摘 要：2024年高考數(shù)學(xué)新課標(biāo)Ⅰ卷第19題涉及的知識點相對較少，而思維含量頗高。其解題思路集中表現(xiàn)為數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗的不斷總結(jié)（歸納）和遷移（類比），具有較強的探究味。其命制具有題目背景公平、解題技巧弱化、素養(yǎng)考查全面、前后結(jié)構(gòu)連貫等特點。從而，對數(shù)學(xué)教學(xué)的啟示除了弱化技巧，注重發(fā)展學(xué)生的核心素養(yǎng)之外，更重要的是：注重經(jīng)驗積累，加強反思教學(xué)，從而提升學(xué)生探究學(xué)習(xí)知識、解決問題的能力。

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)教學(xué)；高考試題；核心素養(yǎng)；經(jīng)驗；反思

為了進(jìn)一步推進(jìn)高考綜合改革，教育部考試中心于2024年1月推出了高考適應(yīng)性測試卷。通過專家點評，數(shù)學(xué)卷明確傳遞出弱化知識與技能考查、增強思維過程與核心素養(yǎng)考查的命題導(dǎo)向。在調(diào)查的基礎(chǔ)上，2024年高考數(shù)學(xué)全國卷發(fā)生了新變化：題量減少了，解答題考查內(nèi)容的位置分布不再固化。其中，新課標(biāo)Ⅰ卷第19題作為壓軸題，涉及的知識點就相對較少，而思維含量頗高，尤其是第3問頗有難度，網(wǎng)上傳出部分省市該題滿分人數(shù)極少甚至為0。本題與日常教學(xué)的常規(guī)問題迥異，甚至有點兒競賽題的味道，引起了部分一線教師的爭議。本文擬客觀分析本題的解題思路、命題特點，并對一線教學(xué)提出相應(yīng)建議。

一、 解題思路探析

（2024年高考數(shù)學(xué)新課標(biāo)Ⅰ卷第19題）設(shè)m為正整數(shù)，數(shù)列a1，a2，…，a4m+2是公差不為0的等差數(shù)列，若從中刪去兩項ai和aj（i＜j）后剩余的4m項可被平均分為m組，每組的4個數(shù)都能構(gòu)成等差數(shù)列，則稱數(shù)列a1，a2，…，a4m+2是（i，j）可分?jǐn)?shù)列。

（1） 寫出所有的（i，j）（1≤i＜j≤6），使得數(shù)列a1，a2，…，a6是（i，j）可分?jǐn)?shù)列；

（2） 當(dāng)m≥3時，證明：數(shù)列a1，a2，…，a4m+2是（2，13）可分?jǐn)?shù)列；

等差數(shù)列中的若干項成等差數(shù)列，它們對應(yīng)的項數(shù)也成等差數(shù)列。因此，題干中的數(shù)列可直接視為1，2，…，4m+2。為了表述方便，下文對其進(jìn)行圖示說明。

第一問要求學(xué)生理解“（i，j）可分?jǐn)?shù)列”這一新概念，對前6項找出全部的（i，j）。由于數(shù)列項數(shù)較少，學(xué)生經(jīng)過嘗試，不難得出如圖1所示的答案。

在解決本問的過程中，學(xué)生加深了對（i，j）可分?jǐn)?shù)列的認(rèn)識，形成了對（i，j）可分?jǐn)?shù)列的具體感知，同時可以收獲經(jīng)驗①“掐頭去尾，使得剩下的是連續(xù)的4項”。

第二問給出了明確的目標(biāo)：數(shù)列是（2，13）可分?jǐn)?shù)列。因此，學(xué)生可以直接考察數(shù)列刪去2和13兩項后能否折分成若干個4項的等差數(shù)列。由于題目給出了具體的范圍m≥3，學(xué)生也不難先嘗試研究m=3的情形，再推廣到m≥4的情形。

