摘? 要：初高中過渡問題向來是中學數(shù)學教學中一個重要的研究主題. 以課程標準的設(shè)計理念為指導，以人教B版《普通高中教科書·數(shù)學》中“預備知識”的編寫為背景，針對教師在初高中過渡的數(shù)學教學實踐中對教科書使用的一些疑惑提出具體建議. 初高中銜接，不能以補充知識為主要任務(wù)，高中數(shù)學學習的銜接任務(wù)應(yīng)該包含知識技能、學習習慣、學習心理等方面，建議教師能從高中課程整體出發(fā)把握銜接課程教學內(nèi)容，重視培養(yǎng)學生的數(shù)學思維能力，深化學科理解，拓寬學科視野.

關(guān)鍵詞：高中數(shù)學；銜接課程；教科書使用

中圖分類號：G634? ? ?文獻標識碼：A? ? ?文章編號：1673-8284（2024）02-0004-05

引用格式：姜航. 初高中數(shù)學學習的順利過渡：基于教科書使用的視角［J］. 中國數(shù)學教育（高中版），2024（2）：4-8.

初中數(shù)學與高中數(shù)學在課程結(jié)構(gòu)、教學內(nèi)容和考試評價等方面存在差異，使一些學生在高中起始階段出現(xiàn)了畏難情緒和不適應(yīng)高中數(shù)學學習的情況，這也是在很長一段時間內(nèi)困擾高中數(shù)學教師的一個問題.《普通高中數(shù)學課程標準（2017年版）》（以下簡稱《標準》）在必修課程中設(shè)置了“預備知識”主題，明確了“以義務(wù)教育階段數(shù)學課程內(nèi)容為載體，結(jié)合集合、常用邏輯用語、相等關(guān)系與不等關(guān)系、從函數(shù)觀點看一元二次方程和一元二次不等式等內(nèi)容的學習，為高中數(shù)學課程做好學習心理、學習方式和知識技能等方面的準備，幫助學生完成初高中數(shù)學學習的過渡”的要求. 人教B版《普通高中教科書·數(shù)學》（以下統(tǒng)稱“人教B版教科書”）在研究與編寫的過程中，充分落實《標準》要求，并結(jié)合一線教學的需求，對“預備知識”主題中的內(nèi)容編排進行了創(chuàng)新性的探索與嘗試，旨在高中數(shù)學學習初始階段，為學生打好高中數(shù)學學習的心理、知識、習慣和方法基礎(chǔ).

本文以教科書編寫過程中思考和討論的重點問題為背景，圍繞“等式與不等式”“用函數(shù)理解方程和不等式”兩部分內(nèi)容，結(jié)合筆者對一線教師調(diào)研中發(fā)現(xiàn)的問題，力求幫助教師在把握教科書編寫意圖的基礎(chǔ)上，開展以核心素養(yǎng)為導向的高中數(shù)學課堂教學.

一、初高中數(shù)學銜接的基本任務(wù)

1. 知識技能方面

學段之間的銜接歷來是課程建設(shè)的一個關(guān)注點，數(shù)學學科亟待解決的問題是有一些知識初中不講或選講，而高中教師默認學生會，如立方和（差）公式、含參方程（不等式）等. 還有一些知識在初中階段對學生要求比較低. 例如，對于解方程組，初中只要求學生掌握解二元一次方程組，而高中則要求學生熟練求解二元二次方程組和三元一次方程組. 又如，初中對因式分解、配方法、十字相乘法等要求偏低，而這恰好是高中解決代數(shù)問題過程中重要的恒等變形. 同時，九年級下學期的教學基本都是圍繞初中學業(yè)水平考試（以下統(tǒng)稱“中考”）進行的，使得學生對高中進一步學習數(shù)學需要的知識技能掌握得不扎實. 例如，高中階段要求學生能對二次函數(shù)的一般形式進行熟練配方，進而研究對稱軸、頂點和最值問題. 而一些初中教師在教學中更傾向于讓學生用對稱軸公式[x=-b2a]求二次函數(shù)的對稱軸，然后通過解析式求二次函數(shù)的頂點和最值，其認為這種利用公式進行簡單的代入計算的方式學生不易出錯. 而高中方面，由于絕大多數(shù)高一教師剛教過高三，對高一學生學情的認識容易出現(xiàn)偏差，這就產(chǎn)生了數(shù)學學科初高中過渡在知識技能方面的問題——初中不會、高中不講. 教科書利用集合和常用邏輯用語復習了初中階段一些基礎(chǔ)的數(shù)學知識，引導學生用集合語言梳理和表達義務(wù)教育階段學過的數(shù)學內(nèi)容. 在相等關(guān)系與不等關(guān)系這部分內(nèi)容中，從量詞的角度復習了平方差公式、完全平方公式等內(nèi)容，并在引入方程組解集的基礎(chǔ)上增加了含參數(shù)方程的解法，同時將初中階段的部分選學內(nèi)容作為必須掌握的工具性知識進行了呈現(xiàn). 例如，對于十字相乘法、立方和（差）公式、三元一次方程組、二元二次方程組等，建議教師利用教科書上的相關(guān)內(nèi)容幫助學生打好學習基礎(chǔ).

