摘? 要：從一道高考試題的品讀開始，基于教考一致，較系統(tǒng)地梳理高考試題賞析的基本內(nèi)涵，從中獲得教學(xué)啟示并提出教學(xué)建議. 助力教師轉(zhuǎn)變教學(xué)觀念和教學(xué)方式，完善課堂教學(xué)實施并提質(zhì)增效，促進有效教學(xué)和學(xué)科育人.

關(guān)鍵詞：高考試題品讀；教學(xué)啟示；教考一致；學(xué)科育人

中圖分類號：G633.6? ? ? 文獻標(biāo)識碼：A? ? ?文章編號：1673-8284（2024）02-0060-05

引用格式：吳光潮. 一道高考試題的品讀及教學(xué)啟示：2022年高考數(shù)學(xué)新課標(biāo)Ⅰ卷第14題評析［J］. 中國數(shù)學(xué)教育（高中版），2024（2）：60-64.

隨著新課程、新教材、新高考的深入推進，“一核、四層、四翼”的高考評價理念已經(jīng)被一線教師廣為熟悉，但是在實踐層面深化課堂教學(xué)內(nèi)涵、落實課程改革理念仍有許多值得厘清和研究的問題. 例如，核心價值、學(xué)科素養(yǎng)、關(guān)鍵能力和必備知識的具體內(nèi)涵是什么？新高考試題是怎樣考查的？教師在日常教學(xué)中應(yīng)該如何依標(biāo)施教，教考銜接，有效落實高考命題的基本理念？本文以2022年高考數(shù)學(xué)新課標(biāo)Ⅰ卷第14題為例，梳理高考試題賞析的基本內(nèi)涵，從中獲得教學(xué)啟示，并提出教學(xué)建議.

一、對基于高考評價體系的試題評析的認識

1. 高考試題評析維度

（1）“一核、四層、四翼”在宏觀層面的素質(zhì)教育內(nèi)涵.

《中國高考評價體系》（以下簡稱《體系》）中明確了高考的核心功能、考查內(nèi)容和考查要求，以及“一核、四層、四翼”的概念及其在素質(zhì)教育發(fā)展中的內(nèi)涵. 同時，創(chuàng)造性地提出了高考命題理念從“知識立意、能力立意”向“價值引領(lǐng)、素養(yǎng)導(dǎo)向、能力為重、知識為基”轉(zhuǎn)變的理論基礎(chǔ)與方法論基礎(chǔ). 因此，基于高考評價體系的數(shù)學(xué)試題評析，宏觀上要把握基本內(nèi)涵要求：“一核”（核心功能），立德樹人、服務(wù)選才、引導(dǎo)教學(xué)；“四層”（考查內(nèi)容），核心價值、學(xué)科素養(yǎng)、關(guān)鍵能力、必備知識；“四翼”（考查要求），基礎(chǔ)性、綜合性、應(yīng)用性、創(chuàng)新性；“情境”（考查載體），問題情境.

（2）“一核、四層、四翼”在微觀層面的學(xué)科表征內(nèi)涵.

《體系》對相關(guān)概念給出了一級指標(biāo)和二級指標(biāo)的具體描述. 例如，“核心價值”共有3個一級指標(biāo)和10個二級指標(biāo)，“學(xué)科素養(yǎng)”共有3個一級指標(biāo)和9個二級指標(biāo)，等等. 學(xué)科素養(yǎng)對核心價值予以重點體現(xiàn)，而關(guān)鍵能力和必備知識的應(yīng)用，也強調(diào)在正確價值觀的指導(dǎo)下進行. 根據(jù)學(xué)科特點，需要在微觀上厘清“一核、四層、四翼”的學(xué)科表征內(nèi)涵，明確與學(xué)科相適應(yīng)的相關(guān)要求的具體內(nèi)容，確保將其落實到學(xué)科考試與教學(xué)中. 鑒于此，筆者聚焦數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)、數(shù)學(xué)能力、思想方法、必備知識、問題情境等數(shù)學(xué)高考試題的主要考查維度及其基本內(nèi)涵進行簡要梳理，如表1、表2和表3所示，基于SOLO分類理論與“四翼”進行內(nèi)涵分析，如表4所示.

