涂友利

[ 摘 要 ]在范希爾理論指導下，研究者以“多邊形內(nèi)角和定理”為例，提出應從學生現(xiàn)有的思維水平出發(fā)，結合教學實際設計符合學生最近發(fā)展區(qū)的教學活動，讓學生在逐層的探索中逐步提高自身的幾何思維能力及幾何素養(yǎng)，切實提高學生解決平面幾何問題的能力.

[ 關鍵詞 ]范希爾幾何教學理論；幾何思維能力；幾何素養(yǎng)

范希爾理論自誕生以來一直備受關注，該理論將幾何教學分為五個教學階段，即學前詢問、引導定向、闡明、自由定向、整合，為設計層級遞進的教學活動提供了依據(jù).在初中平面幾何教學中，大部分學生幾何直觀、邏輯推理等幾何素養(yǎng)比較缺乏，使得學生整體的幾何思維能力處于較低水平，影響幾何教學效果.為了改變這一局面，教師應該認真研究教學、研究學生，從學生現(xiàn)有思維水平出發(fā)，設計符合學生已有認知的由淺入深的探究活動，以此通過逐層探究，讓學生的思維能力螺旋上升.筆者在教學“多邊形內(nèi)角和定理”時，以范希爾逐層分析框架為指導，讓學生在逐層探究中體驗了數(shù)學發(fā)現(xiàn)的魅力，提高了學生的幾何思維能力，促進了學生數(shù)學核心素養(yǎng)的落實.現(xiàn)將教學設計分享給大家，供參考.

教學目標

1.引導學生經(jīng)歷探索多邊形內(nèi)角和公式的過程，培養(yǎng)學生的幾何思維能力.

2.通過觀察、操作等活動提高學生的實踐能力，讓學生體會分類、轉(zhuǎn)化的數(shù)學思想.

3.在分類、轉(zhuǎn)化、推理等數(shù)學活動中培養(yǎng)學生良好的思考習慣，體會從特殊到一般的研究方法，發(fā)展學生的推理能力.

教學設計

1.學前詢問

設計1 視頻展示生活圖片，引導學生觀察生活中的多邊形，如足球、扳手、房屋平面圖等，讓學生畫出對應的多邊形，然后進行展示.

大部分學生可以通過觀察、分析、對比等活動正確畫出對應的多邊形.當然，在實際操作中，也有學生因忽視“首尾相連”這一特征而得到錯誤的結果.師生和生生的互動交流可以完善學生的原有認知，幫助學生深刻理解多邊形的概念.

設計意圖 以學生熟悉的生活情境為背景，讓學生直觀感知生活中的數(shù)學，激發(fā)學生的探究欲.在繪制多邊形的過程中，學生會自然地與之前所有的三角形內(nèi)容進行對比，通過模仿畫出四邊形、五邊形等，并能夠結合三角形的學習經(jīng)驗來描述四邊形、五邊形的特點，最終形成多邊形的概念.

2.引導定向

設計2 結合三角形的學習經(jīng)驗，畫一畫、猜一猜、算一算下面圖形的內(nèi)角和是多少.（課件給出四邊形、五邊形、六邊形）

學生雖然知道三角形的內(nèi)角和是180°，但是并不能確定其他凸多邊形的內(nèi)角和度數(shù)，此時教師不要急于呈現(xiàn)過程和方法，而應引導學生自主分析組成要素及特征，大膽地給出自己的猜想，然后進行組內(nèi)交流.

設計意圖 學生根據(jù)學習長方形、正方形的經(jīng)驗易猜想四邊形的內(nèi)角和是360°，但是對于五邊形、六邊形卻難以靠經(jīng)驗完成猜想.此時，教師可以引導學生觀察正方形、長方形和其他四邊形，分析它們的共性特征，大膽猜想，繼而引出下面的數(shù)學活動.在此過程中，教師引導學生從特殊出發(fā)，讓學生體驗從特殊到一般的數(shù)學思想方法，提高學生的思維品質(zhì).

3.闡明

學生結合已有經(jīng)驗猜想四邊形的內(nèi)角和為360°，但是對于如何推理演繹比較模糊，在本階段，教師要引導學生進行推理驗證，體驗結論的合理性.

設計3 四邊形的內(nèi)角和是360°嗎？你會驗證嗎？

課前教師為學生準備了若干不同類型的四邊形，鼓勵學生以小組為單位，通過量一量、拼一拼等活動進行驗證，并展示學生的交流成果.

設計意圖 引導學生通過量、剪、拼等活動驗證猜想，在此過程中，教師引導學生觀察圖形之間的關系，為接下來的探究活動做鋪墊.

通過以上活動，學生雖然能夠給自己的猜想一個合理的解釋，但是由量、剪、拼等操作活動得到的結論并不嚴謹，需要教師引導學生進一步證明，以此讓學生體驗數(shù)學的嚴謹性，逐步培養(yǎng)學生的理性思維.

設計4 以小組為單位，將剛剛的若干四邊形剪成若干三角形.要求：所剪三角形至少有一條邊是原來四邊形的邊.

活動中，教師鼓勵學生從不同角度思考，運用不同的方法剪拼，并讓學生對以上剪拼結果進行分類，然后投影展示剪拼成果.

設計意圖 通過進一步的剪拼活動，引導學生將圖形分一分，逐漸將四邊形與三角形建立聯(lián)系，從而為接下來的轉(zhuǎn)化證明提供依據(jù).

設計5 結合以上的分一分活動，你們是否能夠證明四邊形的內(nèi)角和為360°呢？

預留充足的時間讓學生交流、討論，尋找不同方法驗證結論.活動中，學生的主體作用得以激發(fā)，促進了教學質(zhì)量和學習品質(zhì)的提升.教師板書學生的交流結果：

方案1 如圖1，連接BD，將四邊形ABCD分成兩個三角形，則四邊形ABCD的內(nèi)角和為180°×2=360°.

方案2 如圖2，在BC邊上任意取一點E，連接AE，DE，將四邊形ABCD分成三個三角形，此時四邊形ABCD的內(nèi)角和為3×180°-180°= 360°.

方案3 如圖3，連接AC，BD，將四邊形ABCD分成四個三角形，則四邊形ABCD的內(nèi)角和為4×180°- 360°=360°.

方案4 如圖4（與方案3相同），在四邊形ABCD內(nèi)任取一點E，連接EA，EB，EC，ED，則四邊形ABCD的內(nèi)角和為4×180°-360°= 360°.