蔡華遠(yuǎn) 程玉林

[ 摘 要 ]“生長(zhǎng)數(shù)學(xué)”教學(xué)主張，強(qiáng)調(diào)對(duì)學(xué)生學(xué)習(xí)過(guò)程中生命自覺(jué)責(zé)任的關(guān)注，將教學(xué)定位錨定在學(xué)生生命綻放的層次，注重從生命的視角去播下數(shù)學(xué)的種子，然后生根發(fā)芽，直至枝繁葉茂，最終長(zhǎng)成參天大樹(shù)，這也就實(shí)現(xiàn)了“用數(shù)學(xué)的精巧來(lái)演繹生命的精彩”.當(dāng)面對(duì)概念教學(xué)而選擇了生長(zhǎng)數(shù)學(xué)視角的時(shí)候，可以發(fā)現(xiàn)在該視角下，數(shù)學(xué)概念及其教學(xué)需要重新審視，其伴隨著兩點(diǎn)認(rèn)識(shí)：初中數(shù)學(xué)概念的建構(gòu)過(guò)程有著顯著的生長(zhǎng)特征，概念教學(xué)過(guò)程中的生長(zhǎng)主要表征為思維的生長(zhǎng).生長(zhǎng)數(shù)學(xué)特別強(qiáng)調(diào)從問(wèn)題中生長(zhǎng)思維，這一點(diǎn)與上面所闡述的數(shù)學(xué)概念過(guò)程中的生長(zhǎng)主要表征為思維生長(zhǎng)一脈相承.生長(zhǎng)數(shù)學(xué)還強(qiáng)調(diào)在探究的過(guò)程中促進(jìn)學(xué)生學(xué)力的生長(zhǎng)，實(shí)際上數(shù)學(xué)概念的教學(xué)也充滿探究性，將概念教學(xué)過(guò)程設(shè)計(jì)為具有問(wèn)題解決性質(zhì)的探究過(guò)程，客觀上也就可以促進(jìn)學(xué)生學(xué)力的生長(zhǎng).

[ 關(guān)鍵詞 ]初中數(shù)學(xué)；生長(zhǎng)數(shù)學(xué)；概念教學(xué)

基金項(xiàng)目：2022年晉江市基礎(chǔ)教育教學(xué)改革專(zhuān)項(xiàng)課題“生長(zhǎng)數(shù)學(xué)視角下高中數(shù)學(xué)概念教學(xué)的案例研究”（JJ2022-ZX03）.

在課程改革大潮的涌動(dòng)下，作為基礎(chǔ)學(xué)科之一的數(shù)學(xué)學(xué)科誕生了很多教學(xué)主張.這些教學(xué)主張一邊銜接著國(guó)家層面的課程改革思想，另一邊銜接著課堂層面的具體教學(xué)，表現(xiàn)出了極強(qiáng)的生命力.其中，江蘇省特級(jí)教師、正高級(jí)教師卜以樓老師提出的“生長(zhǎng)數(shù)學(xué)”教學(xué)主張，強(qiáng)調(diào)對(duì)學(xué)生學(xué)習(xí)過(guò)程中生命自覺(jué)責(zé)任的關(guān)注，將教學(xué)定位錨定在學(xué)生生命綻放的層次，注重從生命的視角去播下數(shù)學(xué)的種子，然后生根發(fā)芽，直至枝繁葉茂，最終長(zhǎng)成參天大樹(shù)，這也就實(shí)現(xiàn)了“用數(shù)學(xué)的精巧來(lái)演繹生命的精彩”.在這樣的比喻中，生長(zhǎng)數(shù)學(xué)的理念得到了充分體現(xiàn).學(xué)生建構(gòu)并運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)的過(guò)程就是一個(gè)生命生長(zhǎng)的過(guò)程，而在生長(zhǎng)數(shù)學(xué)的視角下去實(shí)施數(shù)學(xué)教學(xué)，自然也就讓數(shù)學(xué)教學(xué)的過(guò)程蘊(yùn)含著生命的意義.

