朱妍橙

【摘 要】幾何直觀作為數(shù)學的核心素養(yǎng)之一，十分重要。學生在數(shù)學學習過程中，應(yīng)形成幾何直觀意識和能力，并靈活運用幾何直觀分析和解決問題，以此提升自身數(shù)學素養(yǎng)，而這有賴于教師對學生幾何直觀能力有效培養(yǎng)。文章基于小學數(shù)學特征與幾何直觀教學特點，主要分析幾何直觀在小學低年級數(shù)學教學中的有效應(yīng)用。

【關(guān)鍵詞】小學數(shù)學 幾何直觀 數(shù)形結(jié)合 教學應(yīng)用

《義務(wù)教育數(shù)學課程標準（2022年版）》明確指出，在數(shù)學課程中，應(yīng)當注意培養(yǎng)、發(fā)展學生的數(shù)學素養(yǎng)，以適應(yīng)時代發(fā)展對人才培養(yǎng)的需要。而數(shù)形結(jié)合幾何直觀，又是發(fā)展學生數(shù)學核心素養(yǎng)的一個重要舉措和必備目標。

一、關(guān)注幾何直觀素養(yǎng)培養(yǎng)是數(shù)學新課標的既定要求

《義務(wù)教育數(shù)學課程標準（2022年版）》明確提出11個核心素養(yǎng)：數(shù)感、量感、符號意識、運算能力、空間觀念、幾何直觀、推理意識、數(shù)據(jù)意識、模型意識、應(yīng)用意識、創(chuàng)新意識。這些核心素養(yǎng)要點代表著數(shù)學課程的特有價值，成為數(shù)學課程目標的著力點。教師應(yīng)當通過日常的教學活動，持續(xù)不斷地予以落實。而幾何直觀作為數(shù)學新課標所劃定的11個核心素養(yǎng)之一，也凸顯其重要性。

筆者在小學數(shù)學低年級課堂上曾問過學生，你們喜歡什么樣的數(shù)學題？大多數(shù)學生都回答：“最喜歡看圖寫數(shù)，因為一看就會！”“一看就會”讓筆者陷入了思考，低年級學生的思維以具體、直觀、形象占主導(dǎo)地位。如果能在教學中融入幾何圖形，建立形與數(shù)的聯(lián)系，幫助學生減少或降低數(shù)學認知在知識和能力方面的難度，這便能合理提升小學數(shù)學課堂教學質(zhì)量，這對學生數(shù)學素養(yǎng)的發(fā)展有著積極意義。對此，筆者做了較深入的研究和思考，并將研習心得付諸實踐。

二、核心素養(yǎng)視域下低年級幾何直觀的教學實踐策略

（一）利用幾何圖形直觀感知與理解數(shù)與數(shù)量關(guān)系

在小學數(shù)學教學中，利用幾何圖形直觀，可以實現(xiàn)對數(shù)量關(guān)系的感知與理解。教學中學生進行分析、綜合等一系列活動，來解決數(shù)學問題，是在“形”的基礎(chǔ)上，借助幾何圖形載體對數(shù)學思維的感知和理解過程。

在教學“8的乘法口訣”一課時，不同畫圖之間的轉(zhuǎn)化，能夠更好地促進學生理解，使其思維可視化。如果只注重單一的教學模式，學生的思維只會停留在知識具體化的層面，思維缺乏進階提升和發(fā)展。

一般來說，小學生數(shù)學學習活動需要經(jīng)歷“從具體直觀到一般抽象、再回歸思維具體”的認知思維路徑，以提升數(shù)學學習的參與效度與學習深度。其間認知操作，經(jīng)歷“實物操作—圖像操作—符號操作”的三次轉(zhuǎn)化與提升，符合學生認識事物的規(guī)律。