在m=3的情況下，學(xué)生通過嘗試，不難得到如圖2所示的分組方法。

在這一過程中，學(xué)生可以收獲經(jīng)驗②“從刪去的項看，還可以刪去首尾的第2項”和經(jīng)驗③“從剩余的項看，最后構(gòu)成等差數(shù)列的還可以是間隔兩項的項”。

當(dāng)m≥4時，相對于m=3的情形，數(shù)列從第15項起一共多了連續(xù)的4（m-3）項。在這些項中，連續(xù)4項分為一組，正好形成m-3組等差數(shù)列，結(jié)論得證。

在這種情形下，學(xué)生可以獲得經(jīng)驗④“在原數(shù)列（i，j）可分的情況下，后面增加4k項，仍（i，j）可分；類似地，前面增加4k項，則（i+4k，j+4k）可分”。

基于經(jīng)驗①和經(jīng)驗④，可以一般化得到第一種情形：對整個4m+2項中間連續(xù)的4l+2項“掐頭去尾”，即去掉4k+1和4r+2（0≤k≤r≤m）兩項，如圖3所示。此時，去掉的項兩側(cè)和中間的項數(shù)均是4的倍數(shù)，故剩下的項可以分成m組，每組均是連續(xù)的4項（仍成等差數(shù)列）。因為大小順序確定且可以相等，這里的k、r相當(dāng)于在m+2（而非m+1）個數(shù)中任選2個數(shù)，所以個數(shù)為C2m+2。

對部分學(xué)生而言，直接算出個數(shù)為C2m+2有一定的難度。他們可以根據(jù)經(jīng)驗①和經(jīng)驗④，以（1，2）、（1，6）、（5，6）為基礎(chǔ)，將i、j向后移動4k項（k≤m），得到如下頁圖4所示的結(jié)果，從而不難算出個數(shù)為1+2+…+（m+1）

根據(jù)經(jīng)驗②、經(jīng)驗③和經(jīng)驗④，學(xué)生可以想到（2，13）可能成為新一類可分?jǐn)?shù)列的典型代表，從而推廣得到：對整個4m+2項中間連續(xù)的4l+2項刪去首尾的第2項，即去掉4k+2和4r+1（0≤k＜r≤m）兩項，如圖5所示。

但是，（2，13）只是中間連續(xù)的14項首尾的第2項，還需要進(jìn)一步一般化。為此，可以考察（2，5）、（2，9）、（2，17）等，即中間連續(xù)的6項、10項、18項等首尾的第2項是否可分，從而尋找一般規(guī)律。

對前6項，根據(jù)經(jīng)驗①，（2，5）不可分。

對前10項，通過嘗試，不難得到如圖6所示的分組方法（每組是間隔一項的項），因此，（2，9）可分。

對前18項，通過嘗試，不難發(fā)現(xiàn)第9—18項的情況和前10項的情況完全一樣（都刪去了首尾的第2項），可以按如圖7所示的方法分組，因此，（2，17）可分。

對前22項，類似地，也可以發(fā)現(xiàn)在前14項（2，13）可分的情況下，第13—22項的情況和前10項的情況完全一樣（都刪去了首尾的第2項），可以按如圖8所示的方法分組，因此，（2，21）可分。

由此，可以一般化得到：若（2，4k+1）可分，則（2，4k+9）也可分。又因為（2，9）可分，（2，13）可分，所以不難得到經(jīng)驗⑤“（2，4m+1）可分（m≥2）”。

可見，本題的解題思路可概括為圖10。而且，本題的解題思路集中表現(xiàn)為數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗的不斷總結(jié)（歸納）與遷移（類比），具有較強的探究味。

二、 命題特點評析

（一） 題目背景公平

高考作為全國性的選拔性考試，關(guān)乎廣大學(xué)生的前途命運，涉及千家萬戶的切身利益，因此，公平性成為高考題的首要屬性。高考題的公平性常常體現(xiàn)在兩個方面：題目背景本身的公平性、題目考查的知識與方法的公平性。

