摘" 要：數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的提升是一個漫長的過程，需要經(jīng)過長期的滲透和積累，需要循序漸進(jìn)、螺旋上升。有效教學(xué)探究是提升核心素養(yǎng)的重要手段之一。教師可以通過創(chuàng)設(shè)合適的問題情境，培養(yǎng)學(xué)生的問題意識；開展層層追問，不斷地進(jìn)行聯(lián)想轉(zhuǎn)化，直抵問題核心；在探究的過程中，引導(dǎo)學(xué)生利用數(shù)學(xué)思想方法為指引，找到解決問題的思路。文章以“圓周角”（第1課時）為例，探討如何通過引導(dǎo)學(xué)生有效探究，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。

關(guān)鍵詞：學(xué)生探究；核心素養(yǎng)；數(shù)學(xué)思想方法

一、創(chuàng)設(shè)情境，有效探究

數(shù)學(xué)來源于生活，又服務(wù)于生活。創(chuàng)設(shè)一個學(xué)生覺得好玩又有用的生活情境，能激發(fā)學(xué)生的好奇心和探索興趣，所以有效探究的方法之一，往往始于情境創(chuàng)設(shè)。在“圓周角”的教學(xué)中，很多課例都是通過類比圓心角，直接引入圓周角的概念。本案例以體育課足球訓(xùn)練為背景，創(chuàng)設(shè)足球射門的情境。足球射門是學(xué)生熟悉又感興趣的一項運動，用足球射門來引出圓周角，更能調(diào)動學(xué)生對圓周角進(jìn)行探究的積極性。

情境如下：如圖１，體育課上，教師在球門前劃了一個圓圈，訓(xùn)練學(xué)生在無人防守的情況下，進(jìn)行射門練習(xí)。甲、乙兩名同學(xué)分別在Ｃ、Ｄ兩個位置，兩位學(xué)生都說在自己的位置是射門的最好位置，請你從數(shù)學(xué)的角度進(jìn)行解釋。

大多數(shù)學(xué)生認(rèn)為Ｄ位置比較好。從圖形直觀上，位置Ｄ射門角度似乎更大。學(xué)生很自然地把射門位置的優(yōu)劣轉(zhuǎn)化成面對球門時，比較兩個位置射門角度的大小。這就是用數(shù)學(xué)的眼光來觀察現(xiàn)實世界。事實上，僅從射門角度考慮，位置Ｃ和Ｄ的角度是一樣的。利用“幾何畫板”，進(jìn)行動態(tài)演示，學(xué)生不難得出結(jié)論：球門所對的圓弧，無論在哪個位置進(jìn)行射門，角度都是不會發(fā)生變化。當(dāng)直觀猜想與科學(xué)測量產(chǎn)生沖突和矛盾時，學(xué)生便產(chǎn)生了進(jìn)一步探究的興趣。

青春期的學(xué)生正處于好奇心和求知欲迅速發(fā)展的階段。在他們的內(nèi)心深處，都希望自己能夠親身去經(jīng)歷和體驗探究發(fā)現(xiàn)的樂趣，這種樂趣能夠讓學(xué)生不怕挫折，不辭勞苦，積極探索。數(shù)學(xué)情境的創(chuàng)設(shè)，也可以是純數(shù)學(xué)情境，只要能夠激發(fā)學(xué)生思考的興趣，讓學(xué)生愿意嘗試去探究和發(fā)現(xiàn)，就是合適的情境。

二、層層追問，聯(lián)系轉(zhuǎn)化

發(fā)現(xiàn)問題，才有可能進(jìn)行創(chuàng)新。能提出問題，才能進(jìn)行有效思考，思考才不至于盲人摸象，毫無頭緒。因此培養(yǎng)學(xué)生的“問題意識”至關(guān)重要，教師要給學(xué)生示范如何提問題，如何提出有價值的問題，鼓勵學(xué)生大膽提問題。

為了讓學(xué)生更好地明晰圓周角的定義，不妨讓學(xué)生動手自己畫一個圓周角，如圖２。動手作圖，能根據(jù)定義準(zhǔn)確作出圓周角，才是真正理解圓周角的定義。通過收集學(xué)生的作圖，進(jìn)行投影展示，再次進(jìn)行辨析，深化學(xué)生對定義的理解。

現(xiàn)在已經(jīng)明確研究的對象是圓周角。可是如何證明這些圓周角相等。如圖３所示，教師可引導(dǎo)學(xué)生繼續(xù)深入觀察足球射門情境中這三個圓周角。這三個角的共同點是什么。通過“幾何畫板”演示，拖動點Ｄ在優(yōu)?。校茫焉线\動，會發(fā)現(xiàn)隨著動點Ｄ位置的改變，出現(xiàn)了無數(shù)個圓周角。在這個變化的過程中，有一點是不變的，就是這些圓周角始終對著弧ＰＱ，或者是弦ＰＱ，這就是這些圓周角的共同點。教師要引導(dǎo)學(xué)生觀察研究對象的異與同，在變中尋找不變，把研究問題的主要思路教給學(xué)生。

