趙紫杉

【摘要】抽象函數(shù)的奇偶性及其應(yīng)用問題，是函數(shù)及其應(yīng)用中最重要的一個(gè)環(huán)節(jié).文章抓住抽象函數(shù)的奇偶性問題應(yīng)用中的五個(gè)基本層面———定義、變形、性質(zhì)、特殊、應(yīng)用，通過對這“五劍客”的概括與歸納，抓住抽象函數(shù)的奇偶性這一基本性質(zhì)的本質(zhì)與內(nèi)涵，結(jié)合實(shí)例與變式練習(xí)，就“五劍客”的綜合與應(yīng)用加以全面展開與剖析，希望為數(shù)學(xué)教學(xué)與學(xué)習(xí)提供參考.

【關(guān)鍵詞】抽象函數(shù)；奇偶性；定義；變形；性質(zhì)；特殊；應(yīng)用

函數(shù)的奇偶性反映了函數(shù)圖像的對稱性以及函數(shù)的解析式之間的關(guān)系等，充分體現(xiàn)了數(shù)與形可以互相轉(zhuǎn)化的思維，是進(jìn)行數(shù)學(xué)分析和數(shù)學(xué)研究的有力工具，對函數(shù)部分的知識體系構(gòu)建和綜合應(yīng)用具有紐帶的作用.在具體解決問題中，解題者要充分把握函數(shù)奇偶性的本質(zhì)與內(nèi)涵，從不同思維層面入手，借助一些具體抽象函數(shù)的題設(shè)條件來分析與處理.但對于一些抽象函數(shù)的奇偶性問題，如何加以正確分析與判定，具有一定的解題規(guī)律與技巧方法，下面加以實(shí)例剖析.

一、定義是根本

函數(shù)奇偶性的定義是解決與之相關(guān)問題的根本所在，是解決抽象函數(shù)奇偶性問題的“第一劍客”.

根據(jù)函數(shù)奇偶性的定義，在相應(yīng)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱的前提下，若f（-x）=f（x），則該函數(shù)為偶函數(shù)；若f（-x）=-f（x），則該函數(shù)為奇函數(shù)；若f（-x）=f（x）和f（-x）=-f（x）同時(shí)成立，則該函數(shù)既是奇函數(shù)，也是偶函數(shù)；若f（-x）≠f（x）且f（-x）≠-f（x），則該函數(shù)既不是奇函數(shù)，也不是偶函數(shù).

例1 設(shè)函數(shù)F（x）=f（x）-f（-x）是定義在R上的函數(shù)，試判斷函數(shù)F（x）的奇偶性.

分析 本題沒有給出相應(yīng)解析式的抽象函數(shù)，而要判斷其奇偶性，必須利用函數(shù)的奇偶性的定義，利用題設(shè)條件判斷求出F（-x），進(jìn)而對比F（-x）與F（x）的關(guān)系.

解 由于函數(shù)F（x）的定義域?yàn)镽，關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對稱，又F（-x）=f（-x）-f（x）=-[f（x）-f（-x）]=-F（x），所以函數(shù)F（x）是奇函數(shù).

點(diǎn)評 證明抽象函數(shù)的奇偶性必須利用函數(shù)奇偶性的定義，函數(shù)奇偶性的定義是根本.找準(zhǔn)問題的突破方向，合理、靈活地變形與湊配對應(yīng)的抽象函數(shù)關(guān)系式，找出f（-x）與f（x）之間的關(guān)系再進(jìn)行分析與判斷.

變式練習(xí)1 若a>0，函數(shù)f（x）（x∈[-a，a]）是奇函數(shù)，g（x）（x∈R）是偶函數(shù)，試判定F（x）=f（x）g（x）的奇偶性.

解 在f（x），g（x）的公共定義域[-a，a]內(nèi)，任取一個(gè)x，則F（-x）=f（-x）g（-x），

又由于函數(shù)f（x）是奇函數(shù)，g（x）是偶函數(shù)，

則有f（-x）=-f（x），g（-x）=g（x），

那么F（-x）=f（-x）g（-x）=-f（x）g（x）=-F（x），

所以F（x）=f（x）g（x）在[-a，a]上為奇函數(shù).

二、變形是創(chuàng)新

函數(shù)關(guān)系式的恒等變形與轉(zhuǎn)化，為解決抽象函數(shù)奇偶性提供條件，成為解決抽象函數(shù)奇偶性問題的“第二劍客”.

