戚晶

【摘要】GeoGebra軟件給學(xué)生提供了一個(gè)可靠的探究問題、解決問題的途徑，是一種高效的學(xué)習(xí)工具，豐富了學(xué)生的學(xué)習(xí)方式.借助GeoGebra軟件的強(qiáng)大功能，學(xué)生能夠直觀準(zhǔn)確地觀察到立體幾何圖形的幾何特征和數(shù)量特征，領(lǐng)略數(shù)形結(jié)合的思想，發(fā)展直觀想象素養(yǎng).基于此，文章對核心素養(yǎng)視域下GeoGebra軟件在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用展開探究，概述了GeoGebra軟件在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用意義，并以圓柱、圓錐、圓臺的表面積知識教學(xué)為例進(jìn)行了案例呈現(xiàn)，旨在充分發(fā)揮GeoGebra軟件的教學(xué)功能，促進(jìn)理論與實(shí)踐的結(jié)合，促進(jìn)學(xué)生全面發(fā)展.

【關(guān)鍵詞】核心素養(yǎng)；GeoGebra軟件；高中數(shù)學(xué)；應(yīng)用

【基金項(xiàng)目】本文系徐州市教育科學(xué)“十四五”規(guī)劃2022年度課題《核心素養(yǎng)視域下VR技術(shù)在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用研究》（編號：GH14-22-Q005）階段性研究成果.

引 言

信息技術(shù)的融入，無疑為傳統(tǒng)教學(xué)模式注入了新的活力.它如同一把鑰匙，打開了學(xué)生探索知識、理解概念的新世界大門.在數(shù)學(xué)教學(xué)中，這種變革尤為明顯.以往，數(shù)學(xué)課堂往往局限于黑板和粉筆的二維世界.教師在黑板上寫下公式和定理，學(xué)生則在紙上做著相應(yīng)的練習(xí).然而，這種方式在表達(dá)復(fù)雜的數(shù)學(xué)概念和問題時(shí)，往往顯得力不從心.而信息技術(shù)的融入，使得數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容得以立體化、形象化.通過計(jì)算機(jī)和相關(guān)軟件，教師可以輕松地創(chuàng)建三維圖形和動畫，將抽象的數(shù)學(xué)概念變得直觀易懂.比如，在教授幾何體時(shí)，教師可以利用GeoGebra軟件，讓學(xué)生看到幾何體的立體形態(tài)和內(nèi)部結(jié)構(gòu)，從而更好地理解和掌握相關(guān)知識.信息技術(shù)融入教學(xué)，不僅豐富了教學(xué)手段，而且改變了學(xué)生的學(xué)習(xí)方式.學(xué)生不再是被動的知識接收者，而是成為主動學(xué)習(xí)的知識探索者.他們可以利用信息技術(shù)自主學(xué)習(xí)、合作學(xué)習(xí)，與他人分享知識和經(jīng)驗(yàn)，形成良好的學(xué)習(xí)氛圍和團(tuán)隊(duì)協(xié)作精神.

一、核心素養(yǎng)視域下GeoGebra軟件在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用意義

GeoGebra軟件作為一種動態(tài)數(shù)學(xué)軟件，能夠有效地支持高中數(shù)學(xué)教學(xué)，并通過多種方式促進(jìn)學(xué)生核心素養(yǎng)的全面發(fā)展.教師可以根據(jù)高中數(shù)學(xué)教材內(nèi)容，合理利用GeoGebra軟件的在線資源，設(shè)計(jì)富有挑戰(zhàn)性和探究性的學(xué)習(xí)活動，以提高學(xué)生的綜合數(shù)學(xué)素養(yǎng).教師自身可以借助GeoGebra軟件進(jìn)行數(shù)學(xué)教學(xué)，提高專業(yè)能力；同時(shí)在利用GeoGebra軟件進(jìn)行教學(xué)設(shè)計(jì)的過程中，教師使用計(jì)算機(jī)的能力在不斷提高，對教材的熟悉度也在逐步加深.幾何和代數(shù)能夠同時(shí)在GeoGebra軟件中處理.GeoGebra軟件分為幾何區(qū)域和代數(shù)區(qū)域，分別用于顯示圖形和相應(yīng)參數(shù).在幾何區(qū)域，用戶可以直接執(zhí)行制作點(diǎn)、線、矢量、曲線等操作，并可以更改其屬性.例如，通過點(diǎn)擊工具欄上的按鈕，用戶可以輕松地創(chuàng)建直線、圓、橢圓等基本幾何圖形.為了確保幾何和代數(shù)區(qū)域的同步變化，GeoGebra軟件提供了兩種方法.這兩種方法使得學(xué)生在操作過程中能更加直觀地感受到數(shù)形結(jié)合的魅力. GeoGebra軟件充分發(fā)揮了高中數(shù)學(xué)數(shù)形結(jié)合的重要思想方法.教師在三維空間幾何教學(xué)中利用GeoGebra軟件，能夠幫助學(xué)生直觀地理解幾何體的特性，包括其形狀和體積等量化屬性.這種直觀的認(rèn)識促進(jìn)了學(xué)生“數(shù)形合一”的思維方式的發(fā)展，并鍛煉了學(xué)生的空間直覺.教師利用GeoGebra創(chuàng)建3D模型，引導(dǎo)學(xué)生分析問題，發(fā)現(xiàn)規(guī)律，從而提高他們的數(shù)學(xué)建模能力.通過軟件，學(xué)生能夠觀察幾何體的動態(tài)變化，這有助于他們整體理解問題，提煉問題的核心，并理解各部分知識之間的邏輯聯(lián)系.這樣的過程不僅提高了學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象和邏輯推理能力，還全面提升了他們的核心數(shù)學(xué)素養(yǎng).

