張曉華　盧冠明　王娟

摘 要：為了達(dá)到數(shù)學(xué)課服務(wù)專業(yè)課的目的，本文以物流管理專業(yè)為例，設(shè)計(jì)齊次線性方程組解的結(jié)構(gòu)的教學(xué)方案，將思政元素有機(jī)地浸潤(rùn)于課程內(nèi)容中，通過(guò)典型的專業(yè)案例分析，讓學(xué)生掌握齊次線性方程組解法的同時(shí)，培養(yǎng)了學(xué)生解決專業(yè)問(wèn)題的數(shù)學(xué)思想，達(dá)到學(xué)以致用的目的.

關(guān)鍵詞：齊次線性方程組；基礎(chǔ)解系；物流共享

2020年5月教育部發(fā)布了《高等學(xué)校課程思政建設(shè)指導(dǎo)綱要》（以下簡(jiǎn)稱《綱要》），其中指出“要全面推進(jìn)高校課程思政建設(shè)，發(fā)揮好每門課程的育人作用，提高高校人才培養(yǎng)質(zhì)量.”《綱要》對(duì)推進(jìn)高校課程思政建設(shè)進(jìn)行了整體設(shè)計(jì)，其中高等職業(yè)學(xué)校根據(jù)高職專業(yè)分類和課程設(shè)置情況，分類推進(jìn).《線性代數(shù)》是高職院校經(jīng)濟(jì)管理專業(yè)的一門重要基礎(chǔ)課程，是學(xué)習(xí)后繼課程的工具.在思政教改項(xiàng)目中，我們深挖教學(xué)內(nèi)容和教學(xué)案例，將思政元素有機(jī)地浸潤(rùn)到課程內(nèi)容中.為了實(shí)現(xiàn)基礎(chǔ)課服務(wù)專業(yè)課的目的，我們與專業(yè)課教師研討，增加專業(yè)案例，讓學(xué)生達(dá)到學(xué)以致用的目的.

以物流管理專業(yè)為例，在物流公司的運(yùn)營(yíng)和管理等過(guò)程中，經(jīng)常會(huì)遇到需求預(yù)測(cè)、路徑規(guī)劃、庫(kù)存管理、約束優(yōu)化、風(fēng)險(xiǎn)管理以及數(shù)據(jù)分析等問(wèn)題.《線性代數(shù)》在解決這些問(wèn)題的過(guò)程中發(fā)揮著重要的作用.如何在《線性代數(shù)》的授課環(huán)節(jié)中體現(xiàn)物流管理的專業(yè)性，本文以齊次線性方程組的解為例展開(kāi)介紹.

1 總體目標(biāo)

1.1 知識(shí)目標(biāo)

通過(guò)課程學(xué)習(xí)，學(xué)生能夠掌握齊次線性方程組基礎(chǔ)解系的求法，以及王卿文教授提出的基礎(chǔ)解系的新求法，了解物流共享的概念.

1.2 能力目標(biāo)

通過(guò)學(xué)習(xí)研討，學(xué)生能夠利用齊次線性方程組的理論建立物流共享模式下，各物流公司定價(jià)的模型，解決專業(yè)問(wèn)題；學(xué)會(huì)利用數(shù)學(xué)軟件求解方程組的解.

1.3 思政目標(biāo)

通過(guò)介紹王卿文教授發(fā)現(xiàn)的基礎(chǔ)解系的新解法，增強(qiáng)學(xué)生的民族自信心；通過(guò)介紹物流行業(yè)高質(zhì)量發(fā)展，增強(qiáng)學(xué)生的職業(yè)歸屬感；意識(shí)到物流行業(yè)高速發(fā)展離不開(kāi)公路、鐵路等基礎(chǔ)建設(shè)的支撐，增強(qiáng)學(xué)生實(shí)現(xiàn)中華民族偉大復(fù)興的使命感.

2 教學(xué)過(guò)程

2.1 課前

職教云平臺(tái)發(fā)布作業(yè)：嘗試求解下列齊次線性方程組

求出上述齊次線性方程組后，請(qǐng)仔細(xì)觀察該齊次線性方程組的解，回答下列問(wèn)題：

Q1：該齊次線性方程組的解是否可以寫成向量的形式，如果可以的話，請(qǐng)將其寫成向量形式；

Q2：向量X₁＝（－2，1，1，0）是否是該齊次線性方程組的解？

Q3：向量X₂＝（2，－1，0，1）是否是該齊次線性方程組的解？

Q4：向量X₁＝（－2，1，1，0）和向量X₂＝（2，－1，0，1）是什么關(guān)系？

Q5：向量3X₁，5X₂是否是該齊次線性方程組的解，向量X₁＋2X₂是否是該齊次線性方程組的解？

Q6：嘗試給出未知量個(gè)數(shù)、系數(shù)矩陣的秩、自由變量個(gè)數(shù)之間的關(guān)系.

2.2 課中

評(píng)價(jià)作業(yè)、展示優(yōu)秀：教師評(píng)價(jià)小組作業(yè)，優(yōu)秀作業(yè)小組組長(zhǎng)上臺(tái)講解.

