摘 要：所謂“單元整體”，就是通過“整”（整合、梳理）將單元內(nèi)容融合成“體”（體系、結(jié)構(gòu)）。從首課的角度看，“整”的路徑主要有：按數(shù)學(xué)研究的基本規(guī)范提出、解決大問題；按數(shù)學(xué)知識的邏輯結(jié)構(gòu)擴展遷移已有體系?！翱臻g基本圖形位置關(guān)系”單元的“體”是立體幾何的公理體系，可以采用后一種“整”的路徑。其首課《平面的基本性質(zhì)》應(yīng)該通過類比，從點、直線的概念到平面的概念，從平面幾何中點、直線的基本性質(zhì)到立體幾何中平面的基本性質(zhì)，最后展望整個單元的研究內(nèi)容。

關(guān)鍵詞：高中數(shù)學(xué)；單元教學(xué)；整體觀；首課；《平面的基本性質(zhì)》

作為一種新的教學(xué)觀，單元整體教學(xué)已經(jīng)成為當前數(shù)學(xué)教學(xué)的趨勢和方向。而數(shù)學(xué)課是一節(jié)一節(jié)地上的，內(nèi)容也是一節(jié)一節(jié)地呈現(xiàn)的。如何讓學(xué)生認識到分散地學(xué)習的內(nèi)容之間具有聯(lián)系，基于整體的觀念進行若干節(jié)課的學(xué)習，是單元整體教學(xué)的關(guān)鍵問題。筆者認為，每個單元的第一節(jié)課（單元首課）應(yīng)該為整個單元的內(nèi)容播下種子，從而定下具有整體結(jié)構(gòu)的生長基因。

最近，我們設(shè)計并由顧秋婷老師執(zhí)教了《平面的基本性質(zhì)》一課（“空間基本圖形位置關(guān)系”單元首課，也是立體幾何理論體系單元首課），得到了聽課老師們的好評。課后，我們對備課過程、課堂教學(xué)進行了回顧、反思。我們覺得，這節(jié)課比較成功的主要原因就是基于單元整體教學(xué)的理念，合理設(shè)計單元首課的教學(xué)，讓單元“整體”之樹有了生長之根。下面結(jié)合這節(jié)課談?wù)勎覀冊谶@方面的思考。

一、 關(guān)于單元整體教學(xué)的思考

（一） “體”是目標，“整”為路徑

通常情況下，“整體”是一個詞，不能分開理解，如《現(xiàn)代漢語詞典（第7版）》將其解釋為“一個由有內(nèi)在聯(lián)系的部分所組成的體系”。因此，“單元整體教學(xué)”就是要揭示單元各部分內(nèi)容的“內(nèi)在聯(lián)系”，將單元內(nèi)容組成一個體系。由此，我們認為，“整體”的關(guān)鍵是“體”（體系），“體”是一種結(jié)構(gòu)、一個系統(tǒng)，數(shù)學(xué)教學(xué)（特別是單元整體教學(xué)）應(yīng)該以“體”為目標。

如果將“整體”僅作為一個名詞，那么，“單元整體教學(xué)”中的“整體”就只是針對目標而言的一種要求。我們認為，“單元整體教學(xué)”中的“整體”不僅是目標要求，而且有路徑指引。事實上，“整體”一詞中的“整”有整合、凝聚、條理化、系統(tǒng)化的意思，是將部分“整”為有聯(lián)系的體系的意思。因此，“整”就是實現(xiàn)整體教學(xué)的一種路徑，沒有“整”就形不成“體”。

由此，我們認為，所謂“單元整體”就是通過“整”將單元內(nèi)容融合成“體”。這里的“整”指整合、梳理，即通過整合的方式對單元內(nèi)容、學(xué)科思想等進行梳理；這里的“體”指體系、結(jié)構(gòu)，就是使單元內(nèi)容達成融合，即在某種形式上構(gòu)成一個系統(tǒng)，形成數(shù)學(xué)知識結(jié)構(gòu)（內(nèi)容）或數(shù)學(xué)研究范式（過程）。

那么，如何“整”呢？教學(xué)中有很多路徑，如用邏輯鏈接、用思維連貫、用思想貫穿、用觀念統(tǒng)整、用文化融合、用結(jié)構(gòu)架構(gòu)等。

