摘? 要：圓錐曲線是高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的重要內(nèi)容之一，是考查學(xué)生數(shù)學(xué)運算素養(yǎng)的重要載體. 基于2023年高考數(shù)學(xué)新課標Ⅱ卷第21題所蘊含的數(shù)學(xué)內(nèi)容結(jié)構(gòu)和數(shù)學(xué)認知結(jié)構(gòu)探究解決問題的一般思路與方法，構(gòu)建解決問題的數(shù)學(xué)方法結(jié)構(gòu). 優(yōu)化解題運算過程，發(fā)展數(shù)學(xué)運算素養(yǎng).

關(guān)鍵詞：教學(xué)過程；構(gòu)建結(jié)構(gòu)；數(shù)學(xué)運算；核心素養(yǎng)

中圖分類號：G633.6? ? ?文獻標識碼：A? ? ?文章編號：1673-8284（2024）02-0054-06

引用格式：劉守文. 關(guān)注結(jié)構(gòu)·優(yōu)化運算·發(fā)展素養(yǎng)：2023年高考數(shù)學(xué)新課標Ⅱ卷第21題解法探究及思考［J］. 中國數(shù)學(xué)教育（高中版），2024（2）：54-59.

《普通高中數(shù)學(xué)課程標準（2017年版2020年修訂）》（以下簡稱《標準》）指出，平面解析幾何的研究對象是幾何圖形，所用的研究方法主要是代數(shù)方法. 平面解析幾何的基本特征是以坐標系為研究工具，通過數(shù)學(xué)運算來研究幾何圖形的位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系.

本文基于2023年高考解析幾何試題中蘊含的數(shù)學(xué)內(nèi)容結(jié)構(gòu)和數(shù)學(xué)認知結(jié)構(gòu)，遵循用坐標法研究幾何圖形的位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系這一基本思路和方法，從不同視角探究試題的解法，優(yōu)化數(shù)學(xué)運算，構(gòu)建解決解析幾何問題的一般數(shù)學(xué)方法結(jié)構(gòu)，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)運算素養(yǎng).

一、試題呈現(xiàn)

二、試題分析

三、試題推廣

四、基于結(jié)構(gòu)化視域的圓錐曲線復(fù)習(xí)備考建議

《標準》明確指出，重視以學(xué)科大概念為核心，使課程內(nèi)容結(jié)構(gòu)化，促進學(xué)科核心素養(yǎng)的落實. 喻平教授指出，數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的成分難以在單個知識點上表現(xiàn)出來，它往往隱藏在知識體系、知識結(jié)構(gòu)之中. 可見，單元教學(xué)是發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的路徑之一，教學(xué)內(nèi)容結(jié)構(gòu)化是實施單元教學(xué)的有效策略.

1. 整合單元內(nèi)容，優(yōu)化數(shù)學(xué)內(nèi)容結(jié)構(gòu)

數(shù)學(xué)運算是研究平面解析幾何的核心素養(yǎng)主線，貫穿于點、直線、圓錐曲線等數(shù)學(xué)知識學(xué)習(xí)的全過程，是聯(lián)系平面解析幾何知識內(nèi)容的紐帶. 新授課受新知發(fā)展邏輯順序的約束，而復(fù)習(xí)內(nèi)容不同于新授課，可以站在單元整體的高度，優(yōu)化原有的內(nèi)容結(jié)構(gòu)，整合單元內(nèi)容資源，突出數(shù)學(xué)內(nèi)容本質(zhì)，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)運算素養(yǎng). 例如，對該試題數(shù)學(xué)內(nèi)容結(jié)構(gòu)的構(gòu)建，突出了平面解析幾何的數(shù)學(xué)內(nèi)容本質(zhì)——利用幾何圖形建立直觀、通過代數(shù)運算刻畫規(guī)律. 平面解析幾何首先是幾何問題，離不開點、直線、曲線這些幾何直觀圖形；平面解析幾何還是代數(shù)問題，是通過點的坐標、直線、曲線的方程的聯(lián)立來解決幾何圖形的位置和度量問題. 數(shù)與形貫穿于整個平面解析幾何知識內(nèi)容之中，幾何問題與代數(shù)表征構(gòu)成了平面解析幾何不可或缺的內(nèi)容結(jié)構(gòu).

