胡連成　王國強

摘 要：數(shù)學教學是以數(shù)學思維發(fā)展為核心的教學，學生思維發(fā)展需要在積極的問題情境思考中得以實現(xiàn).基于思維發(fā)展的信息技術與數(shù)學教學的融合實踐，一方面重視學生通過主動思考完成知識和方法的初步建構，實現(xiàn)思維的內化；另一方面重視展示、交流、辨析等思維外顯過程，并注重借助幾何畫板等信息化圖示技術，在動態(tài)的問題思考中實現(xiàn)抽象知識直觀化、內隱思維可視化，達成從感性認知到理性建構再到思維自覺的育人目的.

關鍵詞：問題情境；思維發(fā)展；二次函數(shù)；幾何畫板

以核心素養(yǎng)發(fā)展為旨歸的數(shù)學教學，追尋用數(shù)學的方式觀察、思考和表達現(xiàn)實世界，其本質是通過情境中的問題思考，發(fā)展學生的抽象、推理及模型等數(shù)學素養(yǎng)，培養(yǎng)理性思維和科學精神.為實現(xiàn)上述目的，《義務教育數(shù)學課程標準（2022年版）》提出了5條教學建議，其一就是“注重信息技術與數(shù)學教學的融合”，提倡合理利用現(xiàn)代信息技術，豐富學習資源，創(chuàng)設生動的學習情境，在實際問題的思考中，激發(fā)學習興趣和探究欲望，開闊認知視野、發(fā)展數(shù)學思維，實現(xiàn)抽象知識直觀化、內隱思維可視化、理性思維自覺化，促進學生對數(shù)學概念的理解、知識方法的建構和數(shù)學思想的領悟^［1］.

數(shù)學學習是基于對情境問題的觀察、想象、猜想、推理、驗證、歸納而開展的思維活動，具有形式化、抽象性及自我建構的特點.一般來說，學生在問題的思考中思維活動往往是內隱的，對于抽象數(shù)學本質刻畫是基于自我理解的圖式建構，可能是膚淺或片面的.因此，在數(shù)學問題的思考中，一方面要重視自我建構的思維內化過程，另一方面要注重交流、展示、辨析等思維外顯活動，并合理利用幾何畫板等信息化圖示技術，變抽象為直觀、轉內隱為外顯、化結果為過程，在多元表征中達成隱形思維顯性化、顯性思維策略化、高效思維自動化，實現(xiàn)學生對數(shù)學本質的正確理解，進而發(fā)展自覺的理性思維和科學精神^［2］.

1 基于思維發(fā)展的融合教學的案例分析

本文結合蘇科版教科書九年級下冊“二次函數(shù)”中的三則教學案例，對信息技術與數(shù)學教學的融合實踐進行解讀與分析.二次函數(shù)是繼一次函數(shù)、反比例函數(shù)之后又一類重要的代數(shù)函數(shù)，是描述現(xiàn)實世界數(shù)量關系之間的重要數(shù)學模型，其內涵豐富、知識抽象、綜合性強，學生理解有一定難度，以至于不少學生“望函生難”“遇函止步”.這就要求我們在教學中通過合適的教學媒介，化抽象為直觀，讓學生的思維方式實現(xiàn)從靜態(tài)到動態(tài)、從特殊到一般、從感性到理性的提升，進而促進理性思維的發(fā)展.

幾何畫板是美國Key Curriculum Press公司研制的一款數(shù)學軟件，具有繪圖操作簡便化、呈現(xiàn)方式直觀化、圖形構造動態(tài)化、數(shù)量關系精確化的特點.在二次函數(shù)教習中有針對性地運用幾何畫板進行輔助，可以在直觀的圖形變化中幫助學生理解抽象的函數(shù)內容，發(fā)展用數(shù)學的方式觀察、思考和表達現(xiàn)實問題的能力.

1.1 數(shù)形結合，理解函數(shù)圖象

二次函數(shù)圖象的學習需要在問題思考中，從數(shù)的角度理解變量間對應關系，從形的角度感知“連點成線”“點動成線”的變化與關聯(lián).既要知道二次函數(shù)的圖象“是何物”，也要知道“為何是”，更需明確“如何用”，以在探究中掌握解決問題的“一般套路”，促進思維發(fā)展.