增強基礎(chǔ)性的高考命題要求，主要指加強考查學(xué)生基本概念、基本原理、基本思想方法等必備知識和關(guān)鍵能力；增強綜合性的高考命題要求，主要指體現(xiàn)考查學(xué)生綜合運用學(xué)科知識、思維方法，多角度地觀察、思考，發(fā)現(xiàn)、分析和解決問題的能力等綜合素質(zhì)和學(xué)科素養(yǎng)（其中，推理論證能力和抽象概括能力貫穿全卷，重點考查）；加強應(yīng)用性的高考命題要求，主要指注重理論密切聯(lián)系實際，考查學(xué)生運用所學(xué)知識解決實際問題的能力，注重將學(xué)科內(nèi)容與國家經(jīng)濟社會發(fā)展、科學(xué)進步、生產(chǎn)生活實際等緊密聯(lián)系起來設(shè)置新穎的問題情境，引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注社會進步和科學(xué)發(fā)展；增強探究性和開放性的高考命題要求，主要指考查學(xué)生運用批判性和創(chuàng)新性思維方法的獨立思考能力、基于情境的探究性和設(shè)問的開放性從多角度思考而發(fā)展個性，增強創(chuàng)新意識.

2. 高考試題賞析案例

題目 （2022年高考數(shù)學(xué)新課標(biāo)Ⅰ卷·14）寫出與圓[x2+y2=1]和[x-32+y-42=16]都相切的一條直線的方程__________.

基于上述梳理，對該題進行以下幾點賞析解讀.

（1）解題思路效能多元，為不同水平的學(xué)生提供展示平臺，服務(wù)選拔和“雙減”.

試題以兩個已知圓為背景，通過圓的方程可以知道兩個圓的基本信息及兩個圓的位置關(guān)系，將符號語言轉(zhuǎn)化為圖形語言，可以直觀判斷兩個圓的公切線有3條，包括外公切線[m]，[n]和內(nèi)公切線[l]，如圖1所示.

然而，求各條切線方程的問題解決難度和效益各異.

方案1：求外公切線[n]. 幾何直觀法快捷作答（直接觀察得到方程[x=-1]）.

方案2：求內(nèi)公切線[l]. 二級結(jié)論法快捷作答（兩圓的一般方程直接相減，消掉二次項，化簡即可）.

方案3：通性通法（待定系數(shù)法）求三條公切線中的某一條. 在分秒必爭的高考答題期間耗時較多. 以求外公切線方程為例，需要利用向量（或定比分點）先求出兩個圓心連線與切線的交點坐標(biāo)（如點[B]），由[BO=RORCBC=14BC]，求出點[B-1，-43]，從而設(shè)外公切線方程為[x+1=ky+43]，再利用相切（點到直線的距離等于半徑）即可求得k，從而得外公切線[m]，[n]的方程. 同理，可以求出點[A]的坐標(biāo)及內(nèi)公切線[l]的方程.

該題的解法以通性通法為基礎(chǔ)，一題多解，為不同能力水平的學(xué)生提供了打破常規(guī)進行獨立思考和判斷、提出不同問題解決方案的展示空間，提高了學(xué)生學(xué)習(xí)效能的獲得感，有利于服務(wù)“雙減”. 該題不同解法效能各異，對不同思維水平的學(xué)生進行了有效區(qū)分.

（2）考查載體簡單友好，具有開放性和探究性，助力教學(xué).