2. 學習習慣、學習心理方面

中學數(shù)學學習是從解決一個個具體問題向描述和解決一類問題過渡的. 初中階段以前者為主，高中階段以后者為主. 學生的數(shù)學學習經(jīng)歷了由淺入深、由感性到理性的發(fā)展過程. 初中階段的數(shù)學知識相對具體，高中階段的數(shù)學知識相對抽象. 在高中階段的數(shù)學課堂上，知識容量增加，教學進度加快，教師的授課方式發(fā)生了改變. 但是大多數(shù)學生仍然延續(xù)著初中階段的學習方式，尤其是剛經(jīng)歷了中考前的解題強化訓練，覺得多背幾個公式并大量做題就能學好數(shù)學，忽略了以知識為載體的數(shù)學思想與方法的重要作用. 事實上，以知識為載體的數(shù)學思想與方法對學生后續(xù)的數(shù)學學習起著至關(guān)重要的作用. 學生在解決具體的數(shù)學問題時，要以理解知識本質(zhì)、把握知識中蘊涵的數(shù)學基本思想、形成基本活動經(jīng)驗為基礎(chǔ). 人教B版教科書以“預備知識”為載體，通過類比（由等式到不等式）、轉(zhuǎn)化（由分式到整式、由多元到一元）使學生學會分析問題、解決問題，同時滲透分類討論、數(shù)形結(jié)合等數(shù)學思想與方法，這些都是解決數(shù)學問題的強大工具.

在學習習慣方面，高中階段的數(shù)學學習需要學生有更強的自主性，對所學的知識和方法進行不斷總結(jié)，并內(nèi)化成自己的理解. 同時，學生還要學會獨立思考，學會分析問題和解決問題的方法，并形成對自己的學習狀態(tài)進行審視的意識和習慣. 對此，人教B版教科書在章名頁引用著名數(shù)學家培養(yǎng)數(shù)學學習習慣的名言名句，以幫助和指導學生開展有效的數(shù)學學習. 例如，第一章章名頁引用華羅庚先生關(guān)于怎樣打好基礎(chǔ)的一段話；第二章章名頁引用陳省身先生關(guān)于數(shù)學學習的一段話；第三章章名頁引用蘇步青先生關(guān)于學好數(shù)學概念的重要性的一段話. 期望數(shù)學家們的諄諄教誨能夠讓學生找到科學的方法學好數(shù)學. 在本章小結(jié)中，讓學生為本章知識設(shè)計知識結(jié)構(gòu)圖，幫助學生構(gòu)建相對完整的知識體系，使學生能夠在數(shù)學知識的整體性中更深刻地感受數(shù)學基本思想和基本活動經(jīng)驗的意蘊.

在學習心理上，學生剛進入高中，開始了新的起點，正準備以積極的心態(tài)投入數(shù)學學習中，渴望在數(shù)學的學習中收獲成功. 人教B版教科書以“預備知識”為載體，在高中數(shù)學課程的開始階段，將課程內(nèi)容與學生已經(jīng)具備的知識經(jīng)驗聯(lián)系起來，而不是讓學生直接進入抽象的函數(shù)內(nèi)容學習中，為后續(xù)知識技能和思想方法的學習打好基礎(chǔ)，逐步發(fā)展學生的理性思維，以實現(xiàn)初高中數(shù)學學習的順利過渡.

