謝元琴

摘要：變式練習通過改變常規(guī)問題的形態(tài)、內容，驅動學生從不同角度思考問題，促進其思維的發(fā)散。將變式練習應用于初中數(shù)學教學，可豐富教學內涵。文章對變式練習的內涵、在初中數(shù)學教學中的應用理論基礎、注意事項進行分析，結合具體教學案例，對變式練習在初中數(shù)學教學中的應用策略進行研究，指出教師可通過整合資源、創(chuàng)設情境、專項練習、反思指正等方式指導學生參與變式練習，以提高初中數(shù)學教學質量，提升學生數(shù)學核心素養(yǎng)。

關鍵詞：變式練習；初中數(shù)學；教學策略；教學質量；核心素養(yǎng)

中圖分類號：G633.6文獻標志碼：A文章編號：1008-3561（2024）09-0097-04

初中數(shù)學課程以培養(yǎng)學生數(shù)學思維為目標，旨在通過教學使學生領悟客觀事物的本質屬性，學會基于數(shù)學概念、公式、模型等內容揭示數(shù)學對象之間、數(shù)學與現(xiàn)實之間的邏輯關系。練習教學作為初中數(shù)學教學的重要組成部分，具有檢驗不足、鞏固成果的作用?；A的記憶型習題能滿足練習教學的基礎要求，卻不具備引導學生探索不同數(shù)學問題通性、通法的功能。為發(fā)展學生數(shù)學思維，教師有必要對原有的練習題目進行優(yōu)化，借由變式練習開闊學生視野，提升學生綜合能力。

一、變式練習概述

變式是一種表現(xiàn)形式，具有通過變更對象的非本質特征突出其本質特征的特點[1]。在數(shù)學教學中，變式主要表現(xiàn)為概念性變式與過程性變式。其中，概念性變式適用于概念教學，通過改變概念的外延或改變一些可以混淆概念外延的屬性（如舉反例）突出概念本質，幫助學生領會相應概念所揭示的數(shù)學原理，強化其理性認識。過程性變式適用于教學全過程，旨在通過多角度教學引領學生排除學習干擾，掌握數(shù)學概念的本質屬性、數(shù)學思想方法的應用原理與技巧。

數(shù)學問題由兩部分構成，一為表示問題所求目的的表述內容，二為蘊藏在問題之中的數(shù)學關系、概念、原則等本質內容。通常情況下，問題變式改變數(shù)學問題的表述內容、形式結構，用以突顯問題的本質特征，引領學生掌握數(shù)學解題的本質規(guī)律。通過調整原問題的表述內容將其轉變?yōu)樾碌膯栴}的變式被稱為水平變式，這種變式未改變原問題的結構，不會增加學生的認知負荷，可用于鞏固學生解決類型習題的學習成果?；趩栴}的本質改變問題結構、提問方式并增加學生認知負荷的變式被稱為垂直變式，這種變式可用于思維訓練，幫助學生從各類看似不同的問題中歸納數(shù)學解題的通性、通法。

變式練習是通過問題變式訓練學生解題能力的一種教學手段，旨在靈活應用水平變式、垂直變式對基礎問題的表現(xiàn)形式、問題結構進行改變，培養(yǎng)學生辨析問題本質的能力。變式練習的重點在于明確“什么是變化的、什么是不變的”，基于不同問題之間變與不變的關系設置變式題組，驅動學生鏈接基礎知識與數(shù)學思想方法，促成其思維的進階與提高。

二、變式練習在初中數(shù)學教學中的應用理論基礎

1.變異理論

變異理論由瑞典哥德堡大學Marton教授提出，認為學習是獲得對周邊現(xiàn)象與事物認知的方式，核心在于獲得審辨事物和現(xiàn)象關鍵特征的能力，主張學生至少基于兩個有足夠差異的事例進行對比學習，提煉本質[2]。變異理論可大致分為分離、變異、對比三條策略。其中，分離策略指出，如果一個概念的其他屬性不變，唯一改變的那個屬性就會分離出來，被學生加以辨析。變異策略指出，通過旁證、反證的方式改變問題形式，可使學生感知問題的屬性變化。對比策略指出，通過對比呈現(xiàn)不同事物的關鍵特征可以幫助學生明確概念的屬性及其外延。以“相交線與平行線”一課教學為例，基于分離策略，教師可將“垂直”的概念分離出來，列舉標準正例，由此指導學生明確兩條直線互相垂直的基本形式?；谧儺惒呗?，教師可列舉兩條直線平行的案例，以舉反例的形式突出兩直線相互垂直的“相交”屬性?；趯Ρ炔呗裕處熆闪信e兩直線相交卻并不垂直的案例，以舉旁例的形式突出兩直線相交且有一個角是直角的本質屬性?；谧儺惱碚?，初中數(shù)學變式練習需要明確概念的外延，為學生提供更多通過分離、變異、對比感悟數(shù)學原理不變性的機會，使其在練習的過程中感知知識各維度的變化，形成完整認知。