抽象函數(shù)的奇偶性的判斷與證明問題，往往會通過對相應(yīng)函數(shù)關(guān)系式的變形與轉(zhuǎn)化，結(jié)合特殊值的代入、關(guān)系式的變形運(yùn)用等，以創(chuàng)新的角度，結(jié)合函數(shù)奇偶性的定義來判斷與證明相應(yīng)函數(shù)的奇偶性.

例2 已知函數(shù)f（x）的定義域?yàn)镽，對任意x，y∈R，均有等式f（x+y）=f（x）+f（y）成立，試判斷函數(shù)f（x）的奇偶性，并加以證明.

分析 根據(jù)題設(shè)關(guān)系中的等式條件，通過特殊值的賦值處理確定f（0）的值，再通過y=-x進(jìn)一步賦值處理，巧妙構(gòu)建相應(yīng)的關(guān)系式，進(jìn)而借助函數(shù)的奇偶性的定義加以分析與判斷，從而得以證明.

解 函數(shù)y=f（x）是奇函數(shù).具體證明如下：

由于對任意x，y∈R，均有等式f（x+y）=f（x）+f（y）成立，令x=y=0，則有f（0）=f（0）+f（0），解得f（0）=0，再令y=-x，則可得f（0）=f（x）+f（-x），由于f（0）=0，則有f（-x）=-f（x），故y=f（x）是奇函數(shù).

點(diǎn)評 本題所證明的結(jié)論是一個(gè)比較常用的“二級結(jié)論”.對函數(shù)關(guān)系式的變形與轉(zhuǎn)化及特殊值的代入與應(yīng)用等，都是判斷抽象函數(shù)的奇偶性中的重要環(huán)節(jié).

變式練習(xí)2 函數(shù)f（x）的定義域?yàn)镈={x|x≠0}，且滿足對于任意x1，x2∈D，有f（x1·x2）=f（x1）+f（x2）.試判斷f（x）的奇偶性并證明.

解 f（x）為偶函數(shù).證明如下：令x1=x2=1，有f（1×1）=f（1）+f（1），解得f（1）=0，令x1=x2=-1，有f[（-1）×（-1）]=f（-1）+f（-1），那么有f（1）=2f（-1）=0，解得f（-1）=0，令x1=-1，x2=x，有f（-x）=f（-1）+f（x），所以f（-x）=f（x），故f（x）為偶函數(shù).

三、性質(zhì)是拓展

函數(shù)奇偶性的基本性質(zhì)是依托其定義得到的一些等價(jià)關(guān)系，為解決問題起到優(yōu)化作用，是解決抽象函數(shù)奇偶性問題的“第三劍客”.

抽象函數(shù)的性質(zhì)與應(yīng)用問題，是函數(shù)的基本性質(zhì)及其應(yīng)用中的拓展，可以很好地融合函數(shù)的基本性質(zhì)、復(fù)合函數(shù)及函數(shù)運(yùn)算等問題，從更高、更深的層面來拓展與應(yīng)用，實(shí)現(xiàn)對基本性質(zhì)的綜合與思維的拓展.

例3 （多選題）若函數(shù)f（x）（x∈R）是奇函數(shù)，則下列結(jié)論正確的是（ ）

A.函數(shù)f（x2）是偶函數(shù)

B.函數(shù)[f（x）]2是奇函數(shù)

C.函數(shù)f（x）·x2是偶函數(shù)

D.函數(shù)f（x）+x是奇函數(shù)

分析 根據(jù)題設(shè)條件，解題者可由函數(shù)的奇偶性入手，結(jié)合抽象函數(shù)的奇偶性定義與性質(zhì)加以分類討論，進(jìn)而得以判斷相關(guān)抽象函數(shù)的奇偶性.這里要注意自變量的平方與函數(shù)的平方之間的區(qū)別與聯(lián)系，不要混淆.

解析 已知函數(shù)f（x）（x∈R）是奇函數(shù)，則有f（-x）=-f（x），對于選項(xiàng)A，由于f[（-x）2]=f（x2），所以f（x2）是偶函數(shù)，故選項(xiàng)A正確；對于選項(xiàng)B，由于[f（-x）]2=[-f（x）]2=[f（x）]2，所以[f（x）]2是偶函數(shù)，故選項(xiàng)B錯(cuò)誤；對于選項(xiàng)C，由于f（-x）·（-x）2=-f（x）·x2，所以f（x）·x2是奇函數(shù)，故選項(xiàng)C錯(cuò)誤；對于選項(xiàng)D，由于f（-x）+（-x）=-[f（x）+x]，所以f（x）+x是奇函數(shù)，故選項(xiàng)D正確.故選擇答案：AD.

