孫丹丹 徐亞楠

摘? 要：教科書留白為學(xué)生提供了自主探究的空間，使得學(xué)習(xí)內(nèi)容由封閉走向開放. 以人教A版《普通高中教科書·數(shù)學(xué)（必修）》中的留白為載體，探究了教科書中的留白類型. 研究發(fā)現(xiàn)，教科書中的留白可以分為方法之白、論證之白、陳述之白、應(yīng)用之白、發(fā)現(xiàn)之白五種類型，每種類型都存在不同的子類，有著不同的教學(xué)價(jià)值.

關(guān)鍵詞：高中數(shù)學(xué)；教科書；留白

中圖分類號(hào)：G634? ? ?文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A? ? ?文章編號(hào)：1673-8284（2024）02-0009-04

引用格式：孫丹丹，徐亞楠. 高中數(shù)學(xué)教科書中的留白分析：以人教A版《普通高中教科書·數(shù)學(xué)（必修）》為例［J］. 中國(guó)數(shù)學(xué)教育（高中版），2024（2）：9-12.

留白是一種中國(guó)藝術(shù)創(chuàng)作的常用手法，留空白以給人想象之余地，成就以無勝有的美學(xué)意境. 教學(xué)中也有留白藝術(shù). 教學(xué)留白，指在教學(xué)過程中教師不將內(nèi)容完全講給學(xué)生，而是給學(xué)生留下自主思考的空間，讓學(xué)生補(bǔ)入自己的理解. 在教學(xué)過程中，若學(xué)習(xí)內(nèi)容設(shè)計(jì)得太滿，教師大量講授，學(xué)生就沒有自主思考和自我消化的時(shí)間，容易造成被動(dòng)接受，而適當(dāng)?shù)牧舭拙褪菫閷W(xué)生提供思考的空間，給學(xué)生以表達(dá)和創(chuàng)造的機(jī)會(huì)，可以調(diào)動(dòng)學(xué)生學(xué)習(xí)的自主性和積極性，同時(shí)生成課堂討論素材.

教科書是教師教學(xué)的重要參考資料，深刻影響著教師的教學(xué)設(shè)計(jì)和實(shí)施. 教科書如何留白影響了教師在教學(xué)中如何留白. 教科書留白指教科書中一些推導(dǎo)過程和結(jié)論沒有完全呈現(xiàn)出來，或者只問不答. 留白可以增加教科書及教師與學(xué)生之間的互動(dòng)，為學(xué)生留出自主探究的空間，使得學(xué)習(xí)內(nèi)容由封閉走向開放.

本文將以人教A版《普通高中教科書·數(shù)學(xué)（必修）》（以下統(tǒng)稱“人教A版教科書”）中的留白為載體探究教科書中的留白類型. 瀏覽人教A版教科書，發(fā)現(xiàn)留白常因問題或任務(wù)而起，主要集中在提示框、思考框、探究框三個(gè)欄目，思考框和探究框穿插在教科書的正文中，提示框常在正文邊側(cè). 因此，本文聚焦以上三個(gè)欄目中的留白，不關(guān)注練習(xí)、習(xí)題、閱讀與思考、探究與發(fā)現(xiàn)等欄目. 判斷留白的依據(jù)是教科書給出問題或任務(wù)而沒有給出解決方法，參考已有研究對(duì)留白的分類，本文將歸納教科書中的主要留白類別，分析其特點(diǎn)及潛在價(jià)值.

一、方法之白

方法之白指教科書已給出一種問題解決方法，引導(dǎo)學(xué)生用另一種或多種方法來解決問題. 例如，“3.1.2 函數(shù)的表示法”一節(jié)中，例題要求用解析法表示某分段函數(shù)，人教A版教科書給出了結(jié)合圖象判斷分段函數(shù)解析式的方法，在提示框中給出留白問題：你能用其他方法求出[Mx]的解析式嗎？引導(dǎo)學(xué)生探索其他求解方法.