案例1：二次函數(shù)圖象畫法辨析

1.情境設計：類比畫一次函數(shù)y＝2x圖象過程，嘗試畫出二次函數(shù)y＝2x²的圖象.

2.問題思考：（1）畫函數(shù)圖象的步驟是什么？

（2）你畫的二次函數(shù)圖象與一次函數(shù)圖象有哪些異同？

（3）二次函數(shù)圖象上相鄰兩點如何連接？為什么？

3.探索分析：二次函數(shù)圖象是理解函數(shù)圖象性質的基礎.學好這部分內容，需要在已有函數(shù)圖象知識的基礎上，注重方法類比，整體感知形態(tài)，具體分析變化.故本案例教學讓學生類比一次函數(shù)的圖象畫法嘗試畫二次函數(shù)的圖象，在經(jīng)歷列表、描點、連線的過程中，整體感知二次函數(shù)圖象不同于一次函數(shù)圖象，并以如何刻畫相鄰兩點間的連線為著力點，開展對問題“是何”“為何”的深度思考.學生往往類比一次函數(shù)圖象采用線段依次連接的方法畫二次函數(shù)圖象（如圖1），為了讓學生認識其不合理性，可借助幾何畫板進行可視化探索.

（1）增點辨析、連點成線

針對“相鄰兩點用線段連接”的現(xiàn)象，可以利用幾何畫板“繪制點”功能畫點辨析，通過“舉反例”的方法說明了“相鄰兩點不是用線段連接的”.如繪制符合函數(shù)關系的點（0.5，0.5），可以觀察到它并不在所連接的線段上（如圖1）.我們可以繼續(xù)在點（0，0）和點（1，2）之間繪制更多的點（如圖2），整體直觀感知這些點形成了曲線形狀.

（2）動點刻畫、點動成線

為了更直觀、形象地展現(xiàn)二次函數(shù)y＝2x²的圖象，可以利用幾何畫板“追蹤點”功能，拖動符合函數(shù)關系的動點P，則會形成無數(shù)個點，點動成線，構成了“拋物線”狀平滑曲線

（如圖3）.對于成績較好的學生，也可以讓其閱讀“拋物線的焦點與準線”的相關內容，了解“拋物線是平面內到一定點和一定直線（不過定點）距離相等的點的軌跡”，并利用幾何畫板，根據(jù)焦點和準線繪制動態(tài)拋物線.課后結合本課探究方法，讓學生嘗試繪制y＝x³和y＝x²＋1x的圖象，借助幾何畫板驗證并歸納其圖象性質，實現(xiàn)方法的遷移運用.

1.2 動態(tài)生成，明晰性質關聯(lián)

二次函數(shù)圖象性質是學生學習的又一難點，相對于一次函數(shù)和反比例函數(shù)而言，系數(shù)增多，圖形變化豐富，數(shù)形關聯(lián)復雜.因此，在圖象性質探究中借助幾何畫板等可視化工具，化抽象為直觀，化靜態(tài)為動態(tài)，多維思考，融會貫通，實現(xiàn)數(shù)形融合與函數(shù)、方程、不等式知識關聯(lián)建構.

案例2：函數(shù)、方程與不等式的關聯(lián)建構

2024年第1期教學研究教學研究2024年第1期1.情境設計：你能求出不等式x²－2x－3＞x＋1的解集嗎？

2.問題思考：（1）是否可以通過解不等式解決問題？

（2）是否可以通過解方程y₁＝x²－2x－3猜想結論？

（3）觀察函數(shù)y₁＝x²－2x－3與y₂＝x＋1的圖象，你有什么發(fā)現(xiàn)？

3.探索分析：一元二次不等式的解集確定問題對一般學生來說是學習的難點，其往往類比一元一次不等式的解法而出現(xiàn)方法困境.這類問題的解決策略是“由形析數(shù)”，結合函數(shù)圖象直觀解讀，其思維理解的關鍵點在于從符號語言到書面語言再到圖形語言的順利轉換（如圖4）.九年級學生的思維發(fā)展尚處在從形象思維到抽象思維的過渡階段，在圖形的信息解讀中可以借助幾何畫板，利用動點演示說明“y₁＞y₂”的圖象區(qū)間分布

（如圖5）.具體如下：過x軸上的點P作垂線，分別與兩函數(shù)圖象交于點A、點B，有序拖動點P，觀察點A和點B的位置和坐標變化，可直觀得到y(tǒng)₁與y₂的大小關系的區(qū)域分布.