2. 立足認知結(jié)構(gòu)，構(gòu)建數(shù)學(xué)方法結(jié)構(gòu)

學(xué)生通過對問題內(nèi)容結(jié)構(gòu)的構(gòu)建，將其內(nèi)化為數(shù)學(xué)認知結(jié)構(gòu)，在大腦中檢索解決類似問題的一般經(jīng)驗與方法，并通過數(shù)學(xué)運算完成驗證. 該題幾種解法的算式結(jié)構(gòu)的變化是在認知結(jié)構(gòu)的調(diào)節(jié)、監(jiān)控與指引下實現(xiàn)的，學(xué)生在運算過程中不斷反思、探索優(yōu)化運算的路徑，步步遞進、層層承接. 運算是數(shù)學(xué)的“童子功”，要重視運算的通性通法. 例如，思路1的直接求解運算，雖然計算過程煩瑣，但是思路自然、算理簡樸、實用性強，能夠揭示數(shù)學(xué)內(nèi)容的本質(zhì). 無獨有偶，聯(lián)系人教A版新、舊兩版教材對平面解析幾何“點到直線的距離公式”內(nèi)容中點到直線的距離公式的推導(dǎo)過程的處理差異，《普通高中課程標準實驗教科書·數(shù)學(xué)》（2004年）給出了用兩點間距離公式推導(dǎo)點到直線的距離的探究思路，隨后指出“上述方法思路自然，但運算較繁”，轉(zhuǎn)到用“面積法”推導(dǎo)公式. 《普通高中教科書·數(shù)學(xué)》（2019年）沒有回避“運算較繁”這個問題，引導(dǎo)學(xué)生參與這個問題的計算過程，重視對學(xué)生數(shù)學(xué)運算能力的培養(yǎng)，再進一步引導(dǎo)學(xué)生思考引起運算量大的原因，啟發(fā)學(xué)生嘗試優(yōu)化運算方法. 從單元教學(xué)的視角來看，數(shù)學(xué)運算素養(yǎng)的發(fā)展不是一蹴而就的，而是落實在新授課、復(fù)習(xí)課等各種課型的教學(xué)實踐中逐步發(fā)展的，其發(fā)展具有連續(xù)性和階段性. 對于圓錐曲線的復(fù)習(xí)課，每節(jié)課的數(shù)學(xué)內(nèi)容不盡相同，但問題本身蘊含的思想方法、問題解決的一般方法卻有相似之處. 因此，立足數(shù)學(xué)認知結(jié)構(gòu)，構(gòu)建數(shù)學(xué)方法結(jié)構(gòu)可以幫助學(xué)生跳出“知識千面”與“題目百變”的囹圄，站在數(shù)學(xué)思想方法的高度梳理知識、審視問題，能夠更好地透過“問題現(xiàn)象”直達“知識本質(zhì)”.

3. 整體把握結(jié)構(gòu)，重構(gòu)數(shù)學(xué)單元結(jié)構(gòu)

數(shù)學(xué)內(nèi)容結(jié)構(gòu)、數(shù)學(xué)認知結(jié)構(gòu)和數(shù)學(xué)方法結(jié)構(gòu)不是獨立存在的，而是相互關(guān)聯(lián)、相互依存的. 學(xué)生將數(shù)學(xué)內(nèi)容結(jié)構(gòu)內(nèi)化為數(shù)學(xué)認知結(jié)構(gòu)，經(jīng)過理解、整合，數(shù)學(xué)認知結(jié)構(gòu)反向充實數(shù)學(xué)內(nèi)容結(jié)構(gòu). 同時，由數(shù)學(xué)認知結(jié)構(gòu)構(gòu)建數(shù)學(xué)方法結(jié)構(gòu)，通過對數(shù)學(xué)方法的歸納與推廣，不斷充實數(shù)學(xué)認知結(jié)構(gòu)和數(shù)學(xué)內(nèi)容結(jié)構(gòu)，從而形成內(nèi)容更豐富、認知更嚴密、方法層次更高的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu). 在這個良性循環(huán)重構(gòu)的過程中獲取“四基”、培養(yǎng)“四能”、發(fā)展數(shù)學(xué)核心素養(yǎng). 其與“四基”、“四能”、數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的關(guān)系如圖6所示.