方法之白根據(jù)留白空間大小的不同可以分為指引類留白和開放類留白. 指引類留白，指教科書給定了問題解決方法的思考角度. 例如，在“5.4.2 正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的性質(zhì)”一節(jié)中，例題要求比較兩對(duì)同名三角函數(shù)值的大小，人教A版教科書給出了借助正弦函數(shù)及余弦函數(shù)單調(diào)性解題的方法，在提示框中鼓勵(lì)學(xué)生從單位圓的角度比較函數(shù)值的大小，提示了另一種問題解決的思考角度. 開放類留白，指教科書鼓勵(lì)學(xué)生用其他方法解決問題，但沒有任何提示，學(xué)生可以采取任何方法. 例如，在“6.4.3 余弦定理、正弦定理”一節(jié)中，人教A版教科書從向量的角度證明了余弦定理，在提示框中以問題“你能用其他方法證明余弦定理嗎？”引導(dǎo)學(xué)生思考證明余弦定理的其他方法，但是沒有給出方法上的提示.

方法之白引導(dǎo)學(xué)生采取不同的方法解決問題，促使學(xué)生多角度地思考，有助于拓展學(xué)生的思維，鍛煉學(xué)生思維的靈活性. 不同角度的思考還可以建立不同知識(shí)之間的關(guān)聯(lián)，促進(jìn)學(xué)生建構(gòu)貫通的知識(shí)網(wǎng)絡(luò).

二、論證之白

論證之白指讓學(xué)生解釋教科書新知或問題解決過程中已經(jīng)給出的某種說法或做法的緣由. 例如，在“4.1.1 n次方根與分?jǐn)?shù)指數(shù)冪”一節(jié)中，人教A版教科書討論了正數(shù)和負(fù)數(shù)的奇次方根及表示、正數(shù)的偶次方根及表示. 隨后指出負(fù)數(shù)沒有偶次方根，但并沒有解釋，在提示框中給出留白問題：為什么負(fù)數(shù)沒有偶次方根？又如，在“5.5.2 簡(jiǎn)單的三角恒等變換”一節(jié)中，例9要求學(xué)生求解形如y = asin x + bcos x的三角函數(shù)式的周期與最值，在第（1）小題中，人教A版教科書直接將[y=sinx+][3cosx]變形為[y=212sinx+32cosx]，而沒有給出具體步驟，在提示框中給出留白問題：你能說說這一步變形的理由嗎？

論證之白根據(jù)論證類型的不同分為論實(shí)類留白和論偽類留白. 論實(shí)類留白即論證某種正確說法或做法的合理性，這些說法或做法往往是教科書正文知識(shí)或問題解決過程的一部分. 例如，在“6.4.3 余弦定理、正弦定理”一節(jié)中，例8求解三角形，由[sinC=22]解得角C有兩個(gè)值，在提示框中給出留白問題：為什么角C有兩個(gè)值？讓學(xué)生論證解題過程中的細(xì)節(jié). 論偽類留白即論證某種說法或做法為什么不正確，這些說法或做法基于正文內(nèi)容提出，往往是學(xué)生可能存疑的迷思概念. 例如，在“9.2.4 總體離散程度的估計(jì)”一節(jié)中，人教A版教科書給出用平均距離刻畫離散程度，在提示框中給出留白問題：想一想，為什么用“平均距離”刻畫離散程度，用“總距離”行嗎？總距離與平均距離形成對(duì)比，旨在讓學(xué)生通過論證為什么“總距離”不行而對(duì)“用平均距離刻畫離散程度”的合理性有更深入的思考.

論證之白常在正文邊側(cè)以問題的形式引出，不打斷正文的邏輯主線. 論實(shí)類留白使學(xué)生關(guān)注到正文容易被忽視的知識(shí)細(xì)節(jié)；論偽類留白通過反向陳述促進(jìn)學(xué)生思考正文定義或問題解決的合理性. 論證之白可以推動(dòng)學(xué)生對(duì)細(xì)節(jié)的關(guān)注，將學(xué)生可能存在的疑惑或錯(cuò)誤顯性化，在說理論證的過程中加深學(xué)生對(duì)知識(shí)的理解，使學(xué)生養(yǎng)成嚴(yán)密的思考習(xí)慣.