綜上所述，初高中銜接不僅要關(guān)注知識的補充，更重要的是還要以知識為載體培養(yǎng)學生解決數(shù)學問題的思維習慣和學習方法.

二、初高中數(shù)學銜接的教科書設(shè)計

在銜接課程中，教科書的編寫力求使學生在具體的活動中將思考、感受和行動融合起來，使學生在掌握知識、發(fā)展思維、提高數(shù)學能力的過程中提升數(shù)學學習興趣，增強學習數(shù)學的信心，養(yǎng)成良好的數(shù)學學習習慣，順利完成從初中到高中數(shù)學學習的過渡. 下面結(jié)合人教B版教科書“預備知識”的三個案例進行說明.

案例1：以變量替換為通性通法，促進運算能力的發(fā)展. 對于“2.1.1.2 恒等式”的內(nèi)容編排，在嘗試與發(fā)現(xiàn)中列出了六個等式，前兩個等式是初中階段最重要的公式——平方差公式和完全平方公式，最后一個等式是初中不學而高中必用的立方和公式，這就是在做知識上的準備. 然后，教科書給出恒等式的定義，并強調(diào)“恒等式是進行代數(shù)變形的依據(jù)之一”. 我們知道代數(shù)式運算的本質(zhì)就是恒等變形，數(shù)學運算是數(shù)學核心素養(yǎng)之一，是學好高中數(shù)學的基礎(chǔ)，而運算能力是高一學生薄弱的地方. 人教B版教科書在這部分強調(diào)恒等式的字母取任意實數(shù)時等式都成立，因此我們可以對恒等式進行變量替換（換元），而高中階段常以變量替換作為解決代數(shù)問題的通性通法.

例如，人教B版教科書“2.1.2.1 一元二次方程的解集”中的例1：求方程[x-2x-1=0]的解集. 我們需要把根式方程轉(zhuǎn)化為學習過的方程. 由[x]是[x]的二次方想到將[x]看作一個整體，設(shè)為[y y≥0]，則原方程可以轉(zhuǎn)化為一元二次方程[y2-2y-1=0 y≥0]，即可求解.

又如，在“5.5 三角恒等變換”中，證明了兩角差的余弦公式[cosα-β=cosαcosβ+sinαsinβ]. 由于該公式對于任意的[α]，[β]都成立，故把其中的[β]換成[-β]后，也一定成立. 由此推得兩角和的余弦公式[cosα+β=cosαcosβ-sinαsinβ].

再如，變量替換還可以幫助我們得到一些條件不等式.

對于[x2≥0 x∈R]，當且僅當[x=0]時，[x2=0].

令[x=a-b]，則[a-b2≥0，即a2+b2≥2ab]，當且僅當[a=b]時，[a2+b2=2ab]成立.

當[a>0，b>0，] 且[ab]為常數(shù)時，[a2+b2]可以取得最小值；當[a>0，b>0，] 且[a2+b2]為常數(shù)時，[ab]可以取得最大值.

令[x=a-b]，[a>0，b>0]，則[a-b2≥0]，即[a+b≥2ab]，當且僅當[a=b]時，[a+b=2ab]成立.

當[ab]為常數(shù)時，[a+b]可以取得最小值；當[a+b]為常數(shù)時，[ab]可以取得最大值.

最后得到了均值不等式，而均值不等式的應(yīng)用則是將公式中的[a，b]用其他代數(shù)式替換，進而由基本不等關(guān)系獲得新的不等關(guān)系.

以上幾個例子，通過變量替換進行代數(shù)式恒等變形，逐漸提升學生有目標地進行恒等變形的能力（運算能力）. 如果教師在“2.1.1.2 恒等式”這部分內(nèi)容的教學中能深入挖掘教科書內(nèi)容中蘊涵的數(shù)學思想與方法，提高教學站位，找準發(fā)力點，有意識地培養(yǎng)學生的運算能力，相信學生在后續(xù)解決平面解析幾何、三角變換、導數(shù)和數(shù)列中的運算問題時，會更加游刃有余. 而代數(shù)能力的培養(yǎng)不是一蹴而就的，是一個長期的過程. 對于這部分內(nèi)容，教科書的編寫意圖并不是讓教師通過一節(jié)課或者一個單元的教學就解決學生的運算問題，而是希望這些內(nèi)容能夠啟迪教師將代數(shù)能力的培養(yǎng)貫穿于整個高中階段的數(shù)學教學中.