二、核心素養(yǎng)視域下GeoGebra軟件在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用案例

（一）教材分析

文章以普通高中教科書數(shù)學(xué)必修第二冊人教A版中的第八章第3節(jié)第2小節(jié)“圓柱、圓錐、圓臺、球的表面積與體積”為例，本案例的主要內(nèi)容為推導(dǎo)圓柱、圓錐、圓臺的表面積公式.

（二）學(xué)情分析

在教學(xué)之前，學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了基本立體圖形的概念，了解了基本立體圖形的結(jié)構(gòu)特征，并知曉了多面體（棱柱、棱錐、棱臺）的表面積與體積計(jì)算方式，對于如何研究立體圖形的表面積與體積已形成一定的經(jīng)驗(yàn).本案例將進(jìn)一步從度量的角度認(rèn)識圓柱、圓錐、圓臺的表面積.多面體的展開圖是比較容易理解的，但是旋轉(zhuǎn)體的展開圖對學(xué)生數(shù)學(xué)抽象能力的要求較高，如何讓學(xué)生明確理解旋轉(zhuǎn)體展開圖中的幾何元素與原立體圖形中的幾何元素之間的關(guān)系是本案例的重點(diǎn).

（三）教學(xué)任務(wù)分析

1.通過直觀感知、操作確認(rèn)的方式，讓學(xué)生清晰地了解圓柱、圓錐、圓臺的展開圖形狀并能理解幾何元素之間的內(nèi)在關(guān)系；

2.體會在基本立體幾何結(jié)構(gòu)特征與表面積的探究過程中的數(shù)形結(jié)合思想和化歸思想，感悟“降維”和“平面化”的幾何研究方法.

（四）設(shè)計(jì)思想

從教學(xué)理念上來講，本節(jié)課注重發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象、直觀想象、邏輯推理等素養(yǎng).數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)是全面貫徹黨的教育方針，落實(shí)立德樹人根本任務(wù)在數(shù)學(xué)教育中的落腳點(diǎn).高中數(shù)學(xué)課程應(yīng)以發(fā)展學(xué)生的核心素養(yǎng)為導(dǎo)向，引導(dǎo)學(xué)生把握教學(xué)內(nèi)容的本質(zhì)，創(chuàng)設(shè)合適的教學(xué)情境，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和求知欲，鼓勵(lì)學(xué)生獨(dú)立思考，自主學(xué)習(xí)，合作交流，發(fā)展實(shí)踐能力和創(chuàng)新意識.

從教學(xué)方法上來講，這一整節(jié)內(nèi)容的處理，遵循直觀感知、操作確認(rèn)、思辨論證、度量計(jì)算的認(rèn)識過程展開，而圓柱、圓錐、圓臺的表面積公式，通過具體實(shí)例與數(shù)字實(shí)驗(yàn)，按照直觀感知、操作確認(rèn)的方式得出，并用精確的數(shù)學(xué)符號語言進(jìn)行歸納.