三、陳述之白

陳述之白旨在讓學(xué)生闡述對(duì)某個(gè)或某幾個(gè)主題的理解或認(rèn)識(shí)，不指向問題解決，個(gè)性化較強(qiáng)，不同學(xué)生可能有不同的表述，常出現(xiàn)在知識(shí)學(xué)習(xí)之后. 例如，在“9.1.1 簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣”一節(jié)中，人教A版教科書給出抽簽法和隨機(jī)數(shù)法，在提示框中給出留白問題：比較隨機(jī)數(shù)法與抽簽法，它們各有什么優(yōu)點(diǎn)和缺點(diǎn)？又如，在“6.4.3.1 余弦定理”一節(jié)中，人教A版教科書給出了借助向量運(yùn)算推導(dǎo)余弦定理的過程，在提示框中給出留白問題：從這里的推導(dǎo)過程，你感受到向量運(yùn)算的力量了嗎？

陳述之白往往涉及不同主題之間的關(guān)聯(lián)，根據(jù)所陳述主題關(guān)系的不同分為橫向類留白和縱向類留白. 橫向類留白指促進(jìn)學(xué)生思考同一主題內(nèi)平行子主題的區(qū)別與聯(lián)系等. 例如，在“1.1 集合的概念”一節(jié)中，人教A版教科書在介紹完自然語言、列舉法、描述法后，在思考框中給出留白問題：舉例說明，用自然語言、列舉法和描述法表示集合時(shí)各自的特點(diǎn). 縱向類留白即讓學(xué)生闡述前后知識(shí)的關(guān)聯(lián). 例如，在“3.1.1 函數(shù)的概念”一節(jié)中，人教A版教科書在講述完函數(shù)的概念及例題后，在思考框中給出留白問題：至此，我們?cè)诔踔袑W(xué)習(xí)的基礎(chǔ)上，運(yùn)用集合語言和對(duì)應(yīng)關(guān)系刻畫了函數(shù)，并引進(jìn)了符號(hào)[y=fx]，明確了函數(shù)的構(gòu)成要素. 比較函數(shù)的這兩種定義，你對(duì)函數(shù)有什么新的認(rèn)識(shí)？引導(dǎo)學(xué)生聯(lián)系初中階段和高中階段所學(xué)的函數(shù)的定義，對(duì)比前后所學(xué)的知識(shí).

陳述之白注重學(xué)生對(duì)知識(shí)的個(gè)人理解及體會(huì)，常涉及不同知識(shí)或同一知識(shí)的前后比較，是一種跳出知識(shí)細(xì)節(jié)的審視，有助于促進(jìn)學(xué)生思考知識(shí)間的區(qū)別與聯(lián)系，包括橫向關(guān)聯(lián)和縱向關(guān)聯(lián)，在比較辨析中明晰不同知識(shí)的本質(zhì)，深化理解. 此外，陳述之白有助于鍛煉學(xué)生的表達(dá)能力，特別是數(shù)學(xué)語言與自然語言的融合.

四、應(yīng)用之白

應(yīng)用之白即引導(dǎo)學(xué)生使用剛學(xué)習(xí)的概念、方法、結(jié)論等解決問題，通常在新知學(xué)習(xí)之后. 例如，在“1.1 集合的概念”一節(jié)中，人教A版教科書給出了描述法的概念，在提示框中給出留白問題：你能用這樣的方法表示偶數(shù)集嗎？讓學(xué)生應(yīng)用剛學(xué)過的描述法表示偶數(shù)集. 又如，在“4.1.2 無理數(shù)指數(shù)冪及其運(yùn)算性質(zhì)”一節(jié)中，人教A版教科書給出探索[52]的值的過程，在思考框中給出留白問題：參照以上過程，你能再給出一個(gè)無理數(shù)指數(shù)冪，如[23]，說明它也是一個(gè)確定的實(shí)數(shù)嗎？要求學(xué)生應(yīng)用已有思路探索[23]的值.