2.嘗試教學法

嘗試教學法由邱學華教授提出，具有“先試后導、先練后講”的特點，通過有機組合閱讀法、討論法、談論法、演示法等多種教學法，建構綜合性強的教學課堂[3]。嘗試教學法提倡應用靈活的方式開展教學，包括以下三種方式。一是調換式，通過調換教學內容的位置使新、舊知的關聯(lián)更為緊密，實現(xiàn)遷移思維的培養(yǎng)。二是增添式，通過添加正例、旁例、反例等拓展教學內容，解釋教學重難點，提高教學內容的可理解性。三是結合式，通過結合出示教材中的理論教學內容與練習教學內容使“教”與“學”緊密結合，提高教學有效性。嘗試教學法打破一直以來的“先講后練”的教學模式，鼓勵學生自主應用已掌握的知識與方法解決問題，為其發(fā)散思維解決變式問題奠定基礎。基于此理論，教師可在練習教學中鼓勵學生嘗試應用多種知識、方法解決變式問題，使其在自主嘗試的過程中發(fā)現(xiàn)不同問題的本質關聯(lián)，領悟變式問題的“不變”本質，培養(yǎng)其積極思考、自主探索的學習習慣。

3.數(shù)學解題理論

數(shù)學解題理論見于羅增儒所著《數(shù)學解題學引論》，解答了“怎樣解決數(shù)學問題”[4]。該理論對數(shù)學問題的解題觀點、過程、方法、策略進行全方面探究，指出數(shù)學問題的編擬大致分為演繹法、倒推法、基本量法、模擬法、改編法、模型法。其中，改編法可作為初中數(shù)學變式練習的主要方法，如通過仿造、轉化、逆轉等方式改變數(shù)學問題的信息形態(tài)、條件或結論，實現(xiàn)問題變式。

三、初中數(shù)學教學應用變式練習的注意事項

1.要注意把控變式練習難度

變式練習要注意把控難度[5]。教師如果在變式練習中只改變問題中的數(shù)字、符號等不重要的信息，未對題目的結構、形式加以改變，就容易重蹈記憶型習題覆轍，影響學生對習題本質內容的探究。教師如果將多種數(shù)學思想方法融入習題中，改變習題的結構、細節(jié)等多項內容，就會加大習題難度，加重學生的認知負荷。只有控制變式練習的習題難度，才能使學生積極主動參與。因此，在組織變式練習之前，教師有必要分析學生的“最近發(fā)展區(qū)”，確定其學習起點與發(fā)展?jié)撃?，以把控問題變式難度。以“從三個方向看物體的形狀”一課教學為例，學生在課程學習中經(jīng)歷了觀察幾何體、繪制幾何體三視圖的學習過程，具有將幾何體轉化為平面圖形的能力。通過變式練習，學生能形成逆向思考能力，學會基于給出的平面圖形逆推幾何體?；凇白罱l(fā)展區(qū)”的分析結果，教師可圍繞典型例題設計難度適中的變式習題。其中，典型例題有：出示某一幾何體，要求辨認或繪制出該圖形的三視圖。變式習題有：出示由相同大小正方體構成幾何體的三視圖，要求學生推理構成幾何體的正方體的數(shù)量；給出構成幾何體正方體的數(shù)量及俯視圖，并在俯視圖上標注不同區(qū)域正方體數(shù)量，要求學生繪制出該幾何體的正視圖；給出由數(shù)個小正方體構成的幾何體的正視圖與左視圖，要求學生推測構成該幾何體的正方體至少有幾個。變式問題圍繞“基于幾何體判斷并畫出三個方向看到的平面圖形”與“根據(jù)平面圖形想象所描述的幾何體”兩類知識展開，能有效訓練學生聯(lián)想、抽象等數(shù)學思維。

2.要注意把控變式練習數(shù)量

變式練習的精髓在于通過改變問題的非本質特征突出問題本質，引領學生多角度解答問題，提高其思維水平[6]。變式練習的重點在“質”不在“量”。即使設計再多形式單一、內容空洞的題目，也無法實現(xiàn)對學生類比、推理、抽象等思維的有效培養(yǎng)。實際教學中，教師有必要對變式練習內容進行審核，剔除過多水平變式的低級數(shù)學問題，保留具有典型特征的垂直變式習題，在減輕學生解題負擔的同時，保證其練習的有效性。

