摘? 要：針對(duì)學(xué)生對(duì)一道試題解答的運(yùn)算思路，分析了運(yùn)算煩瑣的原因在于提取的幾何對(duì)象和表征的代數(shù)結(jié)構(gòu)都喪失了對(duì)稱性，進(jìn)而從幾何直觀和代數(shù)推理兩個(gè)角度給出三種簡(jiǎn)潔的解答過程. 最后從理解數(shù)學(xué)運(yùn)算的本質(zhì)特征、培養(yǎng)解析幾何的思維方式、發(fā)揮對(duì)稱結(jié)構(gòu)的簡(jiǎn)化功能等方面反思了解析幾何的運(yùn)算教學(xué).

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)運(yùn)算；運(yùn)算思路；對(duì)稱關(guān)系

中圖分類號(hào)：G633.6? ? ?文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A? ? ?文章編號(hào)：1673-8284（2024）02-0043-05

引用格式：李昌. 提取對(duì)稱關(guān)系? 設(shè)計(jì)運(yùn)算思路：以一道圓錐曲線試題的解答為例［J］. 中國(guó)數(shù)學(xué)教育（高中版），2024（2）：43-47.

一、問題提出

二、運(yùn)算路徑分析

三、簡(jiǎn)潔的解答

以上分析表明，使運(yùn)算路徑簡(jiǎn)潔的關(guān)鍵在于選擇的幾何對(duì)象要能凸顯中點(diǎn)承載的對(duì)稱性，表達(dá)幾何對(duì)象的代數(shù)結(jié)構(gòu)要能延續(xù)中點(diǎn)的對(duì)稱性，即形與數(shù)要進(jìn)行深度結(jié)合.

1. 對(duì)稱的兩點(diǎn)同在雙曲線上

四、教后思考

在解析幾何教學(xué)中，只有深刻認(rèn)識(shí)到數(shù)學(xué)運(yùn)算的本質(zhì)特征，才不會(huì)將其異化為純粹的代數(shù)計(jì)算；也只有發(fā)現(xiàn)并充分利用代數(shù)結(jié)構(gòu)所表達(dá)的幾何圖形的對(duì)稱性，設(shè)計(jì)的運(yùn)算路徑才能更簡(jiǎn)潔.

1. 深刻理解解析幾何數(shù)學(xué)運(yùn)算的本質(zhì)特征

用代數(shù)方法解決幾何問題是解析幾何的核心思想. 代數(shù)方法主要指數(shù)學(xué)運(yùn)算，數(shù)學(xué)運(yùn)算本質(zhì)上是用演繹推理解決數(shù)學(xué)問題的思維方式. 解析幾何中的數(shù)學(xué)運(yùn)算是幾何背景下的運(yùn)算推理，其運(yùn)算對(duì)象雖然無異于純粹的數(shù)式，然而卻是一些幾何元素、幾何關(guān)系的代數(shù)表征；它遵循的運(yùn)算法則雖然無異于代數(shù)的加、減、乘、除，然而執(zhí)行哪種運(yùn)算卻不是機(jī)械和任意的，而是由幾何性質(zhì)及其相互間的關(guān)系來決定的；其運(yùn)算路徑不是程序化的，而受制于幾何量、幾何性質(zhì)或幾何關(guān)系的內(nèi)在邏輯；代數(shù)運(yùn)算的結(jié)果大多數(shù)情況下要與幾何量、幾何性質(zhì)的意義相符. 這表明了幾何背景具有導(dǎo)算、啟算和驗(yàn)算的功能，是代數(shù)運(yùn)算的骨架.

因此，解析幾何運(yùn)算教學(xué)的目標(biāo)設(shè)定，不能停留在習(xí)得算法知識(shí)和提升運(yùn)算技能的層面，而應(yīng)該上升到優(yōu)化運(yùn)算思維和提高運(yùn)算素養(yǎng)的水準(zhǔn). 解析幾何運(yùn)算教學(xué)的價(jià)值追求，不能停留在用代數(shù)方法研究幾何問題的感性層面，而應(yīng)該深化到豐富推理內(nèi)涵，推動(dòng)運(yùn)算發(fā)展的理性高度. 通過解析幾何，抽象的代數(shù)結(jié)構(gòu)有了直觀形象的模型，數(shù)形結(jié)合的思想方法融合了幾何思維的形象化和代數(shù)運(yùn)算的程序化，實(shí)現(xiàn)了邏輯推理與代數(shù)運(yùn)算的靈活轉(zhuǎn)換.

2. 破除模式化運(yùn)算培養(yǎng)解析幾何的思維方式

在圓錐曲線的問題解決中，一些學(xué)生常常把直線與圓錐曲線的位置關(guān)系作為解決問題的方向和路徑. 基于此的運(yùn)算思路具有模式化的特征：先按照解方程組的變形法消元化簡(jiǎn)，整理成一元二次方程，寫出根與系數(shù)的關(guān)系；再確定后續(xù)的運(yùn)算對(duì)象和運(yùn)算思路，如果代數(shù)結(jié)構(gòu)復(fù)雜或者找不到運(yùn)算思路就放棄解答. 長(zhǎng)此以往，學(xué)生容易形成思維定式和“解析幾何中的數(shù)學(xué)運(yùn)算不僅煩瑣而且路徑單一”的錯(cuò)誤認(rèn)識(shí).

