施佳璐

［摘? 要］ 在發(fā)展學生數(shù)學核心素養(yǎng)的目標基礎(chǔ)上，促進“四基”與“四能”的發(fā)展是新課標對高中數(shù)學教學提出的要求，也是時代賦予教師的責任. 研究者以高三一輪專題“直線與圓”的復習為例，具體從“適度開放，發(fā)現(xiàn)問題”“由淺入深，提出問題”“中度開放，分析問題；深入探究，解決問題”“適當拓展，鞏固提升”等方面展開教學實踐，并提出一些思考.

［關(guān)鍵詞］ 四基；四能；直線與圓；復習教學

新課標將發(fā)展學生的“四基”與“四能”提到重要位置，“四基”是指基礎(chǔ)知識、基本技能、基本思想和基本活動經(jīng)驗；“四能”是指從數(shù)學的角度發(fā)現(xiàn)、提出、分析與解決問題的能力. 如何在數(shù)學教學中不偏離、不動搖發(fā)展學生的數(shù)學素養(yǎng)，培養(yǎng)學生的“四基”與“四能”呢？這是筆者近些年一直在研究的問題之一. 本文以高三一輪專題“直線與圓”的復習為例，具體談一談操作方法，并提出一些思考.

基本情況

授課對象：高三學生，學生認知處于中等水平.

教學目標：①要求學生靈活掌握直線與圓位置關(guān)系中的一些基礎(chǔ)問題；②要求學生掌握直線與圓問題中的定點、定值與范圍最值類問題；③夯實學生的“四基”，提升學生的“四能”，促進學生數(shù)學素養(yǎng)的形成與發(fā)展.

教學重點與難點：靈活掌握直線與圓問題中的“三動三有”問題，通過課堂教學培養(yǎng)學生的“四能”.

教學簡錄

1. 適度開放，發(fā)現(xiàn)問題

課堂導入的成功與失敗，對一堂課的教學有直接影響. 本節(jié)課為專題復習課，導入充滿“數(shù)學味”的問題情境直接切入主題.

呈現(xiàn)條件：已知點P（2，1）與圓C：x2+（y－4）2=4.

師：請各小組內(nèi)部討論，結(jié)合以上兩個條件，可以提出一些怎樣的問題？

（學生討論）

第一組呈現(xiàn)出這樣的問題：過點P（2，1）的直線與圓C：x2+（y－4）2=4存在哪些位置關(guān)系？

師：大家分析一下這個問題，說說你們的看法.

生1：我認為存在相切、相離與相交三種位置關(guān)系.

師：這三種位置關(guān)系是怎么得來的？

生2：轉(zhuǎn)動過點P（2，1）的直線，就可以得到這三種位置關(guān)系.

師：很好，這是根據(jù)此問的“形”直接獲得了三種位置關(guān)系，之前我們學過，還可以通過什么辦法來判斷一條直線與一個圓的位置關(guān)系呢？

生3：一般情況下，通過對d（圓點到直線的距離）與r（圓的半徑）的大小比較進行判斷，即d=r時，直線與圓為相切的關(guān)系；d＞r時，直線與圓為相離的關(guān)系；而d＜r時，直線與圓為相交的關(guān)系.

師：非常好！這種判斷方法最常用，我們稱為“幾何法”. 除了以上方法外，還有其他方法嗎？

生4：還可以把直線的方程代入圓的方程，消除其中一個變量后，得到關(guān)于另一個變量的方程，然后利用判別式即可判斷兩者的位置關(guān)系.

師：不錯，這種方法就是我們熟悉的“代數(shù)法”，該方法的應用體現(xiàn)了一種重要的數(shù)學思想——方程思想.

教師板書：判斷直線與圓的位置關(guān)系有幾何法與代數(shù)法.

設(shè)計意圖 課堂伊始，用兩個簡單的條件吸引學生的眼球，通過適度開放的問題培養(yǎng)學生發(fā)現(xiàn)問題并提出問題的能力. 同時，方程思想、數(shù)形結(jié)合思想等，自然而然地融合到問題的分析過程中，為問題的解決奠定了基礎(chǔ).

2. 由淺入深，提出問題

師：根據(jù)初始條件，大家還能提出其他問題嗎？

生5：當過點P（2，1）的直線和條件中的圓C的位置呈相交的關(guān)系時，可提出求該直線斜率范圍的問題；如果相交時的弦長是定值，可提出求直線方程的問題.