概念教學(xué)是數(shù)學(xué)教學(xué)的有機(jī)組成部分，概念教學(xué)的質(zhì)量影響著整個(gè)數(shù)學(xué)教學(xué)的質(zhì)量.對(duì)初中數(shù)學(xué)教學(xué)來(lái)說(shuō)，一定要重視概念教學(xué)，學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)概念的過(guò)程，不僅是知識(shí)筑基的過(guò)程，還是數(shù)學(xué)思想方法感悟的過(guò)程，是數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)落地的基礎(chǔ).《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》提到數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)發(fā)展的內(nèi)涵要素包括：讓學(xué)生學(xué)會(huì)用數(shù)學(xué)的眼光觀察現(xiàn)實(shí)世界，學(xué)會(huì)用數(shù)學(xué)的思維思考現(xiàn)實(shí)世界，學(xué)會(huì)用數(shù)學(xué)的語(yǔ)言表達(dá)現(xiàn)實(shí)世界.在數(shù)學(xué)概念教學(xué)的過(guò)程中，學(xué)生的數(shù)學(xué)眼光會(huì)得到激活，數(shù)學(xué)思維會(huì)得到培養(yǎng)，數(shù)學(xué)語(yǔ)言的理解與運(yùn)用能力自然也能得到提升.因此，數(shù)學(xué)概念教學(xué)中蘊(yùn)含著數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的所有要素，如果能夠讓學(xué)生的數(shù)學(xué)概念形成過(guò)程具有生命生長(zhǎng)的意義，那么這樣的概念教學(xué)也就擁有了生長(zhǎng)數(shù)學(xué)的視角.下面以華東師大版義務(wù)教育教科書(shū)數(shù)學(xué)七年級(jí)下冊(cè)“軸對(duì)稱(chēng)”概念教學(xué)為例，談?wù)劰P者對(duì)生長(zhǎng)數(shù)學(xué)的理解，并試圖彰顯生長(zhǎng)數(shù)學(xué)視角下初中數(shù)學(xué)概念教學(xué)的應(yīng)有意義.

生長(zhǎng)數(shù)學(xué)視角下的數(shù)學(xué)概念再審視

眾所周知，數(shù)學(xué)概念是數(shù)學(xué)知識(shí)體系的核心要素，學(xué)好數(shù)學(xué)概念是學(xué)好數(shù)學(xué)、用好數(shù)學(xué)的前提.但是從實(shí)際情形來(lái)看，概念教學(xué)在整個(gè)初中數(shù)學(xué)教學(xué)體系中的應(yīng)有地位卻沒(méi)有得到凸顯，其中的一個(gè)重要原因就是應(yīng)試.應(yīng)試導(dǎo)向下的初中數(shù)學(xué)教學(xué)，概念教學(xué)被邊緣化，原本屬于概念教學(xué)的時(shí)間被節(jié)省出來(lái)用于“刷題”，而學(xué)生在刷題過(guò)程中所形成的能力，也確實(shí)在很大程度上支撐學(xué)生獲得較高的考試分?jǐn)?shù).這樣的現(xiàn)實(shí)在帶來(lái)較好應(yīng)試效果的同時(shí)，客觀上又讓學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過(guò)程中難以獲得生命體驗(yàn)，學(xué)生所經(jīng)歷的數(shù)學(xué)概念建立過(guò)程自然也就沒(méi)了生命的意義.所以，當(dāng)面對(duì)概念教學(xué)而選擇生長(zhǎng)數(shù)學(xué)視角的時(shí)候，可以發(fā)現(xiàn)在該視角下，對(duì)數(shù)學(xué)概念及其教學(xué)需要重新審視.對(duì)此筆者有以下兩點(diǎn)認(rèn)識(shí)：

認(rèn)識(shí)一，初中數(shù)學(xué)概念的建構(gòu)過(guò)程有著顯著的生長(zhǎng)特征.