[數(shù)學(xué)內(nèi)容結(jié)構(gòu)][數(shù)學(xué)認知結(jié)構(gòu)][數(shù)學(xué)方法結(jié)構(gòu)] [內(nèi)化] [構(gòu)建] [充實][充實][充實][歸納、推廣] [獲取“四基”] [培養(yǎng)“四能”] [發(fā)展數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)][圖6]

數(shù)學(xué)教科書是以基本單元內(nèi)容為結(jié)構(gòu)來編排的，單元內(nèi)容結(jié)構(gòu)是數(shù)學(xué)內(nèi)容結(jié)構(gòu)最重要的來源之一. 由于學(xué)生對教科書單元編排內(nèi)容理解的深刻性存在差異，導(dǎo)致數(shù)學(xué)認知結(jié)構(gòu)有差異，從而影響解決問題的數(shù)學(xué)方法的選取. 例如，該題思路2的解法4，借助教科書例題和探究內(nèi)容的啟發(fā)，挖掘、梳理教科書不同問題內(nèi)容的相同解法結(jié)構(gòu). 受知識發(fā)生發(fā)展的邏輯順序的制約，教科書無法將“3.1 橢圓”的例3和“3.2 雙曲線”的探究內(nèi)容放在一起探究，此處需要充分調(diào)動學(xué)生的認知思維，在單元視角下重構(gòu)單元數(shù)學(xué)內(nèi)容結(jié)構(gòu)、單元認知結(jié)構(gòu)和單元方法結(jié)構(gòu).

五、結(jié)語

卜以樓老師從結(jié)構(gòu)化視角將復(fù)習(xí)課講解歸納為三個層次：從有到有（對學(xué)過的知識進行結(jié)構(gòu)梳理），從有到更有（對學(xué)過的知識進行創(chuàng)造性結(jié)構(gòu)梳理），從無到有（讓復(fù)習(xí)課成為新授課）. 筆者的理解是，從有到有體現(xiàn)了對原有數(shù)學(xué)內(nèi)容結(jié)構(gòu)進行固化、應(yīng)用與梳理；從有到更有是對原有數(shù)學(xué)內(nèi)容結(jié)構(gòu)加入了認知成分，優(yōu)化了原有的數(shù)學(xué)認知結(jié)構(gòu)；從無到有打破了原有的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)，重新構(gòu)建了更高層次的數(shù)學(xué)方法結(jié)構(gòu). 構(gòu)建是基于基層構(gòu)架邏輯的破與立，是對數(shù)學(xué)“四基”的原創(chuàng)性整合，是培養(yǎng)數(shù)學(xué)“四能”的重要手段，是數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)得以發(fā)展的載體.

參考文獻：

［1］李昌官. 試論數(shù)學(xué)教學(xué)的結(jié)構(gòu)性原則［J］. 課程·教材·教法，2002（5）：35-37.

［2］中華人民共和國教育部. 普通高中數(shù)學(xué)課程標準（2017年版2020年修訂）［M］. 北京：人民教育出版社，2020.

［3］喻平. 數(shù)學(xué)單元結(jié)構(gòu)教學(xué)的四種模式［J］. 數(shù)學(xué)通報，2020，59（5）：1-8，15.

［4］章建躍. 利用幾何圖形建立直觀? 通過代數(shù)運算刻畫規(guī)律：解析幾何內(nèi)容分析與教學(xué)思考（之一）［J］. 數(shù)學(xué)通報，2021，60（7）：7-14.