點(diǎn)評 涉及抽象函數(shù)的性質(zhì)與應(yīng)用，解題者可以從定義入手，也可以性質(zhì)切入，還可以兩者綜合，綜合起來分析與處理一些相關(guān)的綜合應(yīng)用問題，特別在一些多選題以及一些開放性問題中經(jīng)常涉及.

變式練習(xí)3 （多選題）對于定義在R上的函數(shù)f（x），下列命題正確的有（ ）.

A.若f（x）是偶函數(shù)，則f（-1）=f（1）

B.若f（-1）=f（1），則f（x）是偶函數(shù)

C.若f（-1）≠f（1），則f（x）不是偶函數(shù)

D.若f（-1）=f（1），則f（x）不是奇函數(shù)

解析 對于選項(xiàng)A，若f（x）是定義域?yàn)镽的偶函數(shù)，則有f（-1）=f（1），則選項(xiàng)A正確；對于選項(xiàng)B，若f（-1）=f（1），不能保證對于其定義域中的任意元素x，都有f（-x）=f（x），f（x）不一定是偶函數(shù)，則選項(xiàng)B錯(cuò)誤；對于選項(xiàng)C，若f（-1）≠f（1），則f（x）不是偶函數(shù)，則選項(xiàng)C正確；對于選項(xiàng)D，若f（-1）=f（1）=0，則f（x）可能為奇函數(shù)，故選項(xiàng)D錯(cuò)誤.故選擇答案：AC.

四、特殊是思想

一般與特殊是辯證唯物主義中的一類重要思想，在具體解題與應(yīng)用中經(jīng)常加以變化，成為解決抽象函數(shù)奇偶性問題的“第四劍客”.

抓住抽象函數(shù)中奇偶性的結(jié)構(gòu)特征，合理構(gòu)建一些相應(yīng)的特殊函數(shù)，以特殊思維切入，特殊函數(shù)包括一次函數(shù)、二次函數(shù)、冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)以及三角函數(shù)等，特別在解決一些抽象函數(shù)的對稱性、周期性等問題時(shí)，經(jīng)常借助三角函數(shù)的基本性質(zhì)，選取吻合題設(shè)條件的特殊三角函數(shù)來分析與解決.

五、應(yīng)用是本質(zhì)

函數(shù)奇偶性的應(yīng)用是解決與之相關(guān)問題的關(guān)鍵，是解決抽象函數(shù)奇偶性問題的“第五劍客”.

利用函數(shù)的奇偶性及其他相關(guān)的函數(shù)性質(zhì)，可以用來處理一些應(yīng)用問題，比如函數(shù)求值、方程的根的問題等，關(guān)鍵是正常理解與掌握函數(shù)的奇偶性的概念與特征，抓住要點(diǎn)加以分析與應(yīng)用.

結(jié) 語

對于抽象函數(shù)的奇偶性問題，關(guān)鍵是利用函數(shù)奇偶性的概念，以定義為根本，以變形為創(chuàng)新，以性質(zhì)為拓展，以特殊為思想，以應(yīng)用為本質(zhì)，合理構(gòu)建函數(shù)與圖像之間的關(guān)系，充分把握并聯(lián)系抽象與具體之間的聯(lián)系，正確分析并解決與抽象函數(shù)的奇偶性相關(guān)的綜合應(yīng)用問題.

【參考文獻(xiàn)】

[1]胡芳舉.導(dǎo)函數(shù)與原函數(shù)的奇偶性、對稱性、周期性的關(guān)系[J].中學(xué)生數(shù)學(xué)，2023（17）：3-5.

[2]徐曉建，李祎.基于邏輯推理素養(yǎng)培養(yǎng)的數(shù)學(xué)教學(xué)設(shè)計(jì)：以“函數(shù)的奇偶性”教學(xué)為例[J].數(shù)學(xué)通訊，2023（14）：13-16.

[3]朱芷玲.數(shù)學(xué)概念教學(xué)的實(shí)踐與思考：以“函數(shù)的奇偶性”教學(xué)為例[J].高中數(shù)學(xué)教與學(xué)，2023（10）：14-16.

[4]吳艷芹，馬杰.暢言智慧課堂下的“函數(shù)奇偶性”主題教學(xué)設(shè)計(jì)[J].中學(xué)數(shù)學(xué)研究，2023（4）：8-11.