縱觀初中數(shù)學(xué)體系中的概念，可以發(fā)現(xiàn)相當(dāng)一部分?jǐn)?shù)學(xué)概念都源于日常生活或生產(chǎn)需要，因此如果能夠從學(xué)生的生活出發(fā)，從學(xué)生能夠理解或體驗(yàn)到的生產(chǎn)過(guò)程出發(fā)，去確定數(shù)學(xué)概念建構(gòu)的起點(diǎn)，然后經(jīng)過(guò)數(shù)學(xué)抽象以及數(shù)學(xué)語(yǔ)言等的運(yùn)用過(guò)程，就可以幫助學(xué)生建立起對(duì)一個(gè)個(gè)數(shù)學(xué)概念的認(rèn)識(shí).所以，從生長(zhǎng)數(shù)學(xué)的視角來(lái)看，數(shù)學(xué)概念并不是用數(shù)學(xué)語(yǔ)言所描述的冷冰冰的概念，而是學(xué)生從經(jīng)驗(yàn)系統(tǒng)當(dāng)中一步步經(jīng)過(guò)思維加工而獲得的具有生命力的概念.如果能夠讓學(xué)生經(jīng)歷這樣的建構(gòu)過(guò)程，那么數(shù)學(xué)概念就會(huì)在學(xué)生的數(shù)學(xué)知識(shí)系統(tǒng)中表現(xiàn)出較強(qiáng)的生命力，學(xué)生便更能夠讀懂這些概念，更能夠在相應(yīng)的場(chǎng)合中將這些數(shù)學(xué)概念自如運(yùn)用，這本身也是數(shù)學(xué)概念表現(xiàn)出生命生長(zhǎng)意義的體現(xiàn).

認(rèn)識(shí)二，概念教學(xué)過(guò)程中的生長(zhǎng)主要表征為思維的生長(zhǎng).

將學(xué)生建構(gòu)數(shù)學(xué)概念的過(guò)程演繹為生命生長(zhǎng)的過(guò)程，一方面呼應(yīng)生長(zhǎng)數(shù)學(xué)的基本理念，另一方面是在新課改的背景下構(gòu)造初中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)的應(yīng)有愿景.人們常說(shuō)“思維是世界上最美的花朵”，縱觀數(shù)學(xué)發(fā)展的歷史，具有一定初中數(shù)學(xué)教學(xué)經(jīng)驗(yàn)的教師都能夠意識(shí)到，數(shù)學(xué)概念的建構(gòu)過(guò)程對(duì)學(xué)生的思維有著極高的依賴(lài)程度，如果在數(shù)學(xué)概念學(xué)習(xí)過(guò)程中，學(xué)生沒(méi)有思維參與，那么學(xué)生所學(xué)到的數(shù)學(xué)概念只能是一個(gè)個(gè)文字，很難真正讀懂?dāng)?shù)學(xué)概念的內(nèi)涵.反之，數(shù)學(xué)概念的建構(gòu)過(guò)程，一定伴隨著學(xué)生的思維不斷深入的過(guò)程，這樣一個(gè)過(guò)程與學(xué)生思維的生長(zhǎng)緊密聯(lián)系在一起，從而讓概念建構(gòu)與思維深入之間形成良好的互相依賴(lài)以及互相促進(jìn)的關(guān)系.于是，數(shù)學(xué)概念的教學(xué)過(guò)程就可以表征為學(xué)生思維生長(zhǎng)的過(guò)程，這自然也凸顯了生長(zhǎng)數(shù)學(xué)的應(yīng)有內(nèi)涵.

生長(zhǎng)數(shù)學(xué)視角下的概念教學(xué)再實(shí)踐

通過(guò)上面兩點(diǎn)分析可以發(fā)現(xiàn)，生長(zhǎng)數(shù)學(xué)的提出，實(shí)際上基于“教育即生長(zhǎng)”以及課標(biāo)要求，源于如今很多數(shù)學(xué)課堂忽視學(xué)生能力培養(yǎng)的現(xiàn)實(shí).進(jìn)一步的研究則表明，生長(zhǎng)數(shù)學(xué)的目的是改變?nèi)缃瘛敖虒W(xué)過(guò)渡技巧化、內(nèi)容過(guò)渡膚淺化、知識(shí)過(guò)渡碎片化”的數(shù)學(xué)課堂狀況.從數(shù)學(xué)概念的教學(xué)入手，可以給試圖進(jìn)入生長(zhǎng)數(shù)學(xué)范式的教師提供更多的研究抓手，自然也能夠讓學(xué)生在概念學(xué)習(xí)的過(guò)程中獲得更好的體驗(yàn).