撥開迷霧，找到這些圓周角的共同點，依然無法證明它們相等。但學(xué)生已發(fā)現(xiàn)這三個角有了聯(lián)系，就是對著同一段弧，只是這個聯(lián)系還不夠深入。教師需要繼續(xù)挖掘這種聯(lián)系。既然弧的聯(lián)系還不夠，是否還能夠繼續(xù)轉(zhuǎn)化。引導(dǎo)學(xué)生回顧前面學(xué)過的圓的有關(guān)知識點，自然想到有弧、弦、圓心角的關(guān)系這一知識點。由前面所學(xué)“知一推二”的性質(zhì)可得：可以將弧等價轉(zhuǎn)化為圓心角的問題。通過不斷地聯(lián)想、聯(lián)系和轉(zhuǎn)化，可以發(fā)現(xiàn)這三個圓周角和它們所對的圓心角可以建立聯(lián)系。通過學(xué)生動手畫圖和“幾何畫板”動態(tài)演示，不難發(fā)現(xiàn)，弧和圓心角都不變，但圓周角有無數(shù)個位置，無數(shù)種可能。

學(xué)生思路又清晰起來，繼續(xù)進(jìn)行探索。此時，教師可以追問學(xué)生：數(shù)學(xué)研究的對象是數(shù)量關(guān)系和空間形式，那么圓周角和它們所對的圓心角，是否蘊含著某種特殊的數(shù)量關(guān)系呢？鼓勵學(xué)生分組合作，先大膽地進(jìn)行幾何直觀猜想，再自己動手作圖，用量角器進(jìn)行測量驗證。幾乎大部分學(xué)生都能得到測量結(jié)果：此時圖形上圓周角的度數(shù)等于圓心角的一半。然而會不會有測量誤差呢，這些個例能代表所有的情況嗎？即對著同一條弧的圓周角和圓心角均有如此的數(shù)量關(guān)系嗎？研究到此，學(xué)生已經(jīng)非常興奮，而且非常自信，他們認(rèn)為同一弧所對的圓周角是圓心角的一半這一數(shù)量關(guān)系肯定成立。為了加以驗證，教師繼續(xù)用“幾何畫板”進(jìn)行動態(tài)演示，發(fā)現(xiàn)只要對著同一條弧，無數(shù)個圓周角永遠(yuǎn)等于此時圓心角的一半。既然同一段弧所對的圓周角度數(shù)都等于圓心角的一半，而圓心角不變，那么這些圓周角自然都是相等的，射門角度相等的問題就迎刃而解。

在此過程中，教師要引導(dǎo)學(xué)生善于觀察，要有發(fā)現(xiàn)問題和提出問題的意識，要學(xué)會層層追問，不斷地去聯(lián)想、聯(lián)系和轉(zhuǎn)化，終可豁然開朗，直抵問題本質(zhì)。

三、用數(shù)學(xué)思想方法引導(dǎo)探究

數(shù)學(xué)思想方法蘊含在數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)知識中，是數(shù)學(xué)的本質(zhì)和靈魂。在復(fù)雜多變的問題情境中，利用數(shù)學(xué)思想方法，能幫助學(xué)生不變應(yīng)萬變，找到解決問題的靈感和思路。掌握數(shù)學(xué)思想方法，用數(shù)學(xué)思想方法引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行探究，可以事半功倍。

在問題情境中，學(xué)生通過觀察和猜想，已經(jīng)發(fā)現(xiàn)了圓周角和圓心角，圓周角和圓周角之間存在特殊的數(shù)量關(guān)系。只要證明了圓周角和圓心角之間的特殊數(shù)量關(guān)系，圓周角和圓周角數(shù)量關(guān)系的證明自然就水到渠成了。

在數(shù)學(xué)領(lǐng)域，猜想和證明是兩個重要的組成部分。但是猜想僅是問題的起點，還不能直接作為問題的結(jié)論。只有通過嚴(yán)密的邏輯推理驗證后，猜想才能成為一個定理。應(yīng)該如何進(jìn)行證明呢？

（一）分類討論

同一條弧所對的圓周角有無數(shù)個，“無數(shù)”個圓周角是無法每一個都一一去驗證的。這“無數(shù)”個圓周角中，會不會存在著某些還沒有發(fā)現(xiàn)的相同性質(zhì)呢？這個共性肯定是存在的，否則無法繼續(xù)進(jìn)行驗證。但這個共性在這里學(xué)生很難看得出來，是教學(xué)的難點，需要教師在課堂上及時進(jìn)行點撥，此處不宜糾結(jié)太久時間。不妨放手讓學(xué)生自己作圖，畫出同一條弧所對的，不同位置的多個圓周角，先嘗試自己進(jìn)行觀察歸納。教師演示“幾何畫板”，如圖4所示，當(dāng)動點Ｐ從點Ａ運動到點Ｂ位置，提醒學(xué)生觀察，圓周角和圓心的位置關(guān)系。隨著幾遍動點緩慢移動的演示，學(xué)生不難發(fā)現(xiàn)，在點Ｐ運動的過程中，存在著兩個特殊的位置，即圓心有兩次出現(xiàn)在圓周角的一條邊上，這種情況僅出現(xiàn)兩次。其他情況可歸納為：圓心在圓周角的外部和圓心在圓周角的內(nèi)部。故以圓心與圓周角的位置關(guān)系為標(biāo)準(zhǔn)，進(jìn)行分類討論，可以實現(xiàn)“無限化有限”，以有限研究無限的目的。讓學(xué)生體會到分類討論思想的重要性，此處沒有進(jìn)行分類，問題就無法繼續(xù)研究下去。