（二） 始于首課，貫穿始終

因為“整”的對象是整個單元的內(nèi)容，所以從表面上看，應(yīng)該在單元的所有內(nèi)容都學(xué)習后再進行，但是，這種認識是錯誤的，是與單元整體教學(xué)的理念背道而馳的。單元整體教學(xué)的本質(zhì)是用大觀念（大概念）來整合（梳理）單元的內(nèi)容，而這種觀念（概念）是起引領(lǐng)作用的，是自始至終的，所以“整”的過程應(yīng)該貫穿單元教學(xué)的全過程。那么，從“始于首課”的角度看，主要有哪些“整”的路徑？

一般而言，數(shù)學(xué)內(nèi)容的陳述有兩種方法。一種是以發(fā)現(xiàn)、提出問題和分析、解決問題的過程所產(chǎn)生的知識前后關(guān)系進行陳述。因為按數(shù)學(xué)研究的基本規(guī)范展開單元內(nèi)容的學(xué)習，單元內(nèi)容學(xué)習的先后次序就構(gòu)成了本單元的“體”（一種具有線性關(guān)系的、體現(xiàn)問題解決思維過程的“體”）。另一種是對研究之后得到的所有相關(guān)知識以邏輯關(guān)系進行陳述。［1］這是按數(shù)學(xué)理念體系的框架而建構(gòu)的“體”（在數(shù)學(xué)公理化思想下建構(gòu)的“體”）。中學(xué)數(shù)學(xué)教材中，這兩種陳述形式兼而有之，甚至經(jīng)?；旌鲜褂?。這是從數(shù)學(xué)研究過程或數(shù)學(xué)研究方法的角度分類的。從整體教學(xué)的角度看，它們都是路徑之一，但又都需要進行改造。

前一種路徑是面對真實情境（大背景），發(fā)現(xiàn)和提出問題，也就是承載了單元核心思想（大觀念）的大問題，再按數(shù)學(xué)研究的基本規(guī)范，在解決大問題的過程中形成本單元的知識結(jié)構(gòu)。在這種路徑下，單元首課要面對大背景，提出大問題，揭示其本質(zhì)；在后續(xù)的學(xué)習過程中解決大問題，形成問題鏈，建構(gòu)知識體系。

后一種路徑是根據(jù)單元內(nèi)容的數(shù)學(xué)本質(zhì)與核心思想（即數(shù)學(xué)研究之后的知識整理），提出數(shù)學(xué)內(nèi)部的結(jié)構(gòu)性問題（即已有數(shù)學(xué)知識理論基礎(chǔ)上的擴展性問題），運用數(shù)學(xué)知識的邏輯結(jié)構(gòu)（如公理化體系）整合單元內(nèi)容。在這種路徑下，單元首課要將學(xué)生已有的數(shù)學(xué)知識整理出邏輯結(jié)構(gòu)，從而提出擴展性問題，運用思維遷移，特別是類比的方式，對新學(xué)習的單元內(nèi)容進行結(jié)構(gòu)化建構(gòu)，形成新知識的整體構(gòu)架。

二、 整體觀下《平面的基本性質(zhì)》一課的教學(xué)思考

（一） 目標導(dǎo)向，合理定位

對于具體的單元內(nèi)容而言，究竟如何選擇整合的路徑？這與單元內(nèi)容的特點、價值以及學(xué)生的認知基礎(chǔ)密切相關(guān)，也就是需要由單元學(xué)習之后應(yīng)該達到的目標定位而定。

“空間基本圖形的位置關(guān)系”單元的教學(xué)內(nèi)容是立體幾何的理論體系，該單元的知識結(jié)構(gòu)是以歐幾里得希爾伯特公理體系為基礎(chǔ)的數(shù)學(xué)邏輯結(jié)構(gòu)（如圖1所示）。由此可以明確：本單元的“體”應(yīng)該是立體幾何的公理體系（考慮到學(xué)生的認知能力，不完整呈現(xiàn)整個體系）。