應(yīng)用之白根據(jù)問題解決所用知識(shí)類型不同可分為知識(shí)應(yīng)用類留白和結(jié)論應(yīng)用類留白. 知識(shí)應(yīng)用類留白即引導(dǎo)學(xué)生應(yīng)用剛學(xué)過的數(shù)學(xué)知識(shí)或方法. 例如，在“1.2 集合間的基本關(guān)系”一節(jié)中，人教A版教科書講解完空集的概念后，在提示框中給出留白問題：你能舉出幾個(gè)空集的例子嗎？利用空集的概念舉例. 結(jié)論應(yīng)用類留白即引導(dǎo)學(xué)生將數(shù)學(xué)結(jié)論進(jìn)一步應(yīng)用到生活或其他學(xué)科中. 例如，在“9.2.3 總體集中趨勢(shì)的估計(jì)”一節(jié)中，例4給出借助100戶居民用戶的月均用水量估計(jì)全市居民用戶的月均用水量的平均數(shù)和中位數(shù)的解題過程，在提示框中給出留白問題：假設(shè)某個(gè)居民小區(qū)有2 000戶，你能估計(jì)該小區(qū)的月用水總量嗎？引導(dǎo)學(xué)生將例題結(jié)論進(jìn)一步應(yīng)用到實(shí)際問題的解決中.

應(yīng)用之白一般出現(xiàn)在概念、方法、結(jié)論后，旨在讓學(xué)生在剛接觸新知后解決簡(jiǎn)單問題，在應(yīng)用練習(xí)中進(jìn)一步理解概念、熟悉方法. 相對(duì)于課后練習(xí)，這些應(yīng)用難度較小，大多數(shù)是已有應(yīng)用的同類問題或簡(jiǎn)單變式. 數(shù)學(xué)結(jié)論在生活或其他學(xué)科中的應(yīng)用則是數(shù)學(xué)結(jié)論在非數(shù)學(xué)情境中的延伸，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)與生活及其他學(xué)科的密切關(guān)聯(lián).

五、發(fā)現(xiàn)之白

發(fā)現(xiàn)之白即引導(dǎo)學(xué)生觀察發(fā)現(xiàn)一些結(jié)構(gòu)的規(guī)律、特點(diǎn)或者引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)其他事實(shí). 例如，在“7.1.2 復(fù)數(shù)的幾何意義”一節(jié)中，人教A版教科書在復(fù)平面內(nèi)畫出了兩個(gè)特殊復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)和向量，并計(jì)算出了它們的模，在提示框中給出留白問題：點(diǎn)Z1，Z2有怎樣的關(guān)系？引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)Z1，Z2實(shí)部相同、虛部互為相反數(shù)的規(guī)律，從而引出共軛復(fù)數(shù)的概念及特點(diǎn). 又如，在“9.2.4 總體離散程度的估計(jì)”一節(jié)中，人教A版教科書給出了標(biāo)準(zhǔn)差的定義，但是并沒有指明標(biāo)準(zhǔn)差的取值范圍，在提示框中給出留白問題：標(biāo)準(zhǔn)差的取值范圍是什么？標(biāo)準(zhǔn)差為0的一組數(shù)據(jù)有什么特點(diǎn)？促使學(xué)生自主發(fā)現(xiàn)問題的結(jié)果.

發(fā)現(xiàn)之白根據(jù)補(bǔ)白內(nèi)容對(duì)上下文知識(shí)所起的作用不同分為鋪墊類留白和延伸類留白. 鋪墊類留白即發(fā)現(xiàn)的規(guī)律或事實(shí)被用在進(jìn)一步的知識(shí)講解或問題解決中，包括引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題的特點(diǎn)，以啟發(fā)問題解決思路. 例如，在“5.5.2 簡(jiǎn)單的三角恒等變換”一節(jié)中，例8要求證明[sinαcosβ=12sinα+β+sinα-β]，