歸納總結(jié)、新知學(xué)習(xí)：由這六個(gè)問(wèn)題的答案，教師歸納總結(jié)并給出齊次線性方程組的性質(zhì)，由齊次線性方程組的性質(zhì)給出基礎(chǔ)解系的定義，并給出齊次線性方程組的解法.

案例分析、學(xué)以致用：雙十一各大購(gòu)物平臺(tái)打出一年中最優(yōu)惠的價(jià)格，激發(fā)了我們的購(gòu)買欲，如今的雙十一已經(jīng)成為了全民狂歡日.從2018年雙十一，單日物流訂單量首次突破了10億.一天10億包裹單，這是人類歷史上從未有過(guò)的貨物大遷徙，也是全球物流業(yè)從未經(jīng)歷過(guò)的包裹奇跡.我校學(xué)生連續(xù)多年在實(shí)訓(xùn)室見(jiàn)證了這一奇跡.從一天26萬(wàn)單爆倉(cāng)到一天10億單，作為物流專業(yè)的我們，有沒(méi)有想過(guò)，是什么讓中國(guó)物流“春運(yùn)”洪峰平靜如水地度過(guò)的呢？答案是國(guó)家智能物流骨干網(wǎng)的支撐作用.骨干網(wǎng)覆蓋全國(guó)，采用智能化、自動(dòng)化、信息化的技術(shù)手段，為物流企業(yè)提供便利、高效、安全的物流服務(wù).同時(shí)，骨干網(wǎng)具有開(kāi)放共享的發(fā)展方式，符合國(guó)家高質(zhì)量發(fā)展的精神.

現(xiàn)在假設(shè)有三家物流公司L₁，L₂，L₃.三家物流公司同意彼此運(yùn)輸工具實(shí)行資源共享，由于運(yùn)輸工具與成本不同，他們達(dá)成如下協(xié)議：

（1）每個(gè)公司總共工作10天（包括給自己公司運(yùn)輸在內(nèi)）；

（2）根據(jù)測(cè)算，每個(gè)公司的日收入在30至40萬(wàn)元；

（3）每個(gè)公司的日收入使得每個(gè)公司的總收入與總支出相等.

請(qǐng)計(jì)算每個(gè)公司應(yīng)得的日收入.

這是三家公司運(yùn)輸工具工作情況，表中的列，表示其中一家物流公司的交通工具在三家物流公司的工作情況.表中的行，表示三家物流公司的運(yùn)輸工具在某家物流公司的工作情況.

小組討論，建立模型：等量關(guān)系為每個(gè)公司的總支出與總收入相等，建模難度適中.通過(guò)小組討論，老師啟發(fā)，都能成功建立模型.請(qǐng)率先完成建模的小組代表上臺(tái)講解.模型如下，

設(shè)L₁，L₂，L₃三家公司的日收入分別為x₁，x₂，x₃，公司支出為工資，由總收入與總支出相等，建立方程組得

求解結(jié)果為

由于每個(gè)公司的日收入在30至40萬(wàn)元，可以選擇C＝36，這樣L₁，L₂，L₃三家物流公司的日收入分別為31萬(wàn)元、32萬(wàn)元、36萬(wàn)元.

為了讓學(xué)生對(duì)方程組的解有直觀的認(rèn)識(shí)，在這里鼓勵(lì)學(xué)生使用GeoGebra模擬該方程組的解，如下，

該齊次線性方程組未知量個(gè)數(shù)為3，系數(shù)矩陣的秩為2，自由變量個(gè)數(shù)為1，系數(shù)矩陣的秩小于未知量個(gè)數(shù)，由線性方程組解的判定可知，該方程組有無(wú)窮多解.從圖中可以看出該方程組的解為空間中的一條直線.

課程思政、樹(shù)立自信：介紹求解齊次線性方程組基礎(chǔ)解系的一種新方法，被稱為求解齊次線性方程組基礎(chǔ)解系最簡(jiǎn)單的方法.該方法是上海大學(xué)王卿文教授于上世紀(jì)90年代發(fā)現(xiàn)的，并將該方法編入自己編寫的教材《線性代數(shù)核心思想及應(yīng)用》.該方法與傳統(tǒng)方法略有不同，具體步驟如下：

第一步，將方程系數(shù)按列排列，后面加同型的單位矩陣，

第二步，對(duì)矩陣進(jìn)行行變換，將其化成行階梯型，

第三步，觀察后三列，即之前為單位陣的部分.后n－r行就是齊次線性方程組的一個(gè)基礎(chǔ)解系.

與傳統(tǒng)的解法相比，該方法不需要化成行最簡(jiǎn)型，簡(jiǎn)化了步驟.值得我們驕傲的是，這種方法是中國(guó)人發(fā)現(xiàn)的.我們所學(xué)的知識(shí)本就是發(fā)展的，經(jīng)歷了幾百年沉淀的數(shù)學(xué)內(nèi)容仍然可以改進(jìn)！日常的學(xué)習(xí)中，我們要善于思考，勤于探索，勇于創(chuàng)新.

