曹嶺紅

【摘要】數(shù)學(xué)是由問題組成的學(xué)科，問題教學(xué)是數(shù)學(xué)教學(xué)的主要特征，但是，數(shù)學(xué)問題之“難”往往成為困擾教師教和學(xué)生學(xué)的主要障礙，因此，文章從破解數(shù)學(xué)問題之“難”入手，詳細(xì)闡述了溝通聯(lián)系、解后反思等教學(xué)策略來解構(gòu)、破解問題之“難”，從而提升解題者的解題能力，并達(dá)到提升數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的課程目標(biāo).

【關(guān)鍵詞】問題；破解；聯(lián)系；反思；概括

問題是數(shù)學(xué)的重要表征，解答問題是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的重要環(huán)節(jié)，數(shù)學(xué)問題指在數(shù)學(xué)領(lǐng)域運(yùn)用數(shù)學(xué)知識去解決的問題.從人類意識到問題并致力于解決問題開始，數(shù)學(xué)便開始萌芽.人類對現(xiàn)實(shí)問題的理解和分析也在不斷推動數(shù)學(xué)的發(fā)展：古埃及尼羅河河水經(jīng)常泛濫，需要重新丈量土地，于是幾何學(xué)出現(xiàn)并得到發(fā)展；我國古人將246個用數(shù)學(xué)解決的問題集中到了《九章算術(shù)》中，成為聞名世界的數(shù)學(xué)著作.為了培養(yǎng)具備問題探究能力的未來人才，《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》的課程總目標(biāo)明確提出“在探索真實(shí)情境所蘊(yùn)含的關(guān)系中，發(fā)現(xiàn)問題和提出問題，運(yùn)用數(shù)學(xué)和其他學(xué)科的知識與方法分析問題和解決問題”，因此，數(shù)學(xué)問題探索是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的重要組成部分.但是在解答數(shù)學(xué)問題時，大家往往為“難”所阻，因此，文章試圖討論并提出一種工作路徑，破解數(shù)學(xué)問題之“難”，從而提高解決問題的能力.

一、溝通聯(lián)系，解構(gòu)問題之“難”

數(shù)學(xué)問題通常由已知條件和求解目標(biāo)兩部分所組成，問題中所含的數(shù)學(xué)知識有外顯的，但更多是內(nèi)隱的，求解目標(biāo)是已知條件通過一定的數(shù)學(xué)途徑所能達(dá)到的某種可能結(jié)果，獲得這個途徑的過程就是問題分析的過程，呈現(xiàn)這個途徑的過程就是解決問題的過程.數(shù)學(xué)問題之“難”體現(xiàn)在獲取這個途徑上，而將已知條件和求解目標(biāo)進(jìn)行溝通聯(lián)系，外顯數(shù)學(xué)知識，便可解構(gòu)數(shù)學(xué)問題之“難”，從而獲得解決問題的途徑.

二、解后反思，破解問題之“難”

數(shù)學(xué)問題的解答僅僅是培養(yǎng)學(xué)生核心素養(yǎng)的一次開始，進(jìn)行問題和解答過程反思，從更為宏觀的角度探索問題“難”之所在，理解問題“難”之本質(zhì)，才能進(jìn)一步提升數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

（一）解法反思，豐富思考路徑

解法是解決數(shù)學(xué)問題的方法，通常情況下，數(shù)學(xué)問題的解法存在多種可能性，越是復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題，其解法的多種可能性特征往往越明顯，并且，不同解法往往呈現(xiàn)不同的思維特征，而眾多解法中還存在最優(yōu)解的情形，因此，解法反思是挖掘數(shù)學(xué)問題育人價值的不可或缺的環(huán)節(jié)，也是對學(xué)生思維能力培養(yǎng)和核心素養(yǎng)提升的重要路徑.解法反思是解題者獲得數(shù)學(xué)問題解法后所進(jìn)行的思考，一般包括解法合理性反思、解法豐富性探索和解法最優(yōu)化思考等內(nèi)容.