本題以等差數(shù)列為背景設(shè)計了一個純數(shù)學(xué)問題，沒有嵌入實際背景，屬于數(shù)學(xué)情境研究（關(guān)注數(shù)學(xué)知識和方法在基礎(chǔ)性、簡單綜合層面的考查）［1］，因而，本題不存在城鄉(xiāng)、地區(qū)差異，背景公平。

本題屬于新定義情境問題。過去，一些新定義情境問題喜歡涉及高次根的大小比較、零點定理和夾逼準(zhǔn)則等高等數(shù)學(xué)知識。例如，2024年廣東一模第19題直接將線性代數(shù)知識下放。這對沒有經(jīng)過高等數(shù)學(xué)訓(xùn)練的學(xué)生是不公平的，容易誤導(dǎo)一線教師盲目提高學(xué)生的學(xué)習(xí)要求，布置大量“超綱”的學(xué)習(xí)任務(wù)，從而既增加了學(xué)生不必要的學(xué)習(xí)負(fù)擔(dān)，也擾亂了國家課程標(biāo)準(zhǔn)的實施。而本題僅涉及等差數(shù)列的概念、性質(zhì)和簡單的概率計算等高中階段學(xué)生必須掌握的基礎(chǔ)知識——雖然也可以借助數(shù)論知識求解，但是并沒有實質(zhì)性影響，即數(shù)論知識并不能簡化本題的解法。且本題求解未運用特定的技巧性方法，難度層次也很清晰：第一二兩問，學(xué)生基于自主嘗試應(yīng)該可以求解；第三問確實頗有難度，但是第一二兩問給出了較好的提示。作為壓軸題，本題可以說，既保持了一定的區(qū)分度，又兼顧了不同水平學(xué)生的解答?？傊梢哉J(rèn)為，本題在知識選擇和難度設(shè)計上兼顧了不同層次、不同地區(qū)學(xué)生的差異與需求。

（二） 解題技巧弱化

數(shù)列作為高中數(shù)學(xué)的重要概念，既是數(shù)的拓展，又與函數(shù)關(guān)聯(lián)：可將數(shù)列各項的值視為函數(shù)對應(yīng)的值。加強數(shù)列與函數(shù)的聯(lián)系無可厚非，但是部分教師習(xí)慣將數(shù)列與函數(shù)嫁接，借助導(dǎo)數(shù)等知識研究數(shù)列的最值等問題，顯然就加重了學(xué)生的學(xué)習(xí)負(fù)擔(dān)。例如：

（2019年高考數(shù)學(xué)江蘇卷第20題）定義首項為1且公比為正數(shù)的等比數(shù)列為“M數(shù)列”。

（1） 已知等比數(shù)列{an}（n∈N*）滿足：

a2a4=a3，a3-4a2+4a1=0，求證：數(shù)列an為“M數(shù)列”；

① 求數(shù)列bn的通項公式；

② 設(shè)m為正整數(shù)，若存在“M數(shù)列”cn（n∈N*），對任意正整數(shù)k，當(dāng)k≤m時，都有ck≤bk≤ck+1成立，求m的最大值。

而本題涉及的知識較少、技能的要求也較低，更像是以數(shù)列為背景的思維訓(xùn)練題。對前兩問，學(xué)生在理解可分?jǐn)?shù)列概念的基礎(chǔ)上，借助直覺、通過嘗試可以得到解答；第三問雖然難度較大，但是整個解題過程貫徹著基于前面學(xué)習(xí)經(jīng)驗的猜想，運用了歸納、類比等數(shù)學(xué)思想，沒用到什么特殊的數(shù)學(xué)解題技巧。這樣的設(shè)置使得學(xué)生無須汲汲于掌握繁雜的解題技巧、追求過快的計算速度。