“軸對(duì)稱(chēng)”是初中數(shù)學(xué)中的基本概念，表征著平面幾何中圖形的基本關(guān)系.從當(dāng)前初中生生活經(jīng)驗(yàn)的角度出發(fā)，可以發(fā)現(xiàn)在學(xué)生的經(jīng)驗(yàn)系統(tǒng)中存在著不少與軸對(duì)稱(chēng)相關(guān)的素材，這些素材可以成為軸對(duì)稱(chēng)概念教學(xué)的起點(diǎn).與此同時(shí)，應(yīng)當(dāng)注意到，學(xué)生在生活中所獲得的關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)的認(rèn)識(shí)，更多地依賴(lài)于具體的圖形，學(xué)生還很難用數(shù)學(xué)語(yǔ)言去描述.因此，軸對(duì)稱(chēng)概念的教學(xué)過(guò)程，又是將學(xué)生的形象認(rèn)識(shí)轉(zhuǎn)化為抽象認(rèn)識(shí)、讓學(xué)生用數(shù)學(xué)語(yǔ)言表征軸對(duì)稱(chēng)表象的過(guò)程.如果能夠?qū)崿F(xiàn)這樣的教學(xué)思路，那么也就能夠體現(xiàn)出生長(zhǎng)數(shù)學(xué)的基本特征.

生長(zhǎng)數(shù)學(xué)特別強(qiáng)調(diào)從問(wèn)題中生長(zhǎng)思維，這一點(diǎn)與上面所闡述的數(shù)學(xué)概念建構(gòu)過(guò)程中的生長(zhǎng)主要表征為思維生長(zhǎng)一脈相承.那么對(duì)于軸對(duì)稱(chēng)概念的教學(xué)而言，如何去設(shè)計(jì)問(wèn)題并讓學(xué)生的思維得到生長(zhǎng)呢？筆者以為可以這樣設(shè)計(jì)教學(xué)：

首先，給學(xué)生提供2～3個(gè)生活中的軸對(duì)稱(chēng)場(chǎng)景.此時(shí)可以參考教材的相關(guān)設(shè)計(jì)，比如“山倒映在湖中”，這就是對(duì)稱(chēng)景象.當(dāng)有了2～3個(gè)例子作為鑰匙的時(shí)候，學(xué)生就能夠打開(kāi)經(jīng)驗(yàn)系統(tǒng)中與軸對(duì)稱(chēng)相關(guān)的大門(mén).幾乎所有學(xué)生都能舉出若干個(gè)軸對(duì)稱(chēng)的生活例子.

其次，讓學(xué)生抽象自己所舉的例子.這里所說(shuō)的抽象自然是指數(shù)學(xué)抽象，也就是將例子中與“數(shù)”和“形”（此時(shí)主要是“形”）無(wú)關(guān)的因素如顏色、亮暗等除掉，只留下“形”的特征.這樣得到圖形后，再進(jìn)一步讓學(xué)生去分析與歸納，學(xué)生就會(huì)發(fā)現(xiàn)所有經(jīng)過(guò)抽象的圖形都具有一個(gè)共同特征，那就是“沿某條直線對(duì)折，對(duì)折后的兩部分能夠完全重合”.當(dāng)這一認(rèn)識(shí)形成時(shí)，就意味著軸對(duì)稱(chēng)圖形的表象在學(xué)生的大腦中變得非常清晰，“完全重合”能夠成為學(xué)生判斷圖形是否對(duì)稱(chēng)的重要指標(biāo)，而用來(lái)對(duì)折的那條“直線”也成了學(xué)生判斷軸對(duì)稱(chēng)圖形的重要依據(jù).當(dāng)學(xué)生有了這樣的認(rèn)識(shí)后，教師就應(yīng)當(dāng)引導(dǎo)學(xué)生借助數(shù)學(xué)語(yǔ)言去描述，于是軸對(duì)稱(chēng)圖形、對(duì)稱(chēng)軸的概念也就呼之欲出了.