至此，可歸納出圓周角和圓心角的三類位置關(guān)系：圓心分別在圓心角的外部，邊上和內(nèi)部。因此每一類情況中，只需要選擇這一類中的任意一種情況進(jìn)行驗證即可。

分類討論的思想非常重要，不僅廣泛應(yīng)用于數(shù)學(xué)的各類解題和證明中，同時也是現(xiàn)實生活中，分析問題和解決問題非常重要的邏輯推理的工具。長期對學(xué)生進(jìn)行這樣的滲透和訓(xùn)練，可以讓學(xué)生的思維更加全面和縝密，有助于形成和發(fā)展學(xué)生的核心素養(yǎng)。

（二）類比、轉(zhuǎn)化和模型

分析和解決幾何問題時，往往可以根據(jù)幾何圖形的復(fù)雜程度，采取由易到難，由簡單到復(fù)雜的解題策略。根據(jù)這個思路，接下來應(yīng)該證明當(dāng)圓心在圓周角內(nèi)部的情況。在過往學(xué)習(xí)幾何的經(jīng)驗中，學(xué)生已經(jīng)有把復(fù)雜圖形轉(zhuǎn)化成簡單圖形的經(jīng)驗，比如把四邊形的問題轉(zhuǎn)化成三角形來解決。應(yīng)用類比的經(jīng)驗，教師可以引導(dǎo)學(xué)生是否可將圓心在圓周角內(nèi)部這種情況進(jìn)行轉(zhuǎn)化？將四邊形問題轉(zhuǎn)化為熟悉的三角形問題來分析？受此啟發(fā)，學(xué)生不難想到作輔助線，即連接ＣＯ。

教師再引導(dǎo)學(xué)生觀察和歸納“小紅旗”模型，如圖4作連接ＣＯ并延長交圓于點Ｄ的直徑，不難證明當(dāng)圓心在圓周角內(nèi)部時∠ＡＯＢ＝∠ＡＯＤ＋∠ＢＯＤ＝2∠ＡＣＯ＋ 2∠ＢＣＯ＝2（∠ＡＣＯ＋∠ＢＣＯ）＝2∠ＡＣＢ。此時，教師要及時引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行歸納，讓學(xué)生體會應(yīng)用“小紅旗”模型解決問題的簡便。

當(dāng)圓心在圓周角外部時，這種情況更復(fù)雜，但有了前面的經(jīng)驗，提示學(xué)生構(gòu)造模型，在復(fù)雜圖形中分離出兩個“小紅旗”的模型，如圖5，可以得到∠ＡＯＢ＝∠ＢＯＤ-∠ＡＯＤ＝2∠ＢＣＯ-2∠ＡＣＯ＝2（∠ＢＣＯ-∠ＡＣＯ）＝2∠ＡＣＢ，不難證明結(jié)論。綜合以上幾類情況，至此，圓周角定理得證。為了加深學(xué)生印象，教師可以通過“幾何畫板”進(jìn)行動態(tài)演示，將“小紅旗”左右翻折，讓學(xué)生對構(gòu)造“小紅旗”的模型思想更深刻，滲透和體會模型思想能讓結(jié)論證明變得更加簡單易懂。

四、結(jié)語

開展數(shù)學(xué)探究活動，讓學(xué)生經(jīng)歷觀察、實驗、猜想、類比等思維活動，成功的喜悅和自信，失敗時不輕易放棄的信念，是提升學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)非常好的方式之一。在探究活動中，通過精心創(chuàng)設(shè)學(xué)生感興趣的問題情境，培養(yǎng)學(xué)生的問題意識，滲透、提煉和概括數(shù)學(xué)思想方法，讓學(xué)生學(xué)會在數(shù)學(xué)思想方法的指引下進(jìn)行問題研究，可以讓數(shù)學(xué)的探究活動更加有效。數(shù)學(xué)教學(xué)不僅要傳授數(shù)學(xué)知識，訓(xùn)練技能，更要揭示數(shù)學(xué)的本質(zhì)，教學(xué)生如何進(jìn)行正確的思考。要通過有效的數(shù)學(xué)探究活動，將數(shù)學(xué)的思想方法和數(shù)學(xué)精神品質(zhì)，通過長期的潛移默化，潤物無聲，發(fā)展成學(xué)生將來生活和工作的思維方式，提升學(xué)生的核心素養(yǎng)，使學(xué)生受益終生。

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