姚正江

[ 摘 要 ]基本圖形是解決圖形問題的基礎(chǔ)，“兩相等線段共用一端點(diǎn)”這一基本圖形在初中數(shù)學(xué)幾何解題中具有重要地位.文章以該基本圖形的專題復(fù)習(xí)教學(xué)為例，分別從“開門見山，揭露主題”“借助圖形，夯實(shí)基礎(chǔ)”“應(yīng)用圖形，深化理解”“例析圖形，提升能力”四個(gè)方面展開教學(xué)與分析.

[ 關(guān)鍵詞 ]圖形；解題；教學(xué)

學(xué)生通過學(xué)習(xí)要掌握且能應(yīng)用一些基本圖形來解決問題.教師在實(shí)施教學(xué)時(shí)要有意識(shí)地強(qiáng)化學(xué)生對(duì)圖形的應(yīng)用意識(shí)，引導(dǎo)學(xué)生從基本圖形中發(fā)現(xiàn)問題、描述問題，以發(fā)展空間想象力.為此，筆者在初三復(fù)習(xí)階段，對(duì)基本圖形進(jìn)行了探索，對(duì)利用基本圖形提升數(shù)學(xué)解題能力展開了教學(xué)與研究.本文以“兩相等線段共用一端點(diǎn)”的復(fù)習(xí)教學(xué)為例展開闡述.

開門見山，揭露主題

如圖1，線段AB，AC擁有一個(gè)公共的端點(diǎn)A，形成∠BAC，本節(jié)課就以這個(gè)常見圖形為例，展開對(duì)基本圖形的專題復(fù)習(xí).

設(shè)計(jì)意圖 這是一個(gè)?？汲Ｐ碌幕緢D形，在日常練習(xí)或檢測(cè)中比較常見，本節(jié)課以此為專題復(fù)習(xí)的起點(diǎn)，門檻較低，便于各個(gè)認(rèn)識(shí)水平層次學(xué)生的理解.

借助圖形，夯實(shí)基礎(chǔ)

教學(xué)設(shè)想 引導(dǎo)學(xué)生從這個(gè)基本圖形出發(fā)展開聯(lián)想，發(fā)現(xiàn)含有該結(jié)構(gòu)的簡(jiǎn)單圖形，分析圖形間的異同點(diǎn)，增強(qiáng)對(duì)圖形關(guān)聯(lián)性的認(rèn)識(shí)，以提升解題能力與空間想象力.經(jīng)交流，學(xué)生列舉出如下含有該基本圖形結(jié)構(gòu)的常見圖形：①含有中點(diǎn)的線段；②等邊、等腰三角形；③正方形、菱形；④扇形.如圖2，扇形比較特殊，它是在圖1的基礎(chǔ)上增加了一條曲線.

設(shè)計(jì)意圖 要求學(xué)生自主總結(jié)包含“兩條相等線段共用一端點(diǎn)”的基本圖形，為接下來的復(fù)習(xí)專題研究奠定基礎(chǔ)，并特別強(qiáng)調(diào)扇形的特殊性，以發(fā)展學(xué)生的歸類能力，讓學(xué)生感悟從特殊到一般的數(shù)學(xué)思想.

應(yīng)用圖形，深化理解

之前在學(xué)習(xí)基本圖形時(shí)，教師并沒有將具有特殊結(jié)構(gòu)的圖形作為教學(xué)的重點(diǎn)，所以大部分學(xué)生都沒有深入探索過這些特殊圖形.復(fù)習(xí)教學(xué)時(shí)，教師可帶領(lǐng)學(xué)生適當(dāng)?shù)卦黾訉?duì)特殊圖形的研究，以拓寬學(xué)生的視野，深化學(xué)生對(duì)平面幾何的理解.如箏形、對(duì)角互補(bǔ)的四邊形等.

例1 如圖3，在四邊形ABCD中，AB=BC，AD=2，CD=4，∠B=∠D=90°，則BD的長(zhǎng)是多少？

將“相等線段共用同一端點(diǎn)”這個(gè)結(jié)構(gòu)應(yīng)用到對(duì)角互補(bǔ)的四邊形中，可讓學(xué)生對(duì)對(duì)角線與邊長(zhǎng)的關(guān)系產(chǎn)生深刻認(rèn)識(shí).因此，這是一個(gè)值得探索的問題.

為了引發(fā)學(xué)生對(duì)該基礎(chǔ)圖形的認(rèn)識(shí)，筆者由淺入深地設(shè)計(jì)了問題串，以啟發(fā)學(xué)生的思維.

問題1 從動(dòng)態(tài)的角度來觀察上述圖形的構(gòu)造（即延長(zhǎng)DC至點(diǎn)E，使AD=EC），圖形發(fā)生了什么變化？

預(yù)設(shè)：可將△BEC視為△BDA圍繞點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)之后而獲得的.

問題2 圖3中存在“兩條等長(zhǎng)線段共用一個(gè)端點(diǎn)”的基本結(jié)構(gòu)嗎？該結(jié)構(gòu)在解決問題中起到了怎樣的作用？

問題3 問題中所提到的四邊形對(duì)角互補(bǔ)具有怎樣的作用？

預(yù)設(shè)：∠BCE=∠BAD.