分析上面這樣一個(gè)軸對(duì)稱(chēng)概念的建立過(guò)程，可以發(fā)現(xiàn)學(xué)生的思考是循序漸進(jìn)的，從生活中的軸對(duì)稱(chēng)圖形到數(shù)學(xué)中的軸對(duì)稱(chēng)圖形，從用圖片來(lái)表征軸對(duì)稱(chēng)圖形到用圖形來(lái)表征軸對(duì)稱(chēng)圖形，再到用文字來(lái)表征軸對(duì)稱(chēng)圖形，意味著學(xué)生的思維從形象向抽象切換，從低階向高階切換.這自然是思維的生長(zhǎng)，充分體現(xiàn)了生長(zhǎng)數(shù)學(xué)的特征.

從數(shù)學(xué)概念的學(xué)習(xí)到數(shù)學(xué)思維生長(zhǎng)

從上面的理論分析以及案例解讀中，可以發(fā)現(xiàn)一個(gè)明顯的線索，那就是學(xué)生在體驗(yàn)生長(zhǎng)數(shù)學(xué)的過(guò)程中，總會(huì)存在一個(gè)時(shí)空足夠的數(shù)學(xué)抽象過(guò)程，這一點(diǎn)對(duì)于初中生而言至關(guān)重要.作為數(shù)學(xué)知識(shí)體系基石的數(shù)學(xué)概念，在學(xué)習(xí)的時(shí)候不直接從抽象的圖形或文字入手，而是從學(xué)生有感知、有經(jīng)驗(yàn)的生活場(chǎng)景入手，那就更容易激活學(xué)生的思維——此時(shí)的思維自然是形象思維.初中生在思考問(wèn)題的時(shí)候，往往是從形象思維切入的，因此這樣的概念教學(xué)設(shè)計(jì)非常符合初中生的認(rèn)知規(guī)律.

與此同時(shí)，生長(zhǎng)數(shù)學(xué)視角下的概念教學(xué)，有著顯著的伴隨思維生長(zhǎng)而生長(zhǎng)的特征.從學(xué)生開(kāi)始感知生活事物的那一刻開(kāi)始，學(xué)生的形象思維就被激活；當(dāng)學(xué)生面對(duì)多個(gè)事物需要分析的時(shí)候，異中求同的體驗(yàn)會(huì)讓學(xué)生的思維逐步從形象走向抽象；當(dāng)學(xué)生的分析有了結(jié)果的時(shí)候又需要進(jìn)行綜合和歸納，必要的時(shí)候還會(huì)進(jìn)行演繹，于是抽象思維的特征會(huì)更加明顯，思維生長(zhǎng)也在同步發(fā)生.

如果把數(shù)學(xué)概念的建立過(guò)程理解為問(wèn)題解決的過(guò)程，那么學(xué)生經(jīng)歷分析問(wèn)題的過(guò)程，就可獲得數(shù)學(xué)思維的生長(zhǎng).數(shù)學(xué)概念的建立過(guò)程能否理解為問(wèn)題解決的過(guò)程？這是一個(gè)值得思考的問(wèn)題，對(duì)這個(gè)問(wèn)題的回答也反映了教師的教學(xué)理念.如果認(rèn)為數(shù)學(xué)概念的學(xué)習(xí)就是數(shù)學(xué)概念定義的解讀，那么自然談不上問(wèn)題解決；如果認(rèn)為數(shù)學(xué)概念的學(xué)習(xí)是學(xué)生用數(shù)學(xué)思想方法，借助思維加工事物，最終抽象得出共性認(rèn)識(shí)的過(guò)程，那么這樣的概念教學(xué)就是問(wèn)題解決的教學(xué).很顯然，生長(zhǎng)數(shù)學(xué)的理念決定概念教學(xué)應(yīng)當(dāng)取后一種理解，這樣才能夠讓概念建立的過(guò)程成為促進(jìn)學(xué)生思維生長(zhǎng)的過(guò)程.