立體幾何的相關(guān)知識在學(xué)習之初還沒有產(chǎn)生，因此，本單元首課的教學(xué)不同于對已有知識整合、梳理，而只能按照數(shù)學(xué)邏輯結(jié)構(gòu)的基本范式進行知識探索與體系建構(gòu)，即采用上文所述的“后一種路徑”。

數(shù)學(xué)知識整理的典型工具是公理化方法，這是將研究成果組織為數(shù)學(xué)理論的使用最為廣泛的方法。因為數(shù)學(xué)理論的組織是基于演繹推理的，在數(shù)學(xué)理論中，每一個命題都應(yīng)該能從一些較為基本的命題純邏輯地推導(dǎo)出來；基于同樣的道理，那些較為基本的命題也都應(yīng)該能從更為基本的命題純邏輯地推導(dǎo)出來；這樣一直追溯過去，在這個理論的開頭，就得把一個或一組命題當作最基本的事實，不加證明地接受下來，這便有了公理。［1］也就是說，本單元首課應(yīng)該從選擇公理開始。

（二） 基于“基因”，定向“生長”

從一節(jié)課中看出單元整體輪廓，至少看出單元整體走向，并且對單元內(nèi)容的學(xué)習與研究有引領(lǐng)作用，這是單元整體教學(xué)中單元首課的重要任務(wù)。單元的整體輪廓或整體走向應(yīng)該由單元的生長基因決定，單元的生長基因就應(yīng)該蘊含在單元首課的背景性資料中。

“后一種路徑”的背景性資料就是“數(shù)學(xué)內(nèi)部的結(jié)構(gòu)性問題”。因為學(xué)生已經(jīng)具有了平面幾何的學(xué)習經(jīng)驗，而平面幾何學(xué)習已經(jīng)有機滲透了公理化的思想方法，用平面幾何作為種子進行類比教學(xué)，立體幾何就有了生長的基因：通過類比，由平面幾何的基本事實發(fā)現(xiàn)立體幾何的基本事實，由平面幾何的知識結(jié)構(gòu)建構(gòu)立體幾何的知識結(jié)構(gòu)。這樣，單元首課就為整個單元的知識內(nèi)容、結(jié)構(gòu)體系以及學(xué)習過程做好了鋪墊。平面幾何的知識結(jié)構(gòu)從基本事實開始，正好對應(yīng)“空間基本圖形位置關(guān)系”單元首課的教學(xué)內(nèi)容，即“平面的基本性質(zhì)”。于是，本單元的生長基因就確定了：從直線的概念到平面的概念，從平面幾何中的基本事實到立體幾何中的基本事實，由基因的正常生長，立體幾何的大樹（知識結(jié)構(gòu)）就自然地長成了。

三、 整體觀下《平面的基本性質(zhì)》一課的教學(xué)設(shè)計

（一） 引入課題

談話：上一單元，我們認識了很多空間圖形，這些圖形都是由點、直線或面（包括平面、曲面）組成的。在初中平面幾何中我們已經(jīng)研究了點、直線及由它們所構(gòu)成的圖形，那么，我們?nèi)绾窝芯靠臻g中的基本圖形點、直線和平面呢？

談話引出課題，并為后面學(xué)生類比平面幾何研究立體幾何做出鋪墊。

（二） 生成平面的概念

學(xué)生對平面并不陌生，因為小學(xué)、初中認識的很多幾何體中的“表面”都給學(xué)生以平面的印象。盡管如此，“平面”這個概念并不簡單，在幾何知識體系中它是一個不加定義的“元概念”，其數(shù)學(xué)“生成”方式可以為本單元的整體教學(xué)提供“整”的路徑示范：

問題1：初中學(xué)習“平行線”概念時是用“同一平面內(nèi)沒有公共點的兩條直線”來定義的，這里提到平面。多面體的表面是“面”，它是平面的一部分。那么，什么是平面呢？平面如何生成呢？

引導(dǎo)學(xué)生回顧平面幾何中點概念、直線概念的形成方式和基本特性，類比建構(gòu)平面概念的形成方式和基本特性，得到表1。

（三） 建構(gòu)平面的基本性質(zhì)

