A.

∵∠1+∠2+∠A+∠AEB+∠AFD=180°，

∠AEB=40°，∠AFD=60°，

∴40°+60°+2∠A=180°.

∴∠A=40°.

從解題過程中可看到，本題主要應(yīng)用了“圓內(nèi)接四邊形的對角互補”“三角形的外角”“三角形的內(nèi)角和”等知識點.

接下來，可按如下思路變式.

3.1 變式一：角平分線+證明線段相等

正如上文提到，將角的大小換成角平分線，就實現(xiàn)了變式，得到如下變式一：

如圖3所示，四邊形ABCD是圓內(nèi)接四邊形，延長兩組對邊分別交于點E，F(xiàn)，∠AFB的平分線分別交AB，CD于點H，K.

求證：EH=EK.

分析題目不難發(fā)現(xiàn)，條件與“母題”類似，通過改變條件進行變式.接下來，看看變式一的證明過程.

證明：

∵FH為∠AFB的平分線，

∴∠AFH=∠BFH.

∵四邊形ABCD是圓內(nèi)接四邊形，

∴∠FCK=∠A.

∴∠AFH+∠A=∠BFH+∠FCK.

∴∠EHK=∠EKH.

∴EH=EK.

對比證明過程可發(fā)現(xiàn)，同樣利用了“圓內(nèi)接四邊形的對角互補”“三角形的外角”等知識點，與“母題”有一定的類似.而且角平分線的出現(xiàn)對“母題”蘊含的知識點、解法等都進行了一定補充，是“母題”的拓展和延伸.

3.2 變式二：角平分線+證明垂直

既然引入角平分線后可證明兩條線段相等，那么是否可以證明兩條線段互相垂直呢？根據(jù)這樣的思路，可得到如下變式二：

如圖4，四邊形ABCD是圓內(nèi)接四邊形，延長兩組對邊分別交于點E，F(xiàn)，∠AEB，∠AFD的角平分線交于點P.

求證：PE⊥PF.

本題首先在變式一的基礎(chǔ)將一個角的角平分線變成了兩個角的角平分線，從“母題”的求角度變?yōu)樽C明線段相等，再變?yōu)樽C明兩條線段互相垂直.這種變式，既發(fā)散了思維，又遷移了知識和能力.

其實，《義務(wù)教育數(shù)學(xué)新課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》中提倡“通過解決問題的反思，獲得解決問題的經(jīng)驗”，所以數(shù)學(xué)教學(xué)離不開例題、習(xí)題，如何選擇例題、習(xí)題并挖掘教材潛在的智能價值、充分展示教學(xué)功能就顯得尤為重要[3].

3.3 變式三：垂線+證明相似

在母題中，DF和AE的位置關(guān)系及BE與AB的位置關(guān)系皆未知.那么，此時可改變原題條件，得到如下變式三：

如圖1，圓內(nèi)接四邊形ABCD兩組對邊的延長線分別交于點E，F(xiàn)，且∠ADF=∠ABC=90°，∠E=40°.你能找到圖中的相似三角形嗎？若能，請選其中一對嘗試證明.

該變式是一道開放題，對培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散性思維非常有利.分析題意發(fā)現(xiàn)，由于∠ADF=∠ABC=90°，∠E=40°，因此可得∠A=50°，∠F=40°.于是能得到△ABE∽△CDE∽△CBF.根據(jù)題意，學(xué)生只需選擇其中兩個三角形證明相似即可.

解：能，△ABE∽△CDE，理由如下.

∵∠ADF=∠ABC=90°，∠E=40°，

∴∠A=50°，∠DCE=50°.

∴△ABE∽△CDE.

本變式的條件及解題過程雖然都非常簡單，但作為一道基礎(chǔ)題照顧到了后進生，調(diào)動了后進生參與課堂教學(xué)的積極性.事實上，變式教學(xué)不應(yīng)成為尖子生的專享，教師更應(yīng)該照顧到全班學(xué)生.對于后進生，也應(yīng)積極參與到變式教學(xué)中.

4 結(jié)束語

通過對“母題”不同角度、不同層次的變式，可以實現(xiàn)一題多變，從而讓更多知識點產(chǎn)生更深刻、更緊密的聯(lián)系.這樣一來，不僅學(xué)生加深了對知識的理解，而且使知識學(xué)習(xí)變得更系統(tǒng)化，更幫助學(xué)生克服了思維定勢，讓思維得到了發(fā)散.

參考文獻：

[1]曾凱.以舊“喚”新，品味軸對稱——一道教材母題的思考、變式及拓展應(yīng)用[J].基礎(chǔ)教育論壇，2017（13）：50-51.

[2]程聰聰.小改變 大不同——談?wù)n本習(xí)題的漸變式探究[J].中小學(xué)數(shù)學(xué)（初中版），2014（5）：33-34.

[3]鄭有元.借“題”發(fā)揮 拓展思維——一組教材習(xí)題的變式與拓展探究[J].中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考，2022（24）：41-42.