生6：當過點P（2，1）的直線和條件中的圓C的位置呈相切的關(guān)系時，可提出求直線方程和切線長的問題.

教師板書：“相交”求直線斜率范圍和弦長；“相切”求切線長和切線方程.

師：若生5所提問題中的弦長為，則直線方程是什么？此問請女生來完成，男生來完成生6提出的問題.

（學生解題，教師巡視，隨機抽取兩位學生的解題方法投屏并點評.）

師：通過以上分析，大家覺得解決直線和圓相交或相切的問題時，最關(guān)鍵的條件是什么？

生7：弦心距. 只有知道了弦心距，才能構(gòu)造出關(guān)于斜率的方程.

教師板書：弦心距是解決直線與圓相交或相切問題的關(guān)鍵.

設(shè)計意圖 通過開放問題的設(shè)計，引導學生自主回顧直線與圓位置關(guān)系的常見題型，讓學生自主提出問題，并經(jīng)過自主分析獲得解決問題的關(guān)鍵量——弦心距. 這種設(shè)計，一方面幫助學生把握“四基”，另一方面提升學生的“四能”，為數(shù)學建模奠定基礎(chǔ).

3. 中度開放，分析問題

師：若點P是位于直線x－2y=0上的一個動點，由此大家能提出什么問題？

（小組討論）

生8：若點P是位于直線x－2y=0上的一個動點，連接點P與圓心C，PC的最小值是多少？（點P運動，PC也隨之運動.）

生9：如圖1所示，若點P是位于直線x－2y=0上的一個動點，過點P作兩條直線，與圓C：x2+（y－4）2=4相切于點A，B，則四邊形BPAC面積的最小值是多少？

生10：結(jié)合以上條件，還可以提出求AB長度范圍的問題.

板書：點P移動導致以下量發(fā)生變化：①PC的長度；②PA，PB的長度；③四邊形BPAC的面積；④AB的長度.

師：當點P移動時，還有什么量會隨之發(fā)生變化呢？

生11：四邊形BPAC的周長、∠ACB的大小.

師：非常好！現(xiàn)在請一組、二組的同學完成生9提出的問題，三組、四組的同學完成生10提出的問題.

（學生解題，教師巡視，投影答案.）

在投影的同時，要求學生對自己的解法進行思考并提出新的問題.

師：從以上投影可以發(fā)現(xiàn)面積、角度、長度等都有變化，從本質(zhì)上來看，是什么引起的？

生12：所有這些變化，都是由點P的運動引起的.

師：確實，點P的運動，引出了很多范圍和最值問題，這也是本節(jié)課的重點內(nèi)容“動中有界”.

教師板書：動中有界.

設(shè)計意圖 在學生對基礎(chǔ)知識與基本技能梳理順暢的基礎(chǔ)上，化靜為動，提出點P運動會引起哪些量的變化，意在引發(fā)學生對長度、角度、周長與面積進行觀察與分析，自然而然地牽引出最值和范圍問題.

評析 這種開放式的問題導學，不僅成功地幫助學生提取原有認知結(jié)構(gòu)中關(guān)于直線與圓關(guān)系的動點問題，還有效啟發(fā)學生思維，讓學生通過自主探究，理順了整個知識脈絡，發(fā)現(xiàn)此類問題萬變不離其宗——動中有界. 由此使學生體驗到自主命題與解題帶來的快樂，學會自主梳理題型、整理解題方法以及觸類旁通的學習能力.

4. 深入探究，解決問題

師：綜上發(fā)現(xiàn)，點P位置的變化，會引發(fā)很多量隨之變化. 現(xiàn)在請大家討論一下，是否有定量不會隨著點P位置的變化而變化呢？

（學生激烈討論，時間稍長.）

生13：經(jīng)過討論，我們發(fā)現(xiàn)直線AB恒過一個定點. 由于點B，P，A，C共圓，因此線段AB可理解為圓C與該圓的公共弦，兩圓的方程相減，即可獲得直線AB的方程，確定直線AB恒過一個定點.

師：還發(fā)現(xiàn)有其他定量嗎？

生14：在點B，P，A，C處于同一個圓的背景下，設(shè)點P（2t，t），那么x（x－2t）+（y－4）（y－t）=0為該圓的方程，發(fā)現(xiàn)該圓恒過定點.

教師板書：動中有定：①直線AB恒過定點；②四點共圓恒過定點.