四、變式練習在初中數(shù)學教學中的應用策略

1.奠基：整合習題為變式練習提供資源支持

在初中數(shù)學教學中，習題可作為“對話”的載體，引導學生與教師、與教材對話，使其在解決問題的過程中明確教學內容的內涵與功能，積累基本的學習經(jīng)驗[7]。變式問題可作為初中數(shù)學變式練習的載體，用于“匹配”理論知識、現(xiàn)實問題，使學生在參與變式練習的過程中感悟不同類型問題的本質特征，掌握解決問題的通性、通法。整合變式問題，是使變式練習有序進行的前提。練習教學之前，教師有必要圍繞教學主題收集、整理多種類型的數(shù)學練習題，以此為教學提供資源支持。整合習題時，教師需要遵循以下原則：一是主題化原則，即選擇與課程本質內容相關的問題；二是個性化原則，即根據(jù)學生的知識水平合理編排變式問題；三是現(xiàn)代化原則，即根據(jù)教學改革需要調整習題內容。

以北師大版七年級數(shù)學下冊“探索三角形全等的條件”一課變式練習為例，教師首先要明確教學主題，如三角形的概念和性質，三角形“邊邊邊”“邊角邊”“角邊角”的全等條件等，其次要明確學生對該課知識的掌握情況以及解決典型問題能力的發(fā)展情況，最后要明確數(shù)學課程標準關于此課的教學要求，如發(fā)展學生的抽象能力、推理能力等。根據(jù)以上分析，教師可整理教材內外的變式問題資源，如給出全等三角形圖片，要求寫出兩個三角形的對應邊和對應角；給出兩個全等三角形圖片，要求判斷某兩條邊是否相等。

2.增趣：創(chuàng)設生動教學情境營造和諧氛圍

興趣具體表現(xiàn)為對某件事物、某項活動的選擇性態(tài)度和積極的情緒反應[8]。學生只有對變式練習產(chǎn)生興趣，才能夠把注意力、感知力集中在練習對象上，從而提高練習效率。培養(yǎng)練習興趣，需要教師采取科學方法。興趣轉移是一種既簡單又高效的教學方法，提倡將學生感興趣的人、事、物與教學內容巧妙聯(lián)系起來，使學生基于已存在的興趣發(fā)展更多學習興趣。情境基于教學需要，以生動形象、富有感情色彩的場景或氛圍為主體，吸引學生主動學習，具有興趣轉移的功效。教師可在變式練習中基于學生原有興趣創(chuàng)設情境，將變式問題與現(xiàn)實生活中的人、事、物巧妙聯(lián)系起來，激發(fā)學生探究興趣，使其在和諧的氛圍下主動討論解決變式問題的原理與方法。

以北師大版八年級數(shù)學上冊“一次函數(shù)的應用”一課的變式練習為例，為使學生對行程問題、工程問題、利潤最大值問題、費用最低問題、調運問題、體積問題等不同類型的一次函數(shù)問題產(chǎn)生探究興趣，教師可結合學生感興趣的花壇改造、操場改造創(chuàng)設生活情境：校長計劃將校內兩段長度相等的甬路改造為透水甬路，由甲施工隊負責這一項目，那么施工隊的施工時間、所改造的甬路長度與施工隊的施工速度有怎樣的關系？是否可以用函數(shù)圖像表示出來？通過創(chuàng)設情境將現(xiàn)實場景與初中數(shù)學“一次函數(shù)”相關問題緊密相連，將學生對生活問題的興趣轉移到“一次函數(shù)的應用”問題上。在此基礎上，教師可組織學生圍繞情境問題展開討論，鼓勵其大膽說出自身的觀點，提出更多變式問題，使其在聽、說、問、答過程中體會變式練習的趣味性，形成主動探索變式問題的積極態(tài)度。

3.提效：靈活選擇教學方法提高教學效果

初中數(shù)學課程涉及數(shù)、整式、方程、函數(shù)、幾何變換、幾何判定、數(shù)據(jù)分析等教學內容。不同教學內容的形式、特征不同，其授課方式自然有所區(qū)別。因此，教師應靈活選擇教學方法，確保變式練習內容與課程教學主題相契合。