實(shí)際上，數(shù)學(xué)概念建立的過(guò)程是非常復(fù)雜的，其中每一個(gè)環(huán)節(jié)都需要學(xué)生思維深度參與.生長(zhǎng)數(shù)學(xué)還強(qiáng)調(diào)在探究的過(guò)程中促進(jìn)學(xué)生學(xué)力的生長(zhǎng)，實(shí)際上數(shù)學(xué)概念的教學(xué)也充滿探究性.比如上面所舉的軸對(duì)稱(chēng)概念教學(xué)的例子，生活中自然存在的軸對(duì)稱(chēng)景象能夠給人帶來(lái)美的感受，人們?cè)谏钆c生產(chǎn)中也會(huì)借助軸對(duì)稱(chēng)來(lái)滿足自己的審美需要.其中的核心元素就是軸對(duì)稱(chēng)，而從生活向生產(chǎn)過(guò)渡，除了思維的演繹，具體到學(xué)生學(xué)習(xí)過(guò)程中就體現(xiàn)為學(xué)力的生長(zhǎng).因此，如果將概念教學(xué)過(guò)程設(shè)計(jì)為具有問(wèn)題解決性質(zhì)的探究過(guò)程，客觀上也就可以促進(jìn)學(xué)生學(xué)力的生長(zhǎng).

用反思來(lái)保證生長(zhǎng)數(shù)學(xué)的可持續(xù)性

初中生具備一定的反思能力，在經(jīng)歷了體驗(yàn)感很強(qiáng)的概念學(xué)習(xí)過(guò)程后，能夠透過(guò)概念的建立過(guò)程認(rèn)識(shí)到其中的思維存在，是保證生長(zhǎng)數(shù)學(xué)具有可持續(xù)性的關(guān)鍵.這一點(diǎn)依賴(lài)于學(xué)生的深度反思，與之相對(duì)應(yīng)的學(xué)習(xí)過(guò)程可以稱(chēng)為反思性學(xué)習(xí).

反思性學(xué)習(xí)是學(xué)生對(duì)自己的學(xué)習(xí)活動(dòng)過(guò)程的再思考與再審視，能促進(jìn)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)深層次的理解，萌發(fā)更強(qiáng)烈的數(shù)學(xué)創(chuàng)新意識(shí)，獲得數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)生長(zhǎng)的力量.在包括概念教學(xué)的所有努力中，教師都有必要去引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行反思，反思的對(duì)象主要是指數(shù)學(xué)概念的建立過(guò)程，如果要說(shuō)得更細(xì)致一點(diǎn)，還包括問(wèn)題是如何提出的、自己是如何思考的、在描述數(shù)學(xué)概念的時(shí)候又是如何從生活語(yǔ)言向數(shù)學(xué)語(yǔ)言過(guò)渡的……所有這些問(wèn)題的重新思考與深度反思，都能夠促使學(xué)生在回顧概念建立過(guò)程的同時(shí)，對(duì)相關(guān)的數(shù)學(xué)思想方法，甚至對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)內(nèi)涵要素所涉及的內(nèi)容有所感知.此時(shí)即使學(xué)生不能用專(zhuān)業(yè)的數(shù)學(xué)語(yǔ)言來(lái)描述自己的感受，也一定能夠形成更好的數(shù)學(xué)課程認(rèn)識(shí)與數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)認(rèn)識(shí)，這也就提高了學(xué)生的學(xué)習(xí)效益，是學(xué)生思維生長(zhǎng)甚至生命生長(zhǎng)的另一個(gè)注腳.