圖4

圖5

1.3 圖形運動，助力素養(yǎng)發(fā)展

拋物線中由動點形成的特殊圖形存在性問題，其知識綜合性強、圖形變化多、空間想象思路難度大，在各類考試中往往作為壓軸題出現(xiàn).這類問題可借助幾何畫板，通過動態(tài)演示圖形運動過程，直觀展示一般與特殊的圖形變化，在變化中揭示不變的規(guī)律和關系，從而有效發(fā)展學生的幾何直觀和空間想象等數(shù)學素養(yǎng).

案例3：拋物線中直角三角形存在性問題

1.情境設計：如圖6，拋物線y＝－x²＋2x＋3與坐標軸交于A，B，C三點，E是x軸上一動點，過點E且平行于y軸的直線與拋物線交于點P，與直線AB交于點D.當點E在線段OA上運動時，想象△PBD的形狀變化.

2.問題思考：（1）當點E在線段OA上運動時，是否存在△PBD為直角三角形的情況？

（2）若存在，求出點E坐標；若不存在，請說明理由.

（3）是否存在△PBD為其他特殊三角形的情況？若存在，能否求出點E坐標？

3.探索分析：按照學生的思維發(fā)展的一般順序，進行如下探索過程.

（1）模擬變化.學生模擬圖形運動過程，嘗試畫出△PBD為直角三角形的圖形，并交流、展示、討論，以發(fā)展學生空間想象能力，嘗試知識和方法的初步建構.

（2）動態(tài)演示.教師運用幾何畫板演示點E在線段OA上運動時△PBD的變化過程，明確存在兩類符合條件的圖形

（如圖7、圖8），并讓學生解釋∠PDB不能為直角的原因.在圖形想象和直觀演示的碰撞中，激發(fā)學習興趣，引發(fā)深度思考，發(fā)展學生幾何直觀和抽象思維能力.

（3）思路探尋.結合圖形，由形解數(shù)、由數(shù)析形、數(shù)形結合，探尋圖7和圖8中點E的不同的坐標求法，理解“動態(tài)探尋變化、靜態(tài)分類思考、數(shù)形多維求解”的解題策略及特殊與一般、轉化與化歸等數(shù)學思想.

（4）變式拓展.當點E在直線OA上運動時，類比上述方法探尋△PBD為特殊三角形的其他情形，發(fā)展學生的數(shù)學應用意識.

（5）方法運用.當點E在直線OA上運動時，鼓勵學生提出不同的幾何圖形存在性問題，并運用上述問題解決策略嘗試解答，以實現(xiàn)在動態(tài)問題思考中發(fā)展思維的發(fā)散性和創(chuàng)新性.

2 基于思維發(fā)展的融合教學的實踐思考

數(shù)學思維是以空間形式和數(shù)量關系為思維對象，以數(shù)學語言和符號為思維載體，以認識發(fā)現(xiàn)數(shù)學規(guī)律為目的的思維方式，具有概括性、整體性、相似性和問題性的特點^［3］.數(shù)學教學是以數(shù)學思維發(fā)展為核心的教學，借助幾何畫板輔助教學的融合課堂教學應注重學生數(shù)學思維能力的培養(yǎng)，以主動的情境問題思考為前提，注重知識的建構與思維的內化.在此基礎上，借助幾何畫板，通過圖形運動和數(shù)量刻畫，從數(shù)形結合、動態(tài)感知、理性思考、數(shù)學表達的過程，實現(xiàn)思維的外顯，并通過知識方法的遷移運用，形成解決問題的基本套路和一般觀念.