案例2：對一元二次方程的再認識，摸索模型的來龍去脈. 一元二次方程是義務(wù)教育階段學習過的內(nèi)容，因此有些教師在教學時跳過不講，忽略了一元二次方程解法多樣靈活的特點. 通過筆者的調(diào)研，發(fā)現(xiàn)相當一部分學生在解一元二次方程時不分析方程的結(jié)構(gòu)特征，優(yōu)先選擇配方法或者公式法，用自己熟悉的方法解決所有的一元二次方程問題. 這種做法不利于學生數(shù)學運算能力和思維習慣的培養(yǎng).

如何解決學生過于依賴某種解法的問題呢？人教B版教科書在這節(jié)內(nèi)容的編寫中力求達到“授人以魚不如授人以漁”，先在“2.1.2.1 一元二次方程的解集”的“嘗試與發(fā)現(xiàn)”中提出問題：你認為最簡單的一元二次方程具有什么樣的形式？在這個環(huán)節(jié)之前，可以讓學生盡可能多地寫出一些一元二次方程，帶著上述問題辨析這些方程的復雜性并求解方程. 通過研究，發(fā)現(xiàn)可以先從最簡單、最容易求解的一元二次方程[x2=t]出發(fā)，然后通過變量替換求解形如[x-k2=t]的一元二次方程，再將形如[ax2+bx+c=0 a≠0]的一元二次方程通過配方法轉(zhuǎn)化為[x-k2=t]的形式，這樣就得到了一般形式的一元二次方程的求解方法. 在這個探究過程中，引導學生分析這些一元二次方程具備了怎樣的結(jié)構(gòu)特征，使得我們能夠找到方法將它降次. 這個過程就是在培養(yǎng)學生養(yǎng)成適合高中數(shù)學學習的思維習慣，即準確描述研究對象，探索不同對象的邏輯關(guān)系. 這種從特殊出發(fā)，再逐步一般化的研究方法也是解決數(shù)學問題的重要途徑. 教科書編寫者希望通過知識的再現(xiàn)，使學生學會將一個復雜問題特殊化，分解成一個個簡單的小問題，真正做到會學數(shù)學，而不僅僅只會解題，從而更好地將知識技能的掌握和數(shù)學核心素養(yǎng)的發(fā)展有機結(jié)合起來.

案例3：從抽象到直觀，解一元二次不等式. 以一元二次不等式為例，人教B版教科書在第二章呈現(xiàn)了用配方法和因式分解法解一元二次不等式，在第三章呈現(xiàn)了用二次函數(shù)的圖象解一元二次不等式. 有些教師提出疑問：圖象法能迅速、直觀地求解一元二次不等式，為什么還要講因式分解法和配方法呢？因式分解法需要分類討論，配方法在配方的基礎(chǔ)上將一元二次不等式轉(zhuǎn)化為絕對值不等式. 在三種方法中，只講圖象法確實省時又省力，在單純解決一元二次不等式這個問題上，圖象法是足夠用的. 但是，如果在教學中只講圖象法就錯過了培養(yǎng)學生代數(shù)思維能力的好機會. 筆者曾經(jīng)對九年級和高一新生做過調(diào)研，讓學生獨立思考并求解具體的一元二次不等式，絕大部分學生都選擇了代數(shù)方法，都能夠類比一元二次方程的解法將一元二次不等式的一邊進行十字相乘或者配方，但在解決十字相乘法基礎(chǔ)上的分類討論或配方之后轉(zhuǎn)化為絕對值不等式時會出現(xiàn)困難，而這些困難恰好反映了學生在解決高中代數(shù)問題時所欠缺的能力. 因式分解法主要利用兩數(shù)同號（異號）的原理及分類討論的思想將一元二次不等式轉(zhuǎn)化為一元一次不等式組，這種解法既復習鞏固了十字相乘法，又為今后解決多個代數(shù)式積（商）形式的不等式提供了解題思路.