（三） 素養(yǎng)考查全面

高中階段數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的主要表現(xiàn)是：數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、直觀想象、數(shù)學(xué)運算、數(shù)據(jù)分析。喻平教授在參考布魯姆模型、PISA模型的基礎(chǔ)上，將核心素養(yǎng)的各個主要表現(xiàn)都劃分為理解、運用與創(chuàng)新3個水平。［2］參照這3個水平，俞夢飛、章飛研制了數(shù)學(xué)試題的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)評價框架：將數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)分解為理解抽象物、形成抽象物、抽象地思考三個表現(xiàn)（分別記為A1、A2、A3），將邏輯推理素養(yǎng)分解為合理推理、演繹推理兩個表現(xiàn)（分別記為B1、B2），將數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)分解為發(fā)現(xiàn)和提出問題、建立和求解模型、檢驗和完善模型三個表現(xiàn)（分別記為C1、C2、C3），將直觀想象素養(yǎng)分解為空間想象、數(shù)形結(jié)合兩個表現(xiàn)（分別記為D1、D2），將數(shù)學(xué)運算素養(yǎng)分解為理解算法、運用算法、設(shè)計算法三個表現(xiàn)（分別記為E1、E2、E3），將數(shù)據(jù)分析素養(yǎng)分解為數(shù)據(jù)處理、對數(shù)據(jù)的認(rèn)識兩個表現(xiàn)（分別記為F1、F2），再將分解后的各個表現(xiàn)都劃分為3個水平。［3］

根據(jù)這一評價框架，對本題各個解題步驟（得分點）進(jìn)行核心素養(yǎng)分析。比如，第二步“對特殊情況m=3進(jìn)行討論”，要求能夠在去掉a2、a13這兩項后，將剩余的12項分成3組（每組4項）等差數(shù)列，需要學(xué)生在理解可分?jǐn)?shù)列概念的基礎(chǔ)上進(jìn)行探究，考查數(shù)學(xué)抽象的表現(xiàn)“理解抽象物”，考查水平為水平二，因此，記為A12；需要學(xué)生發(fā)現(xiàn)剩余的12項可以被分為3組公差均為3d的等差數(shù)列，考查邏輯推理的表現(xiàn)“合情推理”，考查水平為水平二（涉及多個數(shù)學(xué)對象），因此，記為B12。該步驟賦3分，其A12、B12可分別賦1分、2分。最終得到本題各個解題步驟考查的核心素養(yǎng)表現(xiàn)及其水平如下：第一步，A12、B11；第二步，A12、B12；第三步，A13、B23；第四步，A32、B23；第五步，A32、B12；第六步，A23、C23；第七步，C23；第八步，E22。

匯總可得，本題考查的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)及其分值、占比如下：數(shù)學(xué)抽象，4分、23.5%；邏輯推理，9分、52.9%；數(shù)學(xué)建模，3分、17.6%；數(shù)學(xué)運算，1分、5.9%。

可見，本題考查的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)較為全面，對學(xué)生合情推理和演繹推理的要求較高，符合本題所承擔(dān)的選拔拔尖人才的定位；對學(xué)生的模型意識也提出特定的要求，體現(xiàn)了本題前后呼應(yīng)的題目結(jié)構(gòu)。此外，本題的素養(yǎng)水平設(shè)置也較為全面，符合壓軸題的難度梯度要求，滿足不同層次學(xué)生的能力發(fā)揮。

（四） 前后結(jié)構(gòu)連貫

本題各問設(shè)計合理，層次清晰、相互啟發(fā)，使得解題過程就是一個很典型的學(xué)習(xí)探索過程：學(xué)生在不斷回顧先前問題解決經(jīng)驗的過程中深化理解，解決新的問題，發(fā)展數(shù)學(xué)思維。因此，這樣的考題不僅考查了學(xué)生的能力，更在解決問題的過程中發(fā)展了學(xué)生的能力。這對日常教學(xué)具有很好的引導(dǎo)作用。