2.1 主動思考為前提，關注思維內化

學生的思考過程就是不斷進行知識重構的過程，是基于已有知識結構和方法體系進行順應與同化的嘗試過程.這個過程存在諸多挑戰(zhàn)，可能無法探尋到有效思路或得到片面甚至錯誤結論，但每一次思考，都是自我的升華與完善.基于思維發(fā)展的信息技術與數(shù)學探索的融合教學，重視學生對問題的主動思考，這是問題探索的起點.通過創(chuàng)設積極的問題情境，引發(fā)學生認知沖突，形成探究氛圍，學生在經(jīng)歷觀察、猜想、驗證、解釋與反思的思維活動，形成基于自我理解的知識和方法，實現(xiàn)用數(shù)學的眼光觀察問題、用數(shù)學的思維思考問題的過程，在積極的問題思考中完成“內化于心”的自我建構過程.

2.2 動態(tài)展示為關鍵，重視思維外顯

學生通過主動思考而嘗試建構的知識與方法體系是否正確，需要在交流、展示與辨析的表征活動中接受檢驗.在運用數(shù)學語言表達問題的過程中，產(chǎn)生思維碰撞，使內化的思維成果在外顯的過程中得以修正與重組，實現(xiàn)對知識結構和方法體系的再加工.如上述案例中，在學生思考的基礎上，一方面讓學生通過圖形和語言等方式呈現(xiàn)思維成果，學生試圖在清晰而有序的表達中，發(fā)現(xiàn)新問題，引起新思考.另一方面通過幾何畫板等圖示技術，直觀演示圖形的變化過程，結合數(shù)據(jù)的精確刻畫，驗證學生的猜想和判斷，引發(fā)學生的深度思考.在自我理解的思維成果和直觀形象的動態(tài)展示碰撞中，激發(fā)學習興趣、優(yōu)化思維方式，經(jīng)歷系列的問題探索，學生在看到二次函數(shù)表達式時，頭腦中出現(xiàn)的不僅是“等式”“方程”的數(shù)的對應關系，還會出現(xiàn)“連點成線”“點動成線”等形的有序運動，在數(shù)與形的動態(tài)融合中實現(xiàn)對函數(shù)圖象的本質理解.

2.3 “三何”探究為根本，實現(xiàn)思維理性

基于思維發(fā)展的信息技術與數(shù)學教學的融合探究追尋的是學生深度學習，是對問題“是何、為何、如何”的追問與思辨.通過主動的思考，探尋問題所蘊含的數(shù)學規(guī)律，完成基于自我理解的知識和方法的初步建構，達成“是什么”的感性認識；在對思維成果進行解讀、思辨時，結合辯思與推理，實現(xiàn)“為什么”的理性解讀；教師因勢利導，借助思維可視化方式，使學生思維方式實現(xiàn)從靜態(tài)到動態(tài)、從一維到多維的轉變，在動態(tài)思考中領悟數(shù)學思想方法，掌握問題思考的一般套路，并能在問題探究中自覺遷移運用，實現(xiàn)“如何用”的目的.

通過情境問題的深度思考，從“是何”的感性認知到“為何”的理性建構再到“如何”的思維自覺過程，借助幾何畫板等數(shù)字化技術，實現(xiàn)抽象知識直觀化、內隱思維可視化、理性思維自動化，由具體的數(shù)學方法、策略的學習轉向一般性思維策略的發(fā)展，進而逐步培養(yǎng)學生的理性思維和科學精神^［4］.

參考文獻

［1］中華人民共和國教育部.義務教育數(shù)學課程標準（2022年版）［M］.北京：北京師范大學出版社，2022．

［2］左博文，周利君.我國思維可視化研究回顧與展望——基于中國知網(wǎng)2014—2019年論文分析［J］.中國教育信息化，2020（13）：14--20．

［3］孔凡哲.數(shù)學學習心理學［M］.北京：北京大學出版社，2021．

［4］胡連成，朱浩然.基于思維發(fā)展的單元復習課的實踐與思考——以銳角三角函數(shù)單元復習為例［J］.中小學教學研究，2023，24（1）：56--62．