問題2：如何刻畫平面的基本性質(zhì)呢？

引導(dǎo)學(xué)生回顧平面幾何中如何刻畫點、直線的基本性質(zhì)，得到表2。

追問：平面幾何中，是用點與線、線與線的相互關(guān)系刻畫點、直線的基本性質(zhì)的，其中的“相互關(guān)系”就是初中教材中的“基本事實”或其推論。也就是說，可以用相互關(guān)系的基本事實來刻畫幾何對象的基本特性。那么，如何用相互關(guān)系的基本事實來刻畫平面的基本性質(zhì)呢？

引導(dǎo)學(xué)生類比發(fā)現(xiàn)立體幾何中，可以用點與面、線與面和面與面的相互關(guān)系來刻畫平面的基本性質(zhì)，從而列出表3。

在此基礎(chǔ)上，首先引導(dǎo)學(xué)生回顧平面幾何中點與直線相互關(guān)系的結(jié)論“兩點確定一條直線”，類比得到立體幾何中點與平面相互關(guān)系的結(jié)論，即公理1：不在同一條直線上的三點確定一個平面。其中，“不在同一條直線上”這個條件要在學(xué)生思考后加上去。然后，畫圖表示。

其次引導(dǎo)學(xué)生回顧平面幾何中直線與直線重合的結(jié)論“若直線a上有不同的兩點在直線b上，則直線a、b重合”，類比得到立體幾何中直線在平面上結(jié)論，即公理2：若一條直線上有兩點在一個平面上，則這條直線上所有的點都在這個平面上，這時稱這條直線在這個平面上。然后，畫圖表示。

再次引導(dǎo)學(xué)生回顧平面幾何中直線與直線相交的結(jié)論“兩條相交直線有且只有一個公共點”，類比得到立體幾何中平面與平面相交的結(jié)論，即公理3：若兩個平面有一個公共點，則它們有無數(shù)個公共點，這些點在同一條直線上。然后，畫圖表示。

最后引導(dǎo)學(xué)生研究公理1的三個推論。

這里需要說明的是，平面幾何中直線與直線平行的結(jié)論“過直線外一點有且只有一條直線與已知直線平行”對應(yīng)的立體幾何中的結(jié)論（公理）留到下節(jié)課處理。

問題3：上面已經(jīng)用自然語言、圖形語言表述了三個公理及公理1的推論，那么怎樣用符號語言來表述它們呢？

由學(xué)生考察上述命題，發(fā)現(xiàn)就是要用符號表示出點在直線上、點在平面上、直線在平面上、直線與直線相交、直線與平面相交、平面與平面相交等關(guān)系。

追問：根據(jù)直線、平面的形成方式，直線、平面都可以看作點的集合，那么你覺得這些關(guān)系可以用怎樣的符號來表示呢？

由學(xué)生想到用集合的符號語言來表述，并用表格將自然語言與符號語言對應(yīng)起來。最后讓學(xué)生用符號語言分別表述三個公理及公理1的推論。

（四） 運用與拓展

通過幾個例子展示平面基本性質(zhì)的運用，如用公理及其推論說明生活現(xiàn)象的原理、用公理證共面問題等。然后，出示圖2，介紹立體幾何公理化的進程［2］。

（五） 展望后續(xù)研究內(nèi)容

問題4：平面幾何中在“基本事實”后研究了哪些內(nèi)容？立體幾何中應(yīng)研究哪些內(nèi)容？

由學(xué)生給出：直線與直線、直線與平面、平面與平面的位置關(guān)系，特別是平行與垂直兩種特殊的位置關(guān)系；點與線、點與面、線與線、線與面、面與面在各種位置關(guān)系下的度量關(guān)系。最后形成結(jié)構(gòu)化板書（如圖3所示）。

本節(jié)課從平面的概念到平面的基本性質(zhì)，始終運用與平面幾何類比的方式，展開研究過程，詳細展現(xiàn)公理體系的建構(gòu)過程；最后再用展望的方式，構(gòu)建本單元知識結(jié)構(gòu)圖，為單元教學(xué)提供基本路線。

參考文獻：

［1］ 趙慈庚.初等數(shù)學(xué)研究［M］.北京：北京師范大學(xué)出版社，1990：122123.

［2］ 袁小明.數(shù)學(xué)思想史導(dǎo)論［M］.南寧：廣西教育出版社，1991：7279.