從教學(xué)內(nèi)容上來看，首先要讓學(xué)生理解立體幾何圖形表面積計(jì)算的通法，即需要將立體幾何圖形的表面展開，從數(shù)學(xué)思想上來說就是要學(xué)會將立體問題“平面化”；其次是要讓學(xué)生理解旋轉(zhuǎn)體展開圖的詳細(xì)情況，學(xué)生從具體的實(shí)驗(yàn)操作（實(shí)物實(shí)驗(yàn)與基于GeoGebra軟件的數(shù)字實(shí)驗(yàn)）中發(fā)現(xiàn)旋轉(zhuǎn)體的展開圖與原圖形之間的幾何關(guān)系與數(shù)量關(guān)系，從而提高學(xué)生直觀想象、邏輯推理的核心素養(yǎng)；最后是對圓柱、圓錐、圓臺之間內(nèi)在關(guān)系的探究，通過基于GeoGebra軟件的數(shù)字實(shí)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)三者的結(jié)構(gòu)關(guān)系，從而推出表面積公式之間的數(shù)量關(guān)系，充分體會數(shù)形結(jié)合思想，形成知識之間的統(tǒng)一性.

（五）教學(xué)目標(biāo)

1.通過展開圓柱、圓錐、圓臺的側(cè)面，理解圓柱、圓錐、圓臺的表面積公式；

2.通過觀察圓柱、圓錐、圓臺的結(jié)構(gòu)特征，體會圓柱、圓錐、圓臺的內(nèi)在聯(lián)系，理解圓柱、圓錐、圓臺表面積公式之間的關(guān)系.

（六）教學(xué)中信息技術(shù)的使用分析

在本案例中，教師首先借助GeoGebra軟件展示了圓柱、圓錐、圓臺側(cè)面的展開過程，讓學(xué)生可以調(diào)整幾何體的大小、形狀，觀察不同情況下展開圖的區(qū)別與共同點(diǎn)，從而總結(jié)出側(cè)面面積的計(jì)算公式；其次設(shè)計(jì)的課件中的圓臺的上底面大小是可以放大和縮小的，這樣學(xué)生就可以通過控制上底面的大小，觀察得到圓柱、圓錐、圓臺之間的內(nèi)在關(guān)系.在這個(gè)過程中，學(xué)生通過親自探索，逐步加深了對知識的理解.

（七）教學(xué)過程

1.回顧舊知，導(dǎo)入新課

復(fù)習(xí)：基本立體圖形的結(jié)構(gòu)特征與棱柱、棱錐、棱臺的表面積.

【師生活動】學(xué)生思考、回答：基本立體圖形分為多面體與旋轉(zhuǎn)體，其中多面體包括棱柱、棱錐與棱臺，旋轉(zhuǎn)體包括圓柱、圓錐、圓臺與球；并且回顧多面體表面積的探究過程.

【設(shè)計(jì)意圖】在回顧多面體的結(jié)構(gòu)特征與表面積計(jì)算方式的過程中，引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注旋轉(zhuǎn)體的結(jié)構(gòu)特征，啟發(fā)學(xué)生思考旋轉(zhuǎn)體表面積的算法.

2.探索新知，構(gòu)建概念

實(shí)驗(yàn)與探究：根據(jù)已經(jīng)學(xué)過的圓柱、圓錐、圓臺的概念結(jié)合它們的結(jié)構(gòu)特征，從圖1中各種形狀的紙張當(dāng)中選擇合適的形狀來圍成圓柱、圓錐、圓臺.

【師生活動】學(xué)生選取紙片嘗試圍出圓柱、圓錐、圓臺.不難發(fā)現(xiàn)圓柱側(cè)面展開圖的形狀就是矩形，圓錐側(cè)面展開圖的形狀就是扇形，圓臺側(cè)面展開圖的形狀就是扇環(huán).

【設(shè)計(jì)意圖】學(xué)生通過自己動手操作，了解圓柱、圓錐、圓臺的形成過程，對圓柱、圓錐、圓臺的展開情況有了初步的圖像表征，在腦海中形成大致的空間觀念.

觀察與提問：觀察圓柱、圓錐、圓臺的側(cè)面展開的動態(tài)過程（如圖2所示），你能否得到圓柱、圓錐、圓臺的表面積公式.

【師生活動】觀察圓柱側(cè)面展開的具體過程：沿圓柱的一條母線，將其展開，得到圓柱的側(cè)面展開圖，在這個(gè)過程中，學(xué)生不難發(fā)現(xiàn)所得矩形的長就是圓柱底面圓的周長，寬就是圓柱的母線長，從而得到圓柱表面積公式；觀察圓錐側(cè)面展開的具體過程，同樣，沿圓錐的母線將其展開，仔細(xì)觀察展開過程，學(xué)生很容易發(fā)現(xiàn)，扇形的半徑就是圓錐的母線長，扇形的弧長就是底面圓的周長，然后根據(jù)扇形面積公式，就可以得到圓錐側(cè)面面積，進(jìn)而推出圓錐表面積公式；觀察圓臺側(cè)面展開的具體過程，沿圓臺的母線將其展開，就能得到一個(gè)扇環(huán)，顯然，扇環(huán)的半徑就是圓臺母線長，兩段弧長分別為圓臺上底面周長與下底面周長.扇環(huán)面積的計(jì)算是一個(gè)難點(diǎn)，教師引導(dǎo)學(xué)生借助相似三角形推出扇環(huán)面積，最后得到圓臺表面積公式.