（1）一題多變。一題多變指的是圍繞某一問題進行條件變換、結論探索、逆向思考、圖形變化，將這一問題轉變?yōu)槠渌麊栴}，由此培養(yǎng)學生舉一反三、觸類旁通的能力。一題多變包括條件變式、結論變式、逆向變式、圖形變式、分解變式、推廣應用等。其中，條件變式指對題目的某一條件進行變式，從而得到一類變式題組，使學生掌握一類問題的題型結構，加深學生對問題本質的認識。結論變式指對題目的結論進行變式，如橫、縱向拓展等，由此得到一類變式題組，引導學生運用類比、聯(lián)想等發(fā)散思維分析問題，從而培養(yǎng)學生觸類旁通的能力。逆向變式指從逆向的角度思考原問題，變換問題形式，引導學生探究所解決命題的逆命題，由此培養(yǎng)學生的逆向思維與創(chuàng)新能力。圖形變式指以基本圖形為“生長點”，采取變換、引申等方式將其變?yōu)橄嚓P圖形，由此得到變式題組，培養(yǎng)學生的對比觀察能力、識圖能力、想象能力、變化能力等幾何能力。根據(jù)授課內容特征，教師可有針對性地選取某種變式方法組織變式練習，對學生進行訓練。

（2）一題多解。一題多解指的是圍繞同一個問題，組織學生基于自身的知識基礎，從不同的角度出發(fā)提出猜想，運用不同的方法嘗試解答問題。開展一題多解教學活動，有利于發(fā)散學生思維，培養(yǎng)其創(chuàng)新意識和思考能力。在一題多解練習中，教師需要尊重學生的主體性，使其在自主思考、合作探究的過程中綜合運用所學概念、公式、數(shù)學模型，嘗試不同的解題方法。

4.鞏固：客觀反思為變式練習鞏固教學成果

不同變式題組要求學生運用不同的數(shù)學知識、思想方法進行解答。部分學生在解答變式問題時思維混亂，教師要及時指導學生反思變式練習內容，使其發(fā)現(xiàn)變式題組的本質關聯(lián)，從而真正發(fā)揮變式練習的功能，確保學生綜合能力得到提高。以北師大版九年級數(shù)學下冊“二次函數(shù)與一元二次方程”一課的變式練習為例，教師可設計已知二次函數(shù)表達式及其圖像求關于未知數(shù)x的一元二次方程的變式題組，判斷關于x的二次方程的解的范圍的變式題組，求商場、服裝店、文具店降價銷售利潤的變式題組等。完成計算題、應用題等變式練習后，教師可從兩方面引導學生進行反思。一方面，引導學生反思原問題與變式問題之間的聯(lián)系與區(qū)別。另一方面，引導學生反思原問題與變式問題解法之間的區(qū)別與聯(lián)系。此外，教師還可引導學生從更多的角度反思變式問題的解法，如構造函數(shù)的方法、求函數(shù)圖像面積的方法等，幫助其跳出思維定式。

五、結語

變式練習的優(yōu)勢在于通過水平、垂直變式的方式逐漸增加學生的認知負荷，使其在觀察、對比、分析不同問題的過程中感悟數(shù)學問題的本質屬性，體會“變”與“不變”的辯證關系，扎實掌握數(shù)學規(guī)律。變式練習應用于初中數(shù)學教學，需要教師明確學生的基本情況，根據(jù)其學習需要把控變式的難度與問題練習數(shù)量，以免加重學生學習負擔，影響其學習積極性。同時，教師還應結合課程教學基本情況組織練習內容、創(chuàng)設練習情境、組織專項練習，鞏固學生的學習成果。此外，教師應負起指導責任，定時組織學生反思階段性學習成果，確保其建構脈絡清晰的知識體系。

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[7]朱海燕.初中數(shù)學變式教學的應用研究[J].數(shù)學大世界，2022（09）： 6-8.

[8]李玉雪.淺談變式訓練在初中數(shù)學教學中的應用與思考[J].名師在線，2022（24）：61-63.

Research on the Application of Variant Exercises in Junior Middle School Mathematics Teaching

Xie Yuanqin

（Xindian Middle School， Qingzhen City， Guizhou Province， Qingzhen 551405， China）

Abstract： Variant exercises drive students to think about problems from different perspectives and promote their divergent thinking by changing the form and content of conventional problems. Applying variant exercises to junior middle school mathematics teaching can enrich the teaching content. The article analyzes the connotation of variant exercises， the theoretical basis of their application in junior middle school mathematics teaching， and the precautions to be taken. Combining with specific teaching cases， it studies the application strategies of variant exercises in junior middle school mathematics teaching. It points out that teachers can guide students to participate in variant exercises by integrating resources， creating situations， specialized exercises， reflecting and correcting， in order to improve the quality of junior middle school mathematics teaching and enhance students mathematical core competence.

Key words： variantexercises； juniormiddleschoolmathematics； teachingstrategies； teachingquality； corecompetence