小學生處于形象思維到抽象思維的關(guān)鍵時期，學習較為抽象的內(nèi)容，特別是理解較為復(fù)雜的數(shù)量關(guān)系時，需要借助具體事物或圖形的支持?！皵?shù)缺形時少直觀”，幾何直觀恰恰能將“形”與數(shù)“貫通”，利用直觀的“形”呈現(xiàn)抽象的“數(shù)”。這既符合小學生的年齡特征，也符合他們的認知發(fā)展規(guī)律。

（二）關(guān)注形的認識和數(shù)與形的聯(lián)系，孕育以形表數(shù)

1.以“三角形數(shù)”（如圖1）展示數(shù)與形的直觀聯(lián)系

數(shù)的概念源自集合屬性的提煉，幾何圖形是大自然中各種規(guī)則形狀的提取。教師要引導(dǎo)學生加深對形的認識，加強數(shù)與形的聯(lián)系，孕育以形表數(shù)的意識。

2.畫圖表征小數(shù)、分數(shù)，實行以“形”表數(shù)

在教學“小數(shù)的初步認識”一課時，從課堂里呈現(xiàn)的學生作品（如圖4）可以看出，他們都是把一個圖形看成1元，把它平均分成10份，取出其中的1份，用分數(shù)表表示為十分之一元，小數(shù)為0.1元。通過畫圖表示后，學生能充分理解0.1的含義，十分之一是分數(shù)單位，而0.1是小數(shù)單位。學生在充分理解小數(shù)單位后，就能近一步了解其余一位小數(shù)都是建立在其圖形平均分示意理解上的。學生運用數(shù)描述現(xiàn)實生活中的簡單現(xiàn)象，以了解日常生活中與數(shù)學相關(guān)的信息，愿意參與數(shù)學學習活動，能夠從中懂得數(shù)學的作用，體會數(shù)學之美。

在教學“分數(shù)的初步認識”一課中，教師可以為學生建立初步的分數(shù)模型（如圖3）。當學生對分數(shù)有一定的了解后，教師可以組織“涂紙片”活動，讓學生通過折一折、涂一涂加深對分數(shù)的含義的理解，這可以為其后續(xù)深入學習分數(shù)做好鋪墊。著名數(shù)學家華羅庚先生曾指出，學生對于數(shù)學的探索，不應(yīng)該停留在簡單的公式和定理之上，更應(yīng)懂得如何靈活運用知識，只有深入探索才能實現(xiàn)數(shù)學思想的沉淀。因此，小學數(shù)學教學更應(yīng)當注重理論與實踐的有機結(jié)合。

（三）加強數(shù)與形結(jié)合，用圖來解釋數(shù)學規(guī)律

1.借助圖形來探索數(shù)字規(guī)律

在數(shù)學教學中，需要引發(fā)學生自己的思考，將抽象的數(shù)學語言和直觀的圖像結(jié)合在一起，進而來解答數(shù)學問題。圖形可以使抽象的問題變得形象，運用圖形可輕巧地找出一些文字中未經(jīng)解釋的有用信息，促進問題的解決。在數(shù)學教學中，教師要重視運用圖形教學，以有效發(fā)展學生的數(shù)學思維能力，如運用圖形顯示變化，可以讓學生探索相關(guān)數(shù)據(jù)規(guī)律，以此提高學生對數(shù)學問題的理解、分析和解決能力；引導(dǎo)學生觀察相應(yīng)圖形，對比相應(yīng)的數(shù)據(jù)，加深學生對數(shù)學問題、數(shù)學知識的深度理解。