試題呈現(xiàn)方式友好：語言（符號）簡約、數(shù)字簡單，屬于純數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)探索情境. 該題的結(jié)果具有很好的開放性，一題多解，難度各異. 通過簡單的情境活動，即啟動單一的認知活動（數(shù)形結(jié)合基本思想、兩圓的內(nèi)公切線的二級結(jié)論求解等單一知識點和基本能力）或者較復(fù)雜的認知活動（通性通法、待定系數(shù)法），均可以促使學(xué)生較順利地完成考查目標(biāo). 試題可以繼續(xù)挖掘、探究兩圓處于其他位置關(guān)系時（內(nèi)切、相離）求解公切線方程的通性通法，具有較好的引導(dǎo)教學(xué)的發(fā)展性功能.

（3）考查內(nèi)容內(nèi)涵豐富，體現(xiàn)試題形簡而神不簡，啟迪命題和測評.

必備知識層面，試題考查了高中數(shù)學(xué)主干知識解析幾何中的圓與圓、直線和圓的位置關(guān)系等基本概念及基本性質(zhì)；思想方法層面，試題重點考查了函數(shù)與方程思想、數(shù)形結(jié)合思想；學(xué)科能力層面，試題重點考查了學(xué)生的邏輯推理能力、運算求解能力和綜合運用知識解決問題的能力，同時充分體現(xiàn)了對閱讀理解、信息整理、批判性思維等關(guān)鍵能力的考查；核心素養(yǎng)層面，較好地考查了學(xué)生的數(shù)學(xué)運算、直觀想象、邏輯推理等素養(yǎng). 試題充分體現(xiàn)了簡單試題也能有豐富的內(nèi)涵、功能，為“偏、難、怪”試題提供了命題“糾偏”和測評的思路.

（4）考查要求科學(xué)全面，體現(xiàn)基礎(chǔ)性、綜合性和創(chuàng)新性，明確高考導(dǎo)向和考查方法.

若學(xué)生選擇方案1和方案2，問題的解決測評出的是學(xué)生基礎(chǔ)的知識和能力水平，考查試題具有的基礎(chǔ)性；若學(xué)生選擇方案3，則需要綜合運用平面幾何、解析幾何和向量等知識，計算會相對復(fù)雜，突出考查學(xué)生的直觀想象素養(yǎng)、數(shù)學(xué)運算素養(yǎng)和邏輯推理能力，體現(xiàn)了試題的綜合性. 試題背景來源于教材，為學(xué)生較好地設(shè)計和提供了多樣的思考角度、解題路徑和方法，全面系統(tǒng)地考查了學(xué)生對核心概念、基本原理和基本方法的掌握程度，從而體現(xiàn)出學(xué)生思維的靈活性；試題基于對基礎(chǔ)知識的考查命制，但又打破了固有的命題思路（基礎(chǔ)知識單一考、封閉考），充分體現(xiàn)了試題的創(chuàng)新性. 試題在強化和深化基礎(chǔ)性的同時，注重不同知識內(nèi)容之間的內(nèi)在聯(lián)系，要求學(xué)生多角度和開放式地思考問題，這種導(dǎo)向和考查方法體現(xiàn)了新高考的鮮明特征.

（5）滲透關(guān)鍵能力考查，體現(xiàn)問題解決的方式方法，凸顯能力和素養(yǎng).

高考數(shù)學(xué)試題對關(guān)鍵能力的考查貫穿解決問題的全過程. 對于該題，在接觸問題之初，閱讀理解能力起關(guān)鍵作用——學(xué)生需要有圓與圓、直線和圓的位置關(guān)系的數(shù)學(xué)知識背景做基礎(chǔ)和依托，理解題干中圓的標(biāo)準方程這個符號語言的數(shù)學(xué)含義（明確兩圓的半徑、圓心及其相關(guān)關(guān)系），并轉(zhuǎn)化為兩圓相外切的圖形語言（畫出幾何圖形——該題是高考無圖考圖的范例）. 在求解過程中，信息整理能力發(fā)揮關(guān)鍵作用——學(xué)生對兩圓的位置關(guān)系的幾何圖形進行加工、整理，進一步抽象其中包含的內(nèi)、外公切線與圓心連線的交點[A]，[B]，以及對應(yīng)“定比”等解題的關(guān)鍵信息，為基于對圖形的加工選擇解題方案并順利解決問題奠定基礎(chǔ)；批判性思維能力發(fā)揮主要作用——運用已有知識經(jīng)驗對3種解題方案或某一種解題方案進行審慎思考、分析比較、評價重構(gòu)、推理論證等，這是學(xué)生解決問題的重要能力，也是學(xué)生終身發(fā)展所需要的素養(yǎng)．