1.解法合理性反思

解題者獲得數(shù)學(xué)問題的解法，并不代表其解法是正確的，因此，還應(yīng)對其合理性進(jìn)行反思，從而確保解法正確，合理性反思的方法包括將解代入數(shù)學(xué)問題后的理論推演、解題環(huán)節(jié)依據(jù)的逐一論證、解的合理性與多樣性思考等.

2.解法豐富性探索

解法豐富性探索指對數(shù)學(xué)問題多種解法的探索，即一題多解的探索，這需要解題者從不同角度，運(yùn)用不同的思維方式進(jìn)行思考，探索過程可以培養(yǎng)解題者多種思維能力.如：解方程|x-3|=1.

解法一，利用絕對值的代數(shù)意義去絕對值符號，將其變成兩個方程：x-3=1和x-3=-1，然后分別求解.此解法培養(yǎng)了解題者的運(yùn)算能力，提升了解題者數(shù)學(xué)運(yùn)算方面的核心素養(yǎng).

解法二，利用絕對值的幾何意義，在數(shù)軸上找到符合要求的點(diǎn)，然后根據(jù)點(diǎn)所表示的數(shù)獲得方程的解.此解法培養(yǎng)了解題者的數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，提升了解題者直觀想象方面的核心素養(yǎng).

多種解法的探索，是抵達(dá)目標(biāo)的多路徑探索，它對于培養(yǎng)解題者的發(fā)散性思維和豐富解題者的思維方式都起到至關(guān)重要的作用，也是提升解題者數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的重要途徑.

3.解法最優(yōu)化思考

解法一，利用代入消元法解方程組；

解法二，利用加減消元法解方程組；

解法三，先將三個方程相加進(jìn)行增元，然后利用新方程與原方程組中的方程進(jìn)行減法消元得到方程的解.

以上三種方法中，前兩種屬于消元法解方程組，第三種屬于先增元后消元的方式解方程組，顯然第三種方法優(yōu)于前兩種方法，在三種方法中屬于最優(yōu)解法.

（二）問題概括，理解解題邏輯

問題概括是用最簡潔的數(shù)學(xué)語言對問題本身和問題解法所進(jìn)行的概括性表達(dá)，其中，對問題本身的概括是對問題所含數(shù)學(xué)知識的建構(gòu)性表達(dá)，它是外顯問題所含知識后的表達(dá)，是清晰知曉數(shù)學(xué)知識構(gòu)建問題方式后的表達(dá)；對問題解法的概括是成功解答數(shù)學(xué)問題后的表達(dá)；是對解法策略充分理解后的表達(dá)，并且，不管是對問題本身的概括，還是對問題解法的概括，都是解題者通過對反思結(jié)果的語言凝練后的思維抽象，是解構(gòu)數(shù)學(xué)問題“難”之要素的重要途徑，因此，問題概括是解后反思的重要內(nèi)容，有助于解題者理解解題邏輯，提升思維能力.

以上問題是有對應(yīng)法則的問題概括，概括起來比較容易，但有些問題所對應(yīng)的法則或定理相對模糊，這需要解題者對解法進(jìn)行深度思考，高度凝練，也正因?yàn)檫@樣，對這類數(shù)學(xué)問題進(jìn)行問題概括對解題者的理解問題邏輯和凝練能力等方面具有更大的價值.

如：如下圖所示，已知正方形ABCD內(nèi)有一點(diǎn)P，PA=1，PB=2，PC=3，求∠APB的度數(shù).

解題者在成功解答后，可以通過三提煉來完成問題概括，從而理解解題邏輯.

1.提煉解題步驟

（1）如圖所示，將△PAB繞點(diǎn)B順時針旋轉(zhuǎn)90°后，點(diǎn)A與點(diǎn)C重合，點(diǎn)P旋轉(zhuǎn)至點(diǎn)E的位置，連接PE；

（2）由△PAB旋轉(zhuǎn)可得△PBE為等腰直角三角形，∠PEB=45°，利用勾股定理可求出PE的長；

（3）利用勾股定理的逆定理可得△PEC為直角三角形，其中，∠PEC=90°；

（4）∠APB=∠BEC=∠PEB+∠PEC=135°.

解題步驟相對于解題過程更為簡潔，它是舍去解題過程中的具體計(jì)算過程和證明過程后提煉出來的主要解題思路，有利于解題者對解題過程形成整體認(rèn)知.