練習(xí)鞏固、知識(shí)拓展：如果將上述例題中物流公司增加至九家，分別是L_i（i＝1，…，9）.這九家物流公司同意彼此實(shí)行資源共享，由于運(yùn)輸工具與成本不同，他們達(dá)成如下協(xié)議：

（1）每個(gè)公司總共工作25天（包括給自己公司運(yùn)輸在內(nèi)）；

（2）根據(jù)測(cè)算，每個(gè)公司的日收入在20至40萬(wàn)元；

（3）每個(gè)公司的日收入使得每個(gè)公司的總收入與總支出相等.

請(qǐng)計(jì)算每個(gè)公司應(yīng)得的日收入.

下表為九家公司運(yùn)輸工具工作情況：

小組討論、建立模型：該模型與之前的模型類似，完成度較好，但是由于物流公司較多，手工求解不現(xiàn)實(shí)，啟發(fā)學(xué)生用數(shù)學(xué)軟件Matlab求解.請(qǐng)完成度較好的小組代表展示小組討論結(jié)果，模型如下，

設(shè)L_i（i＝1，…，9）九家公司的日收入分別為x_i（i＝1，…，9），各個(gè)公司支出為工資，由總收入與總支出相等，建立方程組得

在Matlab命令窗口中輸入系數(shù)矩陣，利用null命令求解，得出結(jié)果

由于每個(gè)公司的日收入在20至40萬(wàn)元，可以選擇C＝21，這樣L_i（i＝1，…，9）九家公司的日收入分別約為29.4萬(wàn)元、31.7萬(wàn)元、36.2萬(wàn)元、34.3萬(wàn)元、32.7萬(wàn)元、23.6萬(wàn)元、38.2萬(wàn)元、28.9萬(wàn)元和21萬(wàn)元.

思政元素、感恩前行：中國(guó)物流行業(yè)的高質(zhì)量發(fā)展離不開(kāi)公路、鐵路、航空建設(shè)的支撐.不屈不撓的中國(guó)人逢山開(kāi)路、遇水架橋，為中國(guó)物流業(yè)的高質(zhì)量發(fā)展打下了堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)！

內(nèi)容總結(jié)：

（1）齊次線性方程組基礎(chǔ)解系的求法.

（2）齊次線性方程組基礎(chǔ)解系的最簡(jiǎn)單求法.

（3）了解物流共享模式下，各物流公司定價(jià)問(wèn)題.

布置任務(wù)：

（1）觀看課程資源庫(kù)，及時(shí)復(fù)習(xí)本節(jié)課內(nèi)容.

（2）完成課后指定作業(yè).

（3）預(yù)習(xí)非齊次線性方程組解的結(jié)構(gòu).

2.3 課后

（1）推送作業(yè).

（2）線上解答學(xué)生問(wèn)題.

（3）反思改進(jìn).

本節(jié)課課前布置任務(wù)，有效地引導(dǎo)學(xué)生小組討論，互幫互助，共同探討齊次線性方程組解的結(jié)構(gòu).其中發(fā)現(xiàn)個(gè)別學(xué)生積極性較差，依賴性較強(qiáng)，后面分組時(shí)需要考慮個(gè)體差異及同學(xué)間關(guān)系，充分調(diào)動(dòng)學(xué)生討論的積極性.課中點(diǎn)評(píng)小組作業(yè)，優(yōu)秀代表講解，激發(fā)學(xué)生的榮譽(yù)感及學(xué)習(xí)興趣.學(xué)生對(duì)于物流共享案例很感興趣，通過(guò)小組討論建模順利.數(shù)形結(jié)合，加深學(xué)生對(duì)方程組解的理解.王卿文教授發(fā)現(xiàn)齊次線性方程組的簡(jiǎn)單解法激發(fā)了學(xué)生的民族自豪感及創(chuàng)新意識(shí).對(duì)于未知量多的方程組求解，啟發(fā)學(xué)生用數(shù)學(xué)軟件求解.個(gè)別學(xué)生數(shù)學(xué)軟件使用不熟練，需要課后練習(xí).課后主要線上答疑，解決學(xué)生在做題過(guò)程中發(fā)現(xiàn)問(wèn)題.

3 結(jié)語(yǔ)

本次課結(jié)合專業(yè)案例，以小組協(xié)作的形式探究式地學(xué)習(xí)了齊次線性方程組解的結(jié)構(gòu).浸潤(rùn)式地融入了思政元素，包括王卿文教授發(fā)現(xiàn)基礎(chǔ)解系的最簡(jiǎn)單解法以及中國(guó)基建的發(fā)展為中國(guó)物流的高質(zhì)量發(fā)展提供了強(qiáng)有力的支撐.這些思政案例極大地激勵(lì)了學(xué)生的民族自豪感及職業(yè)歸屬感，本次課有效地達(dá)到了基礎(chǔ)課服務(wù)專業(yè)課的目的.

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