問題是數(shù)學(xué)的心臟，它基于學(xué)生已有的知識和經(jīng)驗生成，又在解決的過程中產(chǎn)生新的知識和經(jīng)驗。這意味著數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)離不開經(jīng)驗：始于經(jīng)驗，回歸經(jīng)驗。具體來說，在學(xué)習(xí)過程中，學(xué)生頓悟和轉(zhuǎn)化已有經(jīng)驗，經(jīng)過具體經(jīng)驗、反思性觀察、抽象概括和主動實踐四個階段，解決問題并生成新的經(jīng)驗。［4］

解本題時，學(xué)生基于等差數(shù)列概念的學(xué)習(xí)經(jīng)驗，經(jīng)過前兩問的具體嘗試，形成尋找（i，j）和數(shù)列分組的直接經(jīng)驗，幫助理解題意；通過觀察與反思，總結(jié)并概括直接經(jīng)驗，轉(zhuǎn)化成經(jīng)驗①②③④，為解第三問做鋪墊；基于概率公式的學(xué)習(xí)經(jīng)驗和新的解題經(jīng)驗①④，一般化得到第一種情形并完成計數(shù)；同理，基于概率公式的學(xué)習(xí)經(jīng)驗和新的解題經(jīng)驗②③④，通過一般化探索，頓悟或推理出經(jīng)驗⑤，進(jìn)而得到第二種情形并完成計數(shù)?？梢姡恳粏柕慕鉀Q都經(jīng)歷了“回顧經(jīng)驗（包括以前的學(xué)習(xí)經(jīng)驗和本題的解題經(jīng)驗）—反思總結(jié)經(jīng)驗—生成新的經(jīng)驗—應(yīng)用新的經(jīng)驗”的過程。這樣的設(shè)置有利于激發(fā)學(xué)生自主探究的意識，提高學(xué)生知識遷移的能力。

三、 教學(xué)啟示

顯然，這道題啟示我們的教學(xué)，要弱化技巧，注重發(fā)展學(xué)生的核心素養(yǎng)。實際上，在科技快速發(fā)展的現(xiàn)時代，沒有人會超越人工智能的速度。因此，囿于技巧和速度訓(xùn)練只會喪失人真正的大腦潛能。正如世界經(jīng)濟論壇在2020年發(fā)布的《未來學(xué)校：為第四次工業(yè)革命定義新的教育模式》中提出的：未來學(xué)生應(yīng)學(xué)習(xí)全球公民技能、創(chuàng)新和創(chuàng)造力技能、技術(shù)技能和人際交往技能。每一項技能都指向?qū)W生思維的發(fā)展，而非技巧的掌握。為此，教學(xué)中選取的數(shù)學(xué)問題應(yīng)盡量具有普遍性，其求解過程應(yīng)盡量不依靠特定的技巧；當(dāng)問題的求解方法多樣時，要關(guān)注通性通法的解釋，避免特定技巧的介紹，或者讓學(xué)生在方法比較中歸納通性通法。

此外，這道題的解題過程更啟示我們，要注重經(jīng)驗積累，加強反思教學(xué)，從而提升學(xué)生探究學(xué)習(xí)知識、解決問題的能力。

“教之道在于度，學(xué)之道在于悟?！睂W(xué)生的學(xué)習(xí)離不開自身的感悟，而感悟的基本手段就是反思。反思起到監(jiān)察、評價和調(diào)控數(shù)學(xué)思維活動的作用［5］，因此，反思應(yīng)貫穿于整個數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)（包括解題）過程中。在問題解決中，反思可以及時評價現(xiàn)狀，并根據(jù)現(xiàn)狀對探究過程作出適當(dāng)?shù)恼{(diào)控、優(yōu)化。在問題解決后，反思可以深化對解題思路的理解，甚至優(yōu)化解題思路；可以剖析思維過程，強化解決問題的經(jīng)驗。例如，本題中，后面問題的解決有賴于前面問題的經(jīng)驗。如果學(xué)生具有反思的意識和能力，在前面問題的解決中能夠主動反思，以形成經(jīng)驗，這些經(jīng)驗就能很好地促進(jìn)后續(xù)問題的解決。當(dāng)然，考慮到考試時間的限制，即使學(xué)生在前面問題的解決中不能主動反思，在后面問題的解決中也應(yīng)主動回顧前面的問題，嘗試從中獲取經(jīng)驗。