2.提煉解決問題的關(guān)鍵點(diǎn)

當(dāng)解題者解題遇到困難時，他人的一句點(diǎn)撥往往能令其茅塞頓開，這句點(diǎn)撥就是數(shù)學(xué)問題之“難”的題眼，也是解決問題的關(guān)鍵點(diǎn)，因此，無論是理解問題解題過程，還是解構(gòu)問題之“難”，都需要提煉出解決問題的關(guān)鍵點(diǎn).在解題者對問題的解題過程形成整體思路后，就具備了尋找這個關(guān)鍵點(diǎn)的基礎(chǔ).如：這個數(shù)學(xué)問題解題過程的關(guān)鍵點(diǎn)是將△PAB繞點(diǎn)B順時針旋轉(zhuǎn)90°，將已知線段轉(zhuǎn)換至同一個直角三角形中.

3.提煉關(guān)鍵點(diǎn)與已知的關(guān)聯(lián)點(diǎn)

當(dāng)面對有解題困難的數(shù)學(xué)問題時，經(jīng)過他人點(diǎn)撥就能成功解答，但解題者不能依賴于他人的點(diǎn)撥，而是要具備與點(diǎn)撥者同樣的點(diǎn)撥能力，即彌補(bǔ)自己想不到解題思路方面的能力缺失.點(diǎn)撥者之所以能夠成功點(diǎn)撥，是因?yàn)樗麄兡軌蚋鶕?jù)已知條件預(yù)判出基本的解題思路，這種具有預(yù)判特征的點(diǎn)撥能力是數(shù)學(xué)問題解法之“難”的題眼，它存在于問題解決的關(guān)鍵點(diǎn)與已知條件之間的關(guān)聯(lián)點(diǎn)的提煉過程中.

如：這個數(shù)學(xué)問題的解答關(guān)鍵點(diǎn)是旋轉(zhuǎn)三角形，那么解題者提煉關(guān)鍵點(diǎn)與已知的關(guān)聯(lián)點(diǎn)時，需要反思的問題是，為什么能想到旋轉(zhuǎn)三角形？下面是在這個反思問題的指引下，提煉關(guān)鍵點(diǎn)與已知的關(guān)聯(lián)點(diǎn)的過程.

（1）因問題中已知長度的三條線段都不在同一個三角形中，根據(jù)三角形邊角關(guān)系求角就必須將這些要素盡量轉(zhuǎn)換到同一個三角形中，這就產(chǎn)生了圖形轉(zhuǎn)換的思路；

（2）正方形四邊相等，這為旋轉(zhuǎn)時最大程度利用等邊或等角進(jìn)行旋轉(zhuǎn)的思維方法提供了基礎(chǔ)，因此，將三角形旋轉(zhuǎn)90°是一種最為可行的解題思路，從而產(chǎn)生了前面的解題方案；

（3）由第（2）步反思可知，此題的旋轉(zhuǎn)方式應(yīng)該有兩種，即還有一種旋轉(zhuǎn)方式可以獲得解決問題的方法，這種方法是將△PBC繞點(diǎn)B逆時針旋90°.

（三）問題比較，理解命題邏輯

對數(shù)學(xué)問題的個體探索是數(shù)學(xué)問題深度挖掘的個體案例，這樣的探索有利于深度理解具體的數(shù)學(xué)問題，但它在眾多數(shù)學(xué)問題中是一般性特征的代表，還是屬于特殊案例，還需要對與此相關(guān)聯(lián)的眾多數(shù)學(xué)問題進(jìn)行關(guān)聯(lián)比較探索，即對相關(guān)聯(lián)的數(shù)學(xué)問題進(jìn)行系統(tǒng)復(fù)盤，解構(gòu)系列問題“難”之內(nèi)核，關(guān)聯(lián)比較，理解命題邏輯，因此，探索數(shù)學(xué)問題之“難”的第三個步驟是問題比較，理解命題邏輯.