師：非常好！現(xiàn)在請一組、三組的同學解決直線AB恒過定點的問題；二組、四組的同學解決四點共圓恒過定點的問題.

（學生解題，教師巡視，投影典型解法，師生點評.）

師：如圖3所示，假設(shè)點N為AB的中點，當點P運動時，點N會怎樣？

師：非常好！由此我們還發(fā)現(xiàn)“動中有軌跡”（板書）. 據(jù)此，大家還能聯(lián)想到什么問題？

生16：還可以求PN的最小值.

（學生解題，教師巡視，投影典型解法，師生點評.）

設(shè)計意圖 引導學生通過自主探究與討論，獲得“動中有定”與“動中有軌跡”的結(jié)論，對問題產(chǎn)生更深層次的認識與研究，并再次驗證“動中有界”的結(jié)論.

評析 課堂教學是動態(tài)發(fā)展的過程，也是不斷生成的過程. 此教學環(huán)節(jié)，在教師循循善誘的引導下，學生的思維進入了更廣闊的空間，通過自由討論，不僅提出了高質(zhì)量的問題，還針對這些問題開展了合理的分析與總結(jié)，由此充分體現(xiàn)了“以生為本”的教學理念.

課堂在教師的引導下，賦予學生充足的時間與空間進行思考，隨著一個個問題的提出、分析與解決，不僅有效地激發(fā)了學生的潛能，還讓學生獲得了更多的成就感，建立了學習信心，為學生“四能”的提升夯實了基礎(chǔ).

5. 適當拓展，鞏固提升

問題：在平面直角坐標系xOy中，直線l：ax+by+c=0，點P（-1，0），Q（2，1），已知實數(shù)a，b，c為等差數(shù)列，如果點P在直線l上的射影是點H，線段HQ的取值范圍是什么？

（學生解題、板演，教師點評.）

設(shè)計意圖 這是本節(jié)課的最后一個問題，具有總結(jié)、鞏固與提升的意圖. 直線l的“動”，意在鞏固“動中有定”；點H的“動”，意在鞏固“動中有軌跡”；求線段QH的取值范圍，意在鞏固“動中有界”. 此問的設(shè)置，主要是為了幫助學生總結(jié)、鞏固本節(jié)課的教學重點與難點“三動三有”，進一步提升學生對此類問題的理解與解決能力.

教學思考

1. 循序漸進，促進思維發(fā)展

新課標提出：高中數(shù)學課堂教學，需要培養(yǎng)學生對數(shù)學學科的興趣，循序漸進地幫助學生建立學習信心，以不斷提高學生的實踐能力，形成正向的世界觀與數(shù)學觀.

本節(jié)課，每一個問題都具有一定的開放性，學生經(jīng)歷問題“輕度開放—中度開放—深度開放”的過程，通過逐層遞進的方式，使學生的思維沿著問題的階梯拾級而上，逐漸形成良好的學習自信，同時也充分展示學生自主提出、分析、講解與拓展問題的思維歷程，切實達成培養(yǎng)學生“四基”與“四能”的目標.

2. 結(jié)合實際，掌握問題的“度”

當然，設(shè)置開放問題時要掌握好一個“度”，一定要結(jié)合學生的實際認知結(jié)構(gòu)與教學內(nèi)容提問. 假設(shè)本節(jié)課不是復習課，而是新課，若采用上述教學方法，不僅會讓學生聽得云里霧里，課程無法推進，更談不上培養(yǎng)學生的“四基”與“四能”.

3. 分層教學，促進全面發(fā)展

觀察學生所提出的每一個問題，都是之前教學中涉及的常規(guī)問題，并沒有出現(xiàn)太多具有挑戰(zhàn)性與創(chuàng)新性的新題型. 由此可見，教師應將培養(yǎng)學生的“四基”與“四能”的理念落實在每一堂課中，只有具備了一定的知識儲備與能力基礎(chǔ)，才能提出具有創(chuàng)造性的問題. 在復習教學中，教師也可以利用學生的差異性提出不同的問題，生成更多、更好的探究資源，讓課堂充滿活力與智慧，促進學生全面發(fā)展.

總之，在新課標引領(lǐng)下的高中數(shù)學課堂教學離不開問題的驅(qū)動，而問題的設(shè)置值得每一個教師精心預設(shè)與思考. 開放性問題能有效激發(fā)學生的潛能，讓學生提出更多值得探索的新問題，為“四基”與“四能”的發(fā)展奠定基礎(chǔ).