顧靜凌

［摘? 要］ 文章概述UbD逆向設計理論，并以“函數(shù)的概念”為例，探究在UbD逆向設計框架下教師如何確定預期目標、理清評價證據(jù)、設計教學活動.

［關鍵詞］ UbD逆向設計；概念教學；教學設計

概念是數(shù)學的基石，是數(shù)學中定理、性質(zhì)、公式的基礎. 當前，數(shù)學概念教學“輕概念+重訓練”的現(xiàn)象屢見不鮮，其結(jié)果是學生只會機械式記憶、模仿，沒有真正理解數(shù)學概念的本質(zhì)，這樣的概念教學嚴重挫敗了學生學習數(shù)學的熱情.

對于數(shù)學概念課，教師應如何進行教學設計，有效實施教學？UbD逆向設計理論提出了基于理解的課堂教學設計模式，有效指導教師進行數(shù)學概念教學設計，幫助眾多教師突破教學設計瓶頸.

UbD逆向設計理論概述

20世紀50年代，美國教育評價家拉爾夫·泰勒首先提出了基于教學目標的課堂教學設計模式. 之后，美國課程研究專家格蘭特·威金斯和杰伊·麥克泰在此基礎上提出了UbD教學設計理論. 它是一種基于理解的逆向設計理論，即先確定學習的預期結(jié)果，再明確預期結(jié)果達到的證據(jù)，最后設計課堂教學框架.

UbD逆向設計，屬于建構(gòu)主義認知理論，它強調(diào)學生為主體、評價先行，以促進學生有意義學習為指向，凸顯課程評價對教學活動的指導作用. 逆向設計要求教師依據(jù)課程標準，從學情出發(fā)，明確符合學生一般認知規(guī)律的學習目標設計課程. UbD逆向設計框架包括三個階段，分別為確定預期目標、理清評價證據(jù)、設計教學活動.

第一階段，確定預期目標. 基于學生的認知水平，確定學生學習的重點，預定目標，讓學生明確需要了解什么、掌握什么.

第二階段，理清評價證據(jù). 圍繞預期目標設計評價學生學習效果的標準，思考評價方法，收集評價依據(jù).

第三階段，設計教學活動. 在明確預期目標與評價方式之后，確定組織怎樣的教學活動，實現(xiàn)預期目標.

UbD逆向設計理論下的數(shù)學概念教學案例

UbD逆向設計理論的核心是理解，旨在促進學生深入理解知識，掌握技能. UbD逆向設計框架一般包含五個教學環(huán)節(jié)，簡稱“WHERE”，即制定教學目標（Where），激發(fā)學習興趣（Hook），深入探究主題（Explore），反思學習過程（Rethink），評估學習所得（Evaluate）. 本文結(jié)合人教A版必修第一冊（2019版）教材中的“函數(shù)的概念”，介紹在UbD逆向設計框架下教師如何確定預期目標、理清評價證據(jù)、設計教學活動.

1. 第一階段：確定預期目標

UbD逆向設計的第一階段是確定預期目標與基本問題. 在學生的知識體系中，函數(shù)的概念源于初中的定義，它是從運動變化的觀點下把函數(shù)看成兩個變量之間的依賴關系，但根據(jù)此觀點，如f（x）=2這樣的函數(shù)就很難深入研究. 進入高中階段，引入集合的概念后，函數(shù)的概念更具有一般性，其抽象程度高，對學生的理解能力的要求更高.

根據(jù)課程標準的要求以及學生的認知規(guī)律，筆者確定本節(jié)課有兩個基本問題需要解決，一是為什么要在初中函數(shù)概念的基礎上繼續(xù)學習函數(shù)的概念？二是如何用集合和對應關系刻畫函數(shù)，建立完整的函數(shù)概念？首先，在學生用初中函數(shù)概念判斷兩個變量之間的關系時引起認知沖突，讓學生認識到高中研究函數(shù)概念的必要性. 其次，利用問題情境，引導學生嘗試用準確的語言表述函數(shù)關系，為抽象歸納完整的函數(shù)概念做準備.最后，引導學生分析歸納問題情境中的共同點，生成完整的函數(shù)概念. （概念建構(gòu)的目標框架如圖1所示）

2. 第二階段：理清評價證據(jù)

UbD逆向設計的目的是提高教學活動的有效性. 為評估學生的學習表現(xiàn)，教師需要基于教學目標制定評估標準和方法（具體如表1所示）.

3. 第三階段：設計教學活動

（1）分析學習任務，制定教學目標（Where）.