通過教學(xué)培養(yǎng)和發(fā)展解析幾何的思維方式是破除模式化運(yùn)算的必由之路. 解析幾何的思維方式指的是，在解決問題時(shí)先用幾何眼光觀察，分析幾何圖形的要素及相關(guān)的幾何關(guān)系；再用代數(shù)語(yǔ)言表達(dá)，而且在代數(shù)運(yùn)算中時(shí)刻注意利用它們來簡(jiǎn)化運(yùn)算. 筆者認(rèn)為，這種思維方式在解決問題時(shí)具體體現(xiàn)為：首先，要厘清題目中的幾何關(guān)系，深刻理解問題本質(zhì)，適當(dāng)轉(zhuǎn)化、恰當(dāng)歸納；其次，要合理提取幾何對(duì)象并恰當(dāng)?shù)乇碚鳎幢碚鲙缀螌?duì)象的代數(shù)結(jié)構(gòu)既要準(zhǔn)確表達(dá)數(shù)學(xué)本質(zhì)又不能喪失特點(diǎn)；最后，圍繞幾何性質(zhì)和幾何關(guān)系設(shè)計(jì)合理簡(jiǎn)潔的運(yùn)算思路，求得與幾何意義相符的運(yùn)算結(jié)果. 學(xué)生運(yùn)用解析幾何的思維方式提取幾何對(duì)象、表征代數(shù)結(jié)構(gòu)、設(shè)計(jì)運(yùn)算思路的過程是實(shí)踐數(shù)形結(jié)合思想的過程，也是智慧拔節(jié)的生長(zhǎng)過程.

3. 充分發(fā)揮代數(shù)對(duì)稱結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)化運(yùn)算的功能

對(duì)稱性普遍存在于自然界和人類社會(huì)中. 數(shù)學(xué)中的諸多內(nèi)容都呈現(xiàn)出結(jié)構(gòu)對(duì)稱、性質(zhì)優(yōu)美的特征.“從一般意義上講，對(duì)稱對(duì)于我們的論題很重要……如果一道題目具有某方面的對(duì)稱性，我們常常能得益于注意到可以互換的部分，而且，常常值得我們用同樣的方式來處理那些起相同作用的部分.”數(shù)學(xué)教育家G.波利亞的這句話至少表明了對(duì)稱性可以使問題的解決事半功倍. 因此，在設(shè)計(jì)運(yùn)算思路時(shí)，應(yīng)該選取能體現(xiàn)對(duì)稱性的幾何對(duì)象作為運(yùn)算對(duì)象，表征運(yùn)算對(duì)象的代數(shù)式也要盡可能地保留結(jié)構(gòu)上的對(duì)稱性. 這才符合G.波利亞所教的“對(duì)稱的東西要盡量對(duì)稱地去處理，不要隨意破壞任何自然的對(duì)稱性”的解題原則.

對(duì)稱是體現(xiàn)數(shù)學(xué)美的主要方式，通過教學(xué)有意識(shí)地引導(dǎo)學(xué)生去感悟和體驗(yàn)對(duì)稱美，既可以培養(yǎng)學(xué)生的審美情趣，又能用對(duì)稱思想潛移默化地熏陶學(xué)生. 長(zhǎng)此以往，學(xué)生會(huì)用對(duì)稱的眼光觀察數(shù)學(xué)對(duì)象，用對(duì)稱的思想分析數(shù)學(xué)問題，這樣不僅有利于發(fā)現(xiàn)簡(jiǎn)潔的解答，也可以促使學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)的理解更加深刻、透徹.

參考文獻(xiàn)：

［1］中華人民共和國(guó)教育部. 普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020年修訂）［M］. 北京：人民教育出版社，2020.

［2］史寧中，王尚志.《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020年修訂）》解讀［M］. 北京：高等教育出版社，2020.

［3］張兵源. 數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)培養(yǎng)的探索與思考［J］. 數(shù)學(xué)通報(bào)，2023，62（2）：9-13.

［4］李昌. 選擇運(yùn)算對(duì)象? 突破運(yùn)算障礙：以一道圓錐曲線試題為例［J］. 中學(xué)教研（數(shù)學(xué)），2023（4）：16-19.

［5］章建躍. 數(shù)學(xué)的思維方式與核心素養(yǎng)（之五）［J］. 中小學(xué)數(shù)學(xué)（高中版），2018（12）：66.

［6］波利亞. 怎樣解題：數(shù)學(xué)思維的新方法［M］. 涂泓，馮承天，譯. 上海：上?？萍汲霭嫔纾?002.