1.匯集關(guān)聯(lián)數(shù)學(xué)問題

對相關(guān)聯(lián)的數(shù)學(xué)問題進(jìn)行對比探索，首先需要將相關(guān)聯(lián)的數(shù)學(xué)問題匯集在一起，其匯集方式是在每次解答數(shù)學(xué)問題時進(jìn)行關(guān)聯(lián)聯(lián)想，將與其具有關(guān)聯(lián)特征的數(shù)學(xué)問題按照一定的標(biāo)記方式有計(jì)劃地放置在一起.關(guān)聯(lián)特征一般分為兩類：知識關(guān)聯(lián)和解題策略關(guān)聯(lián)，其中，知識關(guān)聯(lián)是指數(shù)學(xué)問題所含的數(shù)學(xué)知識相同或同屬于一個數(shù)學(xué)知識系列，如下列數(shù)學(xué)問題所含的數(shù)學(xué)知識都含有冪運(yùn)算法則.

解題策略關(guān)聯(lián)是指數(shù)學(xué)問題的解答策略相同或相似，如下面兩個數(shù)學(xué)問題都可以使用圖形旋轉(zhuǎn)的策略來解決問題.

（1）已知正方形ABCD內(nèi)有一點(diǎn)P，PA=1，PB=2，PC=3，求∠APB的度數(shù).

（2）在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC，若Rt△ABC中有一點(diǎn)P，且∠PAB=∠PBC=∠PCA， PA=a，PC=b.求△PBC與△PCA的面積和.

匯集是為了探索而積累素材，是對繁雜紛亂數(shù)學(xué)問題的篩查，屬于初步分類，但是匯集過程能有效幫助解題者提升想象能力、關(guān)聯(lián)意識和系統(tǒng)思維.

2.探索關(guān)聯(lián)數(shù)學(xué)問題的異同點(diǎn)

將相關(guān)聯(lián)的數(shù)學(xué)問題進(jìn)行匯集時，其關(guān)聯(lián)特征往往比較粗放，分類并不嚴(yán)謹(jǐn)，唯有聚焦分析方可挖掘數(shù)學(xué)問題的建構(gòu)特征，理解數(shù)學(xué)問題的命題邏輯，找到解決數(shù)學(xué)問題的基本規(guī)律，從而形成數(shù)學(xué)問題思考的系統(tǒng)性思維.這種聚焦分析可以通過找異同的方法進(jìn)行，即尋找匯集在一起的數(shù)學(xué)問題組的相同點(diǎn)和不同點(diǎn)，下面以前面所呈現(xiàn)的數(shù)學(xué)知識關(guān)聯(lián)的冪運(yùn)算題組為例進(jìn)行分析說明.

從所含數(shù)學(xué)知識的角度看，都含有的數(shù)學(xué)知識是冪運(yùn)算法則；從數(shù)學(xué)知識建構(gòu)數(shù)學(xué)問題的角度看，（3）和（5）題屬于冪運(yùn)算法則的單次運(yùn)用，其余都是冪運(yùn)算法則的復(fù)合運(yùn)用；第（7）題是冪運(yùn)算法則的直接運(yùn)用，其余都存在冪運(yùn)算法則的逆運(yùn)用.從數(shù)學(xué)問題的解答策略看，前兩題都需要通過冪運(yùn)算法則的逆運(yùn)用來拆解所求代數(shù)式；第（3）題需要利用方程解答，第（6）題需要建構(gòu)運(yùn)算；第（2）和（4）題需要同時對已知代數(shù)式和所求代數(shù)式進(jìn)行拆解；除兩個計(jì)算題外的數(shù)學(xué)問題的解答策略都是利用冪運(yùn)算法則將已知代數(shù)式和所求代數(shù)式相互轉(zhuǎn)換進(jìn)行解答，都體現(xiàn)了化歸思想和整體思想.

結(jié) 語

綜上，在破解數(shù)學(xué)問題之“難”方面，溝通數(shù)學(xué)問題中已知條件和求解目標(biāo)的聯(lián)系，是解構(gòu)數(shù)學(xué)問題之“難”、成功解答數(shù)學(xué)問題的重要方法，解后反思，特別是解法反思、問題概括和問題比較等策略是抽象數(shù)學(xué)方法、形成數(shù)學(xué)思維、提升數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，從而破解數(shù)學(xué)問題之“難”的有效策略.

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