在“刷題”成風(fēng)、“題海戰(zhàn)術(shù)”盛行的當(dāng)下，更應(yīng)該加強反思，通過反思，強化解題經(jīng)驗，提升解題能力，從而避免“刷題”，跳出“題海”。但是，實踐觀察發(fā)現(xiàn)，學(xué)生反思的現(xiàn)狀并不樂觀：大量存在不愿反思、不會反思的情況。題海無邊，學(xué)生哪有時間反思？教師沒有提供反思的機會、沒有教授反思的方法，學(xué)生何能反思？基于這樣的現(xiàn)狀，課上，務(wù)必降低容量，給學(xué)生反思的機會；課外，務(wù)必減少題量，讓學(xué)生有時間反思。當(dāng)然，更需要有意識地教學(xué)生反思。對于解題教學(xué)而言，可選擇典型問題進(jìn)行專門的反思教學(xué)，讓學(xué)生切實感受到反思什么、如何反思。具體來說，可以反思解題的過程，總結(jié)解題的經(jīng)驗；可以比較不同的解題方法，既獲得發(fā)散思維，又形成優(yōu)化方法；可以反思問題的變化，形成更豐富的問題；可以反思豐富問題的共性，形成對問題及其蘊含數(shù)學(xué)知識的本質(zhì)理解?？傊?，教學(xué)中，要通過示例展現(xiàn)反思的視角與方法。

值得慶幸的是，數(shù)學(xué)教育研究者已經(jīng)認(rèn)識到反思的重要性。比如，根據(jù)《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》修編的北師大版初中數(shù)學(xué)教材中專門設(shè)計了“問題解決策略”學(xué)習(xí)專題。其中，八年級上冊安排了“反思”專題，在引導(dǎo)學(xué)生解決“螞蟻在圓柱側(cè)面怎么走最近”的問題后，提出下面5個反思問題：（1） 在探索解決問題的方案和實施方案的過程中，你獲得了哪些經(jīng)驗？（2） 這個問題中，影響結(jié)果的量有哪些？如果改變有關(guān)的量，你還能求解嗎？例如，改變圓柱的形狀，改變A、B兩點的位置，改為沿著圓柱表面爬行……這時又會有哪些新的問題？（3） 解決這個問題的經(jīng)驗，還可以運用到哪些問題中？例如，能否解決正方體、長方體等幾何體表面兩點之間的最短距離問題？（4） 生活中還有哪些現(xiàn)實問題涉及幾何體表面上的最短距離？（5） 對于解決問題后的回顧反思，你有哪些體會？其中，前4個問題分別指向“回顧解題過程，積累解題經(jīng)驗”“反思問題變化，形成更多問題”“反思問題應(yīng)用，形成數(shù)學(xué)模型”等，第5個問題則指向?qū)Ψ此歼^程的回顧，希望在反思活動后，總結(jié)反思的內(nèi)容和方法。此外，八年級下冊還設(shè)計了一個專題，聚焦反思中的變式方法。

當(dāng)然，學(xué)生反思意識與能力的養(yǎng)成并非一日之功。因此，需要布置相關(guān)的反思任務(wù)，引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會反思；還可以設(shè)計專門的反思性考題，引導(dǎo)學(xué)生重視反思?？傊?，建議通過“給機會”“示方法”“壓任務(wù)”“多督查”等方式，引導(dǎo)學(xué)生切實養(yǎng)成反思的意識與能力，提升反思的質(zhì)量。

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