[sinθ+sinφ=2sinθ+φ2cosθ-φ2]. 提示框中給出留白問題：這兩個(gè)式子的左右兩邊在結(jié)構(gòu)形式上有什么不同？引導(dǎo)學(xué)生觀察式子特點(diǎn)以選擇適當(dāng)?shù)墓浇鉀Q問題. 延伸類留白指引導(dǎo)學(xué)生在新知學(xué)習(xí)或問題解決的基礎(chǔ)上發(fā)現(xiàn)更多相關(guān)的事實(shí)結(jié)論或一般規(guī)律. 例如，在“7.2.2 復(fù)數(shù)的乘、除運(yùn)算”一節(jié)中，例4計(jì)算了兩個(gè)共軛復(fù)數(shù)的乘積[2+3i2-3i]的值，在提示框中給出留白問題：若z1，z2是共軛復(fù)數(shù)，則z1z2是一個(gè)怎樣的數(shù)？啟發(fā)學(xué)生基于具體問題解決發(fā)現(xiàn)共軛復(fù)數(shù)相乘所得結(jié)果為實(shí)數(shù)的一般規(guī)律.

發(fā)現(xiàn)之白引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)規(guī)律、特點(diǎn)及事實(shí)結(jié)論，新知講解或問題解決前的發(fā)現(xiàn)會(huì)成為進(jìn)一步學(xué)習(xí)討論的素材，對(duì)問題條件的特點(diǎn)洞察會(huì)啟發(fā)問題解決思路，新知講解或問題解決后的發(fā)現(xiàn)會(huì)拓展教科書上與知識(shí)點(diǎn)相關(guān)的結(jié)論或規(guī)律，得到一些值得關(guān)注的事實(shí).

六、分析比較

大部分留白以問題引出，難度適中，著眼于學(xué)生思維的最近發(fā)展區(qū)，不僅能激發(fā)學(xué)生的思考，啟發(fā)學(xué)生的思維，還可以引導(dǎo)學(xué)生參與到知識(shí)的建構(gòu)中來，給學(xué)生帶來學(xué)習(xí)的成就感.

各留白類型的主要信息如表1所示.

留白類型的內(nèi)涵確定不只考慮了知識(shí)和性質(zhì)，因?yàn)橹R(shí)和性質(zhì)往往存在重合. 例如，應(yīng)用方法解釋論證、應(yīng)用新知發(fā)現(xiàn)新知、應(yīng)用新知解釋論證等. 因此，留白分類也考慮了所留之白與教科書知識(shí)的關(guān)系，關(guān)注了留白對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的價(jià)值，使同一種類別的價(jià)值盡可能聚焦. 論證之白重在解釋論述已有說法或做法的緣由及合理性，通過論述使已有表述有理有據(jù)；應(yīng)用之白重在過程，通過應(yīng)用過程熟悉和鞏固新知；發(fā)現(xiàn)之白重在規(guī)律或事實(shí)，通過觀察分析，發(fā)現(xiàn)問題解決思路或值得關(guān)注的結(jié)論. 例如，“6.2.4 向量的數(shù)量積”一節(jié)在給出向量的數(shù)量積定義及數(shù)量積的交換律、分配律后，在思考框中給出留白問題：設(shè)[a，b，c]是向量，[a · bc=ab · c]一定成立嗎？為什么？該留白需要學(xué)生運(yùn)用數(shù)量積的定義發(fā)現(xiàn)向量積的結(jié)合律不成立，發(fā)現(xiàn)不成立的過程其實(shí)也是論證其為何不成立的過程. 但是由于論證之白是論述教科書已有說法及做法的緣由或合理性，因而這不屬于論證之白，雖然該留白需要學(xué)生應(yīng)用數(shù)量積的新知，但其側(cè)重點(diǎn)不在過程，而在于讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)結(jié)論——向量積的結(jié)合律不成立，因而歸為發(fā)現(xiàn)之白.

本文給出了一種教科書留白的分類方式，需要在實(shí)踐中進(jìn)一步檢驗(yàn)完善. 不同內(nèi)容模塊、不同版本教科書的留白有何特點(diǎn)？教師在實(shí)際教學(xué)中應(yīng)該如何應(yīng)用教科書留白？這些留白對(duì)學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)有什么價(jià)值？這些都是值得未來進(jìn)一步研究的議題.

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