以“討論函數(shù)[fx=x-2ex+ax-12]的單調(diào)性”為例，通過求導，得到不等式[x-1ex+2a>0]，然后將該不等式轉(zhuǎn)化為[x-1>0，ex+2a>0]或[x-1<0，ex+2a<0]兩種情況分類討論. 因為并不是所有的一元二次式都能因式分解，所以我們還要探求用代數(shù)方法解一元二次不等式的通法——配方法，即在配方法的基礎(chǔ)上將一元二次不等式轉(zhuǎn)化為絕對值不等式. 例如，對于[x-2<1]，有些學生會脫口而出[x-2<±1]，這是由缺乏分類討論的數(shù)學活動經(jīng)驗及將等式與不等式的基本性質(zhì)相混淆造成的. 從代數(shù)的角度來看，我們應(yīng)該通過分類討論去掉絕對值的符號：當[x≥2]時，[x-2<1]；當[x<2]時，[-x-2<1]. 當然，還可以讓學生借助數(shù)軸，利用絕對值的幾何意義“數(shù)軸上表示[x]的點到表示2的點的距離小于1的值”，從形的角度解不等式. 在高中數(shù)學課程的開始階段，把課程內(nèi)容與學生已經(jīng)具備的知識經(jīng)驗聯(lián)系起來，以知識為載體向?qū)W生滲透分類討論和數(shù)形結(jié)合這些重要的思想與方法，并將這種滲透貫穿于高中數(shù)學教學中，而不是將難點都堆積到函數(shù)內(nèi)容的學習中，既減輕了學生學習函數(shù)的負擔，又培養(yǎng)了學生的數(shù)學運算能力.

人教B版教科書把利用函數(shù)求解一元二次不等式安排在了函數(shù)的概念和性質(zhì)之后，以免將三種方法一起呈現(xiàn)，教師會重圖象應(yīng)用而輕代數(shù)推理，不重視提升學生的數(shù)學思維能力. 函數(shù)是貫穿高中數(shù)學課程的主線，利用二次函數(shù)研究一元二次方程和一元二次不等式，形成求解程序，能夠幫助學生理解函數(shù)在代數(shù)問題中的核心地位和關(guān)鍵作用，感悟如何運用函數(shù)研究數(shù)學問題，進一步理解模型和探索模型之間的關(guān)系. 因此“三個二次”必須作為重要內(nèi)容，從概念、性質(zhì)和思想方法上進行全方位的銜接教學. 是否按照教科書的編排順序呈現(xiàn)教學內(nèi)容應(yīng)該隨學情而定. 在深度挖掘教科書內(nèi)容的同時，也要能夠靈活使用教科書. 如果學生已經(jīng)提出要用函數(shù)的觀點解不等式，那么教師就不能因為教科書沒有按照這樣的順序呈現(xiàn)教學內(nèi)容而不講，否則會打消學生學習數(shù)學的積極性. 而本章的絕對值不等式也可以借助絕對值函數(shù)進行求解，使學生進一步體會函數(shù)在求解方程和不等式中的作用. 具體在哪節(jié)課呈現(xiàn)這個方法，需要教師根據(jù)學情確定.

三、初高中數(shù)學銜接的教科書使用建議

1. 抓住關(guān)鍵點，從高中數(shù)學課程整體出發(fā)把握銜接課程教學內(nèi)容

人教B版教科書的銜接課程“等式與不等式”部分是在利用集合與常用邏輯用語系統(tǒng)梳理等式與不等式的基本性質(zhì)相關(guān)知識的基礎(chǔ)上，進行了適當?shù)耐卣古c延伸，使學生初步了解由具體到抽象的思維方式，為高中數(shù)學學習奠定知識、方法和思維的基礎(chǔ). 教科書在這部分設(shè)置的內(nèi)容較多，包括對一些初中階段選學或必學知識的再現(xiàn). 如果教師把每一小節(jié)的知識都鋪開來講，不僅課時緊張，效果也未必好. 某些技巧性或操作性強的知識也沒有必要花費太多時間，可以在后續(xù)知識的過程性學習中不斷練習和強化. 例如，十字相乘法可以在一元二次方程和一元二次不等式及零點的學習過程中不斷強化. 而前文提到的恒等式變量替換的方法是貫穿高中階段代數(shù)運算的重要方法，需要教師在本章的恒等式專題教學中向?qū)W生重點滲透，并將其貫穿于整章及整個高中階段的數(shù)學教學中.