①理解函數(shù)的定義，能在具體實例中抽象出集合觀下的函數(shù)概念；

②體會特殊到一般和一般到特殊的思想方法，滲透歸納推理，感悟數(shù)學抽象；

③在數(shù)學活動中感受數(shù)學的抽象性與簡潔美.

（2）創(chuàng)設問題情境，激發(fā)學習興趣（Hook）.

生活情境：高鐵運行問題，工人工資問題，空氣質(zhì)量問題……

設計意圖 從生活實例出發(fā)，引導學生通過生活實例直觀感知變量間的依賴關系，引入函數(shù)的概念，感受“無處沒數(shù)學，處處有數(shù)學”的價值觀，激發(fā)學生學習數(shù)學的興趣.

（3）深入探究主題，培養(yǎng)思維能力（Explore）.

回眸初中的函數(shù)概念：在變化過程中，有兩個變量x和y，如果給定一個x值，相應地就確定了一個y值，那么我們稱y是x的函數(shù).其中x是自變量，y是因變量.例如，正方形的周長l與邊長x的對應關系是l=4x，對于每一個確定的x，都有唯一確定的l與之對應，所以l是x的函數(shù). 函數(shù)l=4x與正比例函數(shù)y=4x相同嗎？為什么？y=2是函數(shù)嗎？

要解決上述問題，就需要進一步研究函數(shù)的概念. 此前先分析以下問題.

問題1 （高鐵運行問題）某“復興號”高速列車加速到350 km/h后保持勻速運行半小時.

這段時間內(nèi)，列車行進的路程S（單位：km）與運行時間t（單位：h）的關系可以表示為S=350t.

這里，S是t的函數(shù)嗎？有人說：“根據(jù)對應關系S=350t，這趟列車加速到350 km/h后，運行1 h就前進了350 km.”你認為這個說法正確嗎？

問題2 （工人工資問題）某電氣維修公司要求工人每周工作至少1天，至多不超過6天. 如果公司確定的工資標準是每人每天350元，而且每周付一次工資，那么你認為該怎樣確定一個工人每周的工資？一個工人的工資w（單位：元）是他工作天數(shù)d的函數(shù)嗎？

設計意圖 上述兩個問題的共同點在于都含有兩個變量，且兩個變量之間的關系都可以用解析式來表示，符合學生對初中函數(shù)概念的認知.

問題3 （空氣質(zhì)量問題）圖2是北京市2016年11月23日的空氣質(zhì)量指數(shù)（Air Quality Index，簡稱AQI）變化圖. 如何根據(jù)該圖確定這一天內(nèi)任一時刻t h的空氣質(zhì)量指數(shù)（AQI）的值I？你認為這里的I是t的函數(shù)嗎？

問題4 （恩格爾系數(shù)）國際上常用恩格爾系數(shù)反映一個地區(qū)人民生活質(zhì)量的高低，恩格爾系數(shù)越低，生活質(zhì)量越高. 表2是我國某省城鎮(zhèn)居民恩格爾系數(shù)變化情況，從中可以看出，該省城鎮(zhèn)居民的生活質(zhì)量越來越高.

你認為按表2給出的對應關系，恩格爾系數(shù)r是年份y的函數(shù)嗎？如果是，你會用怎樣的語言來刻畫這個函數(shù)？

設計意圖 通過生活實例，凸顯用“解析式”表示函數(shù)的局限性，引發(fā)認知沖突，為進一步完善函數(shù)的概念做鋪墊.

根據(jù)上述四個問題，思考并回答下列問題.

①問題1至問題4中的函數(shù)有哪些共同特征？（學生總結(jié)，教師補充，揭示高中的函數(shù)概念. ）

②用高中的函數(shù)定義重新認識一次函數(shù)、二次函數(shù)與反比例函數(shù)，怎樣表述這些函數(shù)？（從聯(lián)系、發(fā)展的視角正確看待初中和高中的函數(shù)概念）

③運用高中的函數(shù)定義解釋：正方形的周長l與邊長x的對應關系l=4x與正比例函數(shù)y=4x是不是同一函數(shù)？y=2是函數(shù)嗎？（辨析、揭示函數(shù)的“三要素”）

設計意圖 引導學生回眸初中的函數(shù)概念，引發(fā)學生認知沖突，使學生認識到繼續(xù)研究函數(shù)概念的必要性. 根據(jù)學生的認知水平，引導學生刻畫生活中的對應關系，并嘗試用新語言（集合）來表述函數(shù)的對應關系. 通過設置四個問題情境，使學生感悟?qū)P系的不同表現(xiàn)形式（解析式、圖象、表格等），類比歸納提煉一般規(guī)律，獲得函數(shù)的概念. 本環(huán)節(jié)落實以數(shù)學知識自然生長為目標，進行深度思維的教學，實現(xiàn)從關注知識水平到關注思維發(fā)展的轉(zhuǎn)變，提高學生解決數(shù)學問題的能力，將數(shù)學抽象等核心素養(yǎng)落到實處.