問題4 通過以上分析可以發(fā)現(xiàn)，圖形位置的變化，有效啟發(fā)了我們的思維，若一開始我們就從旋轉(zhuǎn)的角度來分析問題，那么在本題中旋轉(zhuǎn)的契機(jī)在哪兒？

預(yù)設(shè)：因?yàn)槊鞔_存在“相等線段共用一個(gè)端點(diǎn)”的基本結(jié)構(gòu)，因此可視為將BA圍繞點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)到BC，同時(shí)△BDA則旋轉(zhuǎn)到△BEC的位置.

問題5 點(diǎn)E為什么落在了DC的延長(zhǎng)線上呢？

預(yù)設(shè)：因?yàn)椤螧AD和∠BCD是互補(bǔ)的關(guān)系，因此∠BAD的對(duì)應(yīng)角∠BCE和∠BCD為互補(bǔ)的關(guān)系.

問題6 由圖形位置變化可發(fā)現(xiàn)新圖形的產(chǎn)生，具體會(huì)產(chǎn)生什么新的圖形呢？

預(yù)設(shè)：△DBE為等腰直角三角形.

問題7 你是如何獲得∠EBD= 90°這個(gè)結(jié)論的？

預(yù)設(shè)：根據(jù)AB與BC的夾角為90°而得.

設(shè)計(jì)意圖 “兩相等線段共用同一端點(diǎn)”的基本結(jié)構(gòu)為學(xué)生展示了動(dòng)態(tài)變化的多種可能，而圖形位置的變化則帶來了更多新的解題思路，讓解題獲得了多種可能.兩條線段夾角度數(shù)問題對(duì)新的圖形中的角具有直接影響，因此可以此作為模型為后續(xù)例題教學(xué)服務(wù).

例析圖形，提升能力

例2 如圖4，若點(diǎn)E，F(xiàn)分別為正方形ABCD的邊DC，AD上的點(diǎn)，已知CE+AF=EF，那么∠EBF的度數(shù)是多少？

為了讓學(xué)生充分認(rèn)識(shí)到本節(jié)課所探索的基本圖形具有怎樣的作用，教師可設(shè)置一些復(fù)雜的圖形，鼓勵(lì)學(xué)生從中探尋基本圖形.如對(duì)于例2，就能從與正方形結(jié)合的圖形中發(fā)現(xiàn)基本圖形.

例3 如圖5，△ABC為一個(gè)等腰直角三角形，且D是斜邊AC上一點(diǎn)，那么AD，BD，CD之間存在怎樣的數(shù)量關(guān)系？

除此之外，教師還可以引導(dǎo)學(xué)生從類似結(jié)構(gòu)（等腰直角三角形）中發(fā)現(xiàn)端倪，以提高學(xué)生的空間想象力，或通過變化兩線段夾角的大小，引導(dǎo)學(xué)生觀察并總結(jié)新圖形中角度的變化情況.

例5 如圖7，已知△ABC中的∠A為直角，D是BC邊的中點(diǎn)，且DE⊥DF，DE與AB相交于點(diǎn)E，DF與AC相交于點(diǎn)F，分析線段EB，EF，F(xiàn)C之間存在怎樣的數(shù)量關(guān)系，并說明理由.

例7 如圖9，已知△ABC為⊙O的內(nèi)接等邊三角形，P為圓上一動(dòng)點(diǎn)，請(qǐng)證明：AP = BP + CP.

例8 （去除常見圖形） 如圖10，已知△ABC中的AB邊與AC邊相等，將線段BC圍繞著點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°，可得線段BD，若∠ABE= 60°，∠BCE=150°：

（1）請(qǐng)判斷△ABE為怎樣的一個(gè)三角形，并證明；

（2）連接DE，若明確∠CED= 45°，則∠BAC的度數(shù)是多少？

設(shè)計(jì)意圖 例8去掉了等邊三角形，只留下了最基本的圖形結(jié)構(gòu)，將結(jié)構(gòu)的核心凸顯出來.如此設(shè)計(jì)，是為了進(jìn)一步強(qiáng)化“兩相等線段共用同一端點(diǎn)”這個(gè)基本圖形在解題中的重要性.

結(jié)語

幾何是發(fā)展學(xué)生空間想象力的基礎(chǔ)，也是初中數(shù)學(xué)教學(xué)的重點(diǎn)與難點(diǎn)內(nèi)容之一.事實(shí)證明，任何一個(gè)復(fù)雜圖形都是由最基本的圖形經(jīng)過變式而來的，引導(dǎo)學(xué)生建立基本圖形，并從中抽象模型對(duì)鍛煉學(xué)生的解題能力與數(shù)學(xué)思維具有深遠(yuǎn)的影響.

本節(jié)課作為初三復(fù)習(xí)中的一次嘗試，筆者從專題的角度帶領(lǐng)學(xué)生由淺入深地分析基本圖形，不僅有效提高了復(fù)習(xí)成效，還顯著加強(qiáng)了復(fù)習(xí)內(nèi)容的綜合性與關(guān)聯(lián)性.學(xué)生通過對(duì)基本圖形的提煉、應(yīng)用、感悟，進(jìn)一步拓寬了視野，發(fā)現(xiàn)了解決問題的本質(zhì).