例如：

在理解“單數(shù)+單數(shù)=雙數(shù)”時，低年級的學生無法從數(shù)的本身去探索，平時要加強構(gòu)造直觀的訓(xùn)練。

例：如果一個很大的單數(shù)和一個很大的雙數(shù)相加，和一定是單數(shù)？為什么？

方法1：用各位相加說明。

方法2：用幾何模型說明（結(jié)論具有一般性），學生看圖可以一目了然。（如圖6）

2.借用幾何圖形表示運算的意義與規(guī)則

在小學數(shù)學教學中，對于四則運算的意義和筆算中的規(guī)則，都是可以運用幾何圖形的示意來表示算理的。當運用幾何圖示來呈現(xiàn)算理和步驟時，就能給學生以直觀的感受，使之從中看清這么計算的意思，理解為什么要這么算，其合理性在哪里。因此，可以說圖示是把計算的意義、規(guī)則與算理外化，讓學生看得見、摸得著。借用幾何圖形不但可以表示計算的意義和規(guī)則，而且可以用它來表示運算的定律和性質(zhì)。如對于乘法的分配律運用圖形外化，能夠讓學生理解用一個數(shù)去乘兩個數(shù)的和，學生能夠通過圖形的等積變形或者點子數(shù)的不變，理解算式變化規(guī)律和性質(zhì)。如“乘法分配律”包含了加法運算和乘法運算，學生一時無法接受復(fù)雜的數(shù)字運算，在具體運用時容易發(fā)生記憶錯亂。教師可以借助幾何直觀的思想方法，引導(dǎo)學生進行深度學習，讓學生在幾何直觀的背景下觀察總結(jié)算式之間的規(guī)律和關(guān)系，進一步加強學生對知識的理解運用。

3.借助圖形分析，厘清思路解決問題

借助幾何圖形讓學生直觀地顯示數(shù)量及其數(shù)量關(guān)系，讓學生明確思考對象及其之間的關(guān)系。這樣學生就能厘清思路，學會分析，有利于其正確把握和解決相關(guān)問題。小學數(shù)學學習中借助圖形分析數(shù)量關(guān)系，最為便捷的是線段圖。它是以線段的長短來區(qū)分數(shù)量的大小，及其關(guān)系的。學生在繪制圖形要注意長短大小，以及相關(guān)數(shù)量間的位置關(guān)系和比較關(guān)系。

小明爸爸比小明大24歲，今年爸爸的年齡是小明的3倍，爸爸今年多少歲？

錯解：不理解3倍與24之間的關(guān)系，直接列式24÷3=8

在教學中，學生通過畫圖解題，他們會呈現(xiàn)出直條圖、線段圖等見圖。

通過畫圖（如圖5），不難分析出題中的24對應(yīng)的是多出的2份，而不是3份。厘清了這一點，題目也就迎刃而解了。教師在教學中滲透畫圖時，要熟悉教材，要統(tǒng)籌設(shè)計，關(guān)注安排學生用幾何直觀表示思想的學習過程，并且逐漸提高學生畫線段圖和示意圖的水平，激發(fā)其用圖促進分析思考、進而解決問題的能力。

綜上所述，數(shù)缺形時少直觀，形少數(shù)時難入微?！皵?shù)”“形”貫通是培育幾何直觀的重要節(jié)點和舉措。教師在數(shù)學教學中，要引導(dǎo)學生高度重視幾何直觀的意義和價值，要經(jīng)常在文字語言、符號語言和圖形語言之間靈活地切換，以發(fā)掘數(shù)學對象的幾何直觀因素，能根據(jù)所教內(nèi)容貼切地創(chuàng)造出抽象知識的直觀表達，有意識地要求學生用圖清楚地表達交流自己的想法。面對學生的差錯，要有意識地退到直觀層面引導(dǎo)學生剖析錯誤原因。本次實踐研究，將“形”與“數(shù)”進行勾連，構(gòu)建數(shù)學問題的直觀模型，有效地鍛煉了學生的數(shù)學理解能力，啟發(fā)其數(shù)學思維。學生在對數(shù)學問題的思考、分析、探索、解決中，不斷地提高了自身的學習能力。

注：本文系2021年度南京市重點教研課題“數(shù)學表達：指向思維進階的小學數(shù)學課堂變革研究”（編號：2021NJJK14—Z12）的階段研究成果。