（4）反思學習過程，深化認知水平（Rethink）.

通過深入探究主題，學生對函數(shù)的概念有了初步認識，教師通過例題引導學生分析、辨析和反思，深化學生對函數(shù)概念的認知.

例1 下列對應關系能否構(gòu)成定義中A到B的函數(shù)：

例2 下列圖象中不能作為函數(shù)y=f（x）的圖象的是（? ）

設計意圖 通過具體例子引導學生對函數(shù)的概念進行辨析，使學生更細致準確地把握函數(shù)的內(nèi)涵.例1傾向于從集合的視角認識函數(shù)，例2傾向于從圖象的視角理解函數(shù)的“三要素”，滲透數(shù)形結(jié)合思想，為后續(xù)研究函數(shù)的圖象與性質(zhì)做鋪墊.

（5）評估學習所得，聚焦核心素養(yǎng)（Evaluate）.

通過上述環(huán)節(jié)，學生可以明確函數(shù)的內(nèi)涵和外延，教師根據(jù)學生的課堂反饋及時給予評價，從教與學兩個層面對照評價指標評估教學效果.

實踐反思

1. 注重大概念下的單元教學

“大概念”是學科的核心，是指指向?qū)W科核心內(nèi)容和教學核心任務、反映學科本質(zhì)、能將學科關鍵思想和相關內(nèi)容聯(lián)系起來的關鍵的、特殊的概念. 數(shù)學大概念是數(shù)學學科中具有解釋力的概念，包括對數(shù)學定理、性質(zhì)、模型的解讀等，對學生學習具有引領作用的基礎知識. 教師基于大概念設置單元教學，有助于學生對知識的理解與遷移，引領學生深度理解數(shù)學本質(zhì)，促進數(shù)學學科核心素養(yǎng)的落實.例如，函數(shù)的概念及思想方法貫穿高中整個數(shù)學課程始終，圍繞“函數(shù)的背景—函數(shù)的定義—函數(shù)的性質(zhì)—函數(shù)的圖象—函數(shù)的應用”這條主線組織教學，有利于學生系統(tǒng)地、整體地把握函數(shù)學習的一般路徑，幫助學生建立完整的函數(shù)認知結(jié)構(gòu)，提升學生的思維能力和數(shù)學素養(yǎng).

UbD逆向設計理論也注重“大概念”下的單元教學，并圍繞“大概念”設置預期目標、評價依據(jù)以及教學活動. 數(shù)學學科中的函數(shù)、方程、不等式、立體圖形等都是單元教學中的“大概念”，圍繞基本問題來建構(gòu)“大概念”，理應成為課堂教學的新常態(tài).

2. 倡導真情境下的數(shù)學探究

周文葉教授認為：核心素養(yǎng)不是教師教出來的，而是學生在不確定的情境中借助問題解決的實踐培育起來的． 崔允漷教授認為：在真實情境下做事，是指向素養(yǎng)目標的關鍵所在.真情境，重在“真”，即具有真實性，真實情境源于現(xiàn)實生活和學生的經(jīng)驗，只有讓學生置身于真實情境中，才能“撬動”課堂，真學習才能發(fā)生. 例如，在函數(shù)概念的教學過程中，通過設置與學生生活密切相關的實例，可以讓學生直觀感知兩個變量之間的關系，為進一步數(shù)學抽象做鋪墊. 引導學生回眸初中的函數(shù)概念，讓學生發(fā)現(xiàn)用初中的函數(shù)概念難以解釋生活中的一些案例，認識到進一步研究函數(shù)概念的必要性. 利用實際情境，引導學生經(jīng)歷完整的函數(shù)概念抽象過程，幫助學生建構(gòu)新的函數(shù)概念，發(fā)展學生的數(shù)學抽象核心素養(yǎng). 在數(shù)學課堂教學中，引用真素材、創(chuàng)設真情境、探究真問題才能激發(fā)學生的學習熱情和認知欲望，不斷發(fā)展學生的數(shù)學理性思維能力和數(shù)學素養(yǎng)，實現(xiàn)思維進階和素養(yǎng)落地的目標，落實立德樹人根本任務.