銜接課程是發(fā)展學生數(shù)學運算素養(yǎng)的重要載體，但是學生運算能力的發(fā)展不是一蹴而就的，是隨著數(shù)學思維的不斷發(fā)展而形成的規(guī)范化思考問題的品質(zhì). 通過本章的教學，將學生的運算問題全部解決是不現(xiàn)實的. 教師要能夠準確認識和把握銜接課程要重點解決什么問題，哪些問題需要在后續(xù)課程中進一步解決，以便從高中課程整體的高度來定位本部分內(nèi)容的教學重點和教學目標，抓住關(guān)鍵點.

2. 重視思維活動，使學生“會學數(shù)學”

培養(yǎng)學生的數(shù)學思維能力在數(shù)學教學中非常重要. 教師應(yīng)該不斷探索如何在教學中以知識為載體發(fā)展學生的思維能力. 以銜接課程中的配方法教學為例，大部分教師對此的關(guān)注點都是學生能否正確配方，在課堂上帶著學生進行配方法的解題訓練. 但是，配方法僅僅是二次三項式的一種變形技巧嗎？其中是否蘊涵重要的數(shù)學思維方法呢？我們知道，代數(shù)式中含字母的項越少越方便研究. 例如，二次三項式[x2-2x+3]可以通過配方變形為[x-12+2]，只含有一個[x]，這就為我們進一步解一元二次方程、一元二次不等式和研究二次函數(shù)的性質(zhì)奠定了基礎(chǔ). 接下來，教師可以提出新的問題，激發(fā)學生的已有經(jīng)驗促進知識的正遷移. 教師提出讓學生研究函數(shù)[y=2x+1x和y=2x-1x+3]的性質(zhì). 對于這兩個函數(shù)，[x]的變化可以引起分子和分母同時變化，類比二次函數(shù)可以通過配方減少自變量的個數(shù)，聯(lián)想到通過分離常數(shù)將函數(shù)轉(zhuǎn)化為[y=2+1x]和[y=2-7x+3]的形式，進而研究函數(shù)的性質(zhì). 教師要注重讓學生經(jīng)歷類似的思維過程，而不是僅僅強化配方法和分離常數(shù)法操作的準確性.

在數(shù)學教學中，教師要重視學生的思維活動，引導學生深挖數(shù)學知識中蘊含的思維價值，遵循思維規(guī)律研究知識，幫助學生構(gòu)建知識體系，以便學生更好地理解知識，提高思維能力，教會學生“會學數(shù)學”.

3. 深化學科理解，拓寬學科視野

教師要通過不斷學習提升自己對學科內(nèi)容的理解，從教學執(zhí)行者向課程和教學的研究者轉(zhuǎn)變，從而更好地站在促進學生發(fā)展的高度理解并實施教學. 在銜接課程中，大部分教師都能夠執(zhí)行《標準》中要求學生梳理等式性質(zhì)的學習任務(wù)，能夠理解這項要求是為不等式性質(zhì)的學習提供類比對象，但是卻僅僅局限于知識上的類比. 這里梳理的目的是從中得到研究不等式性質(zhì)所需要的一般觀念、研究內(nèi)容、研究路徑和研究方法等，關(guān)注知識的發(fā)生發(fā)展過程. 同時，[a>b?][a-b>0，a=b?a-b=0，ab?a-b>0]是刻畫函數(shù)的單調(diào)性的工具. 蘊含在知識背后的這些重要的思想，并不是要求學生在學習本章知識內(nèi)容的過程中全部掌握，而是提醒教師需要具備這樣的站位看待知識本身，從而更好地把握教學，提升學生的數(shù)學學習水平. 總之，教師只有通過不斷學習、思考和研究，準確理解與把握教學內(nèi)容的內(nèi)涵和實質(zhì)，才能幫助學生逐步建立良好的數(shù)學思維習慣，構(gòu)建良好的學習心理和學習方式.

參考文獻：

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