二、基于教考一致性的教學(xué)啟示及建議

1. 強化試題研究，明確高考考查內(nèi)涵要求，指導(dǎo)教學(xué)實踐

從對該題的分析可知，高考試題對“一核、四層、四翼”的貫徹是深刻和一以貫之的，不僅體現(xiàn)在高考命題理念內(nèi)涵的全面覆蓋上，還體現(xiàn)在對中、低檔試題解決過程的深入滲透中：創(chuàng)新命題形式，引導(dǎo)教學(xué)注重培養(yǎng)學(xué)生的核心素養(yǎng)和關(guān)鍵能力，增強試題的開放性，鼓勵學(xué)生運用創(chuàng)造性、發(fā)散性思維分析問題和解決問題，引導(dǎo)教學(xué)注重培育學(xué)生的創(chuàng)新精神. 因此，高考備考需要抓高考試題考查的“關(guān)鍵詞”：學(xué)科素養(yǎng)、主干知識、結(jié)構(gòu)化（聯(lián)系性）、思想方法、關(guān)鍵能力、開放性、探究性、創(chuàng)新性……不僅要思考高考考查的內(nèi)涵，還要將內(nèi)涵明確于心，對標(biāo)試題設(shè)計教學(xué)實踐活動.

2. 優(yōu)化教學(xué)策略，開展問題解決探究活動，培養(yǎng)學(xué)科能力

該題包含三種問題解決方案，如何選擇直接影響該題的答題效益，乃至整卷的答題效益. 這里不僅有必備知識的基礎(chǔ)性作用，更有靈活運用知識、融會貫通的關(guān)鍵能力的強力支撐. 高考試題“反機械刷題”，強調(diào)“融會貫通、學(xué)以致用”，因為前者刷的是“惰性知識”，不能解決問題，后者能夠靈活運用“活性知識”，可以解決問題. 要適應(yīng)高考，變“惰性知識”為“活性知識”，必須強化從“解題”轉(zhuǎn)變?yōu)椤敖鉀Q問題”，培養(yǎng)學(xué)科能力、關(guān)鍵能力. 優(yōu)化教學(xué)策略，開展問題解決探究活動是培養(yǎng)學(xué)科能力的有效途徑. 高三后期的備考，可以基于高考試題針對性地設(shè)計微專題教學(xué)活動，主要從思想方法、解題活動經(jīng)驗、思維訓(xùn)練等層面做到聚焦和統(tǒng)一，圍繞一個開放情境進行一“境”到底的學(xué)習(xí)探究，圍繞一個典型問題進行一題多解或一題多變的教學(xué)實施，圍繞一條主線進行一線串通的教學(xué)組織，等等. 學(xué)習(xí)活動實施流程如圖2所示.

3. 深化解題探討，增強探索數(shù)學(xué)問題的能力，服務(wù)學(xué)生發(fā)展

由該題可以窺見高考試題對“價值引領(lǐng)、素養(yǎng)導(dǎo)向、能力為重、知識為基”導(dǎo)向的深化.“一核、四層、四翼”既是國家深化新時代高考內(nèi)容改革的硬性要求，也是一線教師教學(xué)的理論支撐和實踐指南. 教師需要深化命題和解題探討，聚焦素養(yǎng)、突出主線、精選內(nèi)容、把握數(shù)學(xué)本質(zhì)、啟發(fā)思考，提升探索數(shù)學(xué)問題的能力，服務(wù)教學(xué)和學(xué)生發(fā)展. 例如，基于該題在復(fù)習(xí)備考中的變式實踐，可以命制如下變式題.