【設(shè)計(jì)意圖】突破以往教學(xué)中學(xué)生只能憑空想象的困境，教師可以通過GeoGebra軟件的三維動力學(xué)函數(shù)，讓他們感受到圓柱、圓錐、圓臺的母線被剪切后，伸展到一個(gè)平面上的整個(gè)加工，從而使他們對側(cè)面展開的圖形與側(cè)面積的聯(lián)系有了一個(gè)更好的認(rèn)識，從而提高他們的空間想象力.

實(shí)驗(yàn)與探究：分析圓柱、圓錐、圓臺之間的結(jié)構(gòu)關(guān)系，探究圓柱、圓錐、圓臺的表面積公式之間的關(guān)系（三者之間的轉(zhuǎn)化如圖3所示）.

【師生活動】學(xué)生在GeoGebra軟件中，拉動控制上底面大小的點(diǎn)，觀察到如果將圓臺的上底面擴(kuò)大，直到與底面一樣大，那么這個(gè)圓臺就轉(zhuǎn)換成圓柱，將圓臺的上底面縮小，直到縮小為一點(diǎn)，此時(shí)就變成了圓錐.結(jié)合圓柱、圓錐、圓臺的定義，學(xué)生可以將圓柱、圓錐看作圓臺的兩種特殊情況.

【設(shè)計(jì)意圖】教學(xué)中借助GeoGebra軟件動態(tài)呈現(xiàn)圓柱、圓臺、圓錐的相互轉(zhuǎn)化，為學(xué)生理解圓柱、圓錐和圓臺的側(cè)面積公式之間的相互聯(lián)系提供幾何直觀，讓學(xué)生體會數(shù)與形的和諧統(tǒng)一，也讓學(xué)生對所學(xué)知識有整體的認(rèn)識，學(xué)會建立知識之間的聯(lián)系.

3.例題練習(xí)，鞏固新知

【師生活動】學(xué)生獨(dú)立思考完成題目.

【設(shè)計(jì)意圖】初步運(yùn)用表面積相關(guān)公式解決問題，提高學(xué)生在解決具體問題中的實(shí)操能力.

4.小結(jié)提升，形成結(jié)構(gòu)

1.請歸納一下圓柱、圓錐、圓臺表面積的推導(dǎo)過程以及三者之間的關(guān)系；

2.在探究學(xué)習(xí)的過程中體現(xiàn)了什么數(shù)學(xué)思想方法？

【師生活動】學(xué)生進(jìn)行知識總結(jié)，教師點(diǎn)評完善并引導(dǎo)學(xué)生體會當(dāng)中的數(shù)形結(jié)合思想與化歸思想.

【設(shè)計(jì)意圖】回顧和總結(jié)本節(jié)課的主要內(nèi)容及方法，提高學(xué)生的歸納總結(jié)能力，讓學(xué)生養(yǎng)成多反思、多體會的學(xué)習(xí)習(xí)慣.

結(jié) 語

綜上所述，核心素養(yǎng)視域下，GeoGebra軟件在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用不僅能夠增強(qiáng)學(xué)生對數(shù)學(xué)概念的理解，而且有助于培養(yǎng)他們的批判性思維、創(chuàng)造性思維和實(shí)踐能力.隨著教育技術(shù)的不斷發(fā)展，GeoGebra軟件將成為高中數(shù)學(xué)教學(xué)中不可或缺的工具，能夠?yàn)閷W(xué)生核心素養(yǎng)的培養(yǎng)提供強(qiáng)有力的支持.未來的研究可以進(jìn)一步探討如何將GeoGebra軟件與其他教學(xué)資源和方法整合，以及如何評估其在不同教學(xué)環(huán)境中的效果，從而更好地服務(wù)于教育教學(xué)改革和學(xué)生發(fā)展.

【參考文獻(xiàn)】

[1]張志勇.GeoGebra軟件在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用舉例[J].福建中學(xué)數(shù)學(xué)，2014（4）：6-9.

[2]何麗萍.在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中應(yīng)用GeoGebra軟件的策略[J].基礎(chǔ)教育論壇，2022（31）：111-112.

[3]張文香.GeoGebra軟件在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中的探究性應(yīng)用[J].家長，2022（29）：55-57.