變式1：寫出一條與圓[x+12+y-12=1]和[x-32+]

[y-42=36]都相切的直線的方程.

由題意知兩圓內(nèi)切（外公切線即為所求）. 將原題外切變?yōu)閮?nèi)切，原方案2、方案3仍然可用，開放性降低，思維難度有所提升.

變式2：寫出與圓[x2+y2=1]和[x-32+y-42=16]都相切的所有直線的方程.

變式2實際上是要求出原題圖1中的三條切線，變結(jié)論開放為全封閉，提高了思維難度.

變式3：直線[l]上的每個點到圓[x2+y2=49]和[x-52+y-122=400]的切線長都相等，寫出一條滿足條件的直線[l]的方程.

由題意知兩圓內(nèi)切. 實際上，外公切線上的任意一點到兩圓的切線長都等于該點到兩圓的公共切點的距離，所以該題只需要求出外公切線的方程即可. 該題考查了轉(zhuǎn)化與化歸思想，對學(xué)生思維品質(zhì)的要求有所提升.

變式4：若三個點[M]，[N]，[P]中，每個點到圓[x2+y2=16]和[x-32+y-42=1]的切線長都相等，則[M]，[N]，[P]的坐標(biāo)可以分別是____________.

由題意知兩圓外切. 實際上，該題只需要求出內(nèi)公切線直線的方程，然后取其任意三點即可——因該題涉及符合條件的公切線的選擇，故思維難度相對于變式3進一步提升.

上述命題變式，可以使學(xué)生從多角度深化對問題本質(zhì)的認識，提高解決問題的能力——將平面幾何知識轉(zhuǎn)化與化歸為解析幾何知識（判斷圓的位置關(guān)系，求公切線方程）.

綜上所述，認真做好命題和解題探討，從中發(fā)現(xiàn)問題的本質(zhì)、總結(jié)解題規(guī)律，是提高解決問題能力的重要途徑. 解題探討可以圍繞一題多解、方法思路的適用性、特殊性推論與一般性推廣、條件與結(jié)論的變化關(guān)系、逆命題探究、命題應(yīng)用等方面進行（不限于此，也非每題均需如此多方面探討）. 基于此開展教學(xué)，可以靈活思路、開闊視野，培養(yǎng)學(xué)生綜合運用知識的能力，尋求知識間的內(nèi)在聯(lián)系，獲取結(jié)構(gòu)化的知識；通過問題的解決，不僅有助于培養(yǎng)學(xué)生一般的推理能力，而且有助于培養(yǎng)學(xué)生探索數(shù)學(xué)問題的能力，以及發(fā)散思維和創(chuàng)新思維.

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準（2017年版2020年修訂）》強調(diào)：優(yōu)化課程結(jié)構(gòu)，為學(xué)生發(fā)展提供共同基礎(chǔ)和多樣化選擇；突出數(shù)學(xué)主線，凸顯數(shù)學(xué)的內(nèi)在邏輯和思想方法；精選課程內(nèi)容，處理好數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)與知識技能之間的關(guān)系，提升學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)解決實際問題的能力，同時注重數(shù)學(xué)文化的滲透. 教師立足于高考試題的研究，確立核心素養(yǎng)導(dǎo)向的課程目標(biāo)，設(shè)計體現(xiàn)結(jié)構(gòu)化特征的課程內(nèi)容，實施促進學(xué)生發(fā)展的教學(xué)活動，可以有效促進“教考一致”，推進課程改革理念在課堂教學(xué)中有效落地.

參考文獻：

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