劉愛(ài)峰

【摘要】從一道大小比較題目的解決，可以領(lǐng)略數(shù)學(xué)技巧、數(shù)學(xué)思想、數(shù)學(xué)方法等數(shù)學(xué)思維之美，從而體會(huì)到較復(fù)雜的大小比較問(wèn)題是培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)思維能力的重要載體.

【關(guān)鍵詞】大小比較；高中數(shù)學(xué)，數(shù)學(xué)思維

題目? 對(duì)于n>1，n∈N+，試比較logn（n+1）與logn+1（n+2）的大小.

這是經(jīng)常見(jiàn)到的大小比較問(wèn)題，通常有以下三種解法.

解法1? 作差比較法

logn（n+1）－logn+1（n+2）

=1logn+1n－logn+1（n+2）

=1－logn+1n·logn+1（n+2）logn+1n>

1－logn+1n+logn+1（n+2）22logn+1n

=1－logn+1（n2+2n）22logn+1n>

1－logn+1（n+1）222logn+1n=0.

所以logn（n+1）>logn+1（n+2）.

解法2? 作商比較法

由已知得logn（n+1）>0，logn+1（n+2）>0.

logn+1（n+2）logn（n+1）=logn+1（n+2）·logn+1n

所以logn（n+1）>logn+1（n+2）.

解法3? logn（n+1）－logn+1（n+2）=logn（n+1）－logn（n+2）logn（n+1）

=log2n（n+1）－logn（n+2）logn（n+1），

而logn（n+2）=logn（n+2）·lognn

=logn（n2+2n）22

所以logn（n+1）>logn+1（n+2）.

點(diǎn)評(píng)? 以上三種解法，看似不同，實(shí)質(zhì)相同：基本思路都是作差或作商，先化為同底的對(duì)數(shù)，然后再進(jìn)行不等式的放縮變換，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)技巧的靈活運(yùn)用.特別是解法3中將logn（n+2）化成logn（n+2）·lognn達(dá)到了與log2n（n+1）次數(shù)相同，然后進(jìn)行放縮變換也體現(xiàn)了對(duì)數(shù)學(xué)式的較高感悟能力，有初步的構(gòu)造思維.然而，以上三種解法都體現(xiàn)了對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的工具性理解：比較大小通常的辦法就是作差、作商，然后逢山開(kāi)路、遇水架橋.這種比較大小的最初體驗(yàn)在小學(xué)：兩個(gè)分?jǐn)?shù)的大小比較方法就是作差—化同分母，或作商—看比值.這種認(rèn)識(shí)的固化就是這三種解法的思路來(lái)源.

下面的解法會(huì)讓你耳目一新，然追根溯源又在情理之中.

解法4? 由已知得logn（n+1）>1，logn+1（n+2）>1.

所以可設(shè)logn（n+1）=1+α，logn+1（n+2）=1+β（α，β為正常數(shù)），

所以n+1=n1+α，n+2=n+11+β，

所以1+1n=nα，1+1n+1=（n+1）β.

易得1+1n>1+1n+1，

于是nα>（n+1）β>nβ，

所以α>β，

故logn（n+1）>logn+1（n+2）.

點(diǎn)評(píng)? 通過(guò)巧妙設(shè)元，將對(duì)數(shù)形式轉(zhuǎn)化成了一邊是整式另一邊是冪函數(shù)形式，下一步又將其轉(zhuǎn)化為一邊是1+1n和1+1n+1，另一邊為nα和（n+1）β的形式，有多少學(xué)生能夠想到呢？追根溯源，這種想法也應(yīng)該能想到，對(duì)數(shù)與指數(shù)本來(lái)就是可以互化的，化成冪函數(shù)形式毫不稀奇，然而轉(zhuǎn)化成一邊是1+1n和1+1n+1則有直覺(jué)思維的成分，需要較高的數(shù)學(xué)素養(yǎng).

解法5? 由已知得logn（n+1）>1，logn+1（n+2）>1.

logn（n+1）－1=ln（n+1）lnn－1=ln1+1nlnn，

logn+1（n+2）－1=ln（n+2）ln（n+1）－1

=ln（1+1n+1）ln（n+1）.

因?yàn)?

所以1lnn>1ln（n+1）.

又ln1+1n>ln1+1n+1>0，

所以ln1+1nlnn>ln1+1n+1ln（n+1）.

所以logn（n+1）>logn+1（n+2）.

點(diǎn)評(píng)? 這個(gè)解法是不是更新奇？該思路的產(chǎn)生是基于：logn（n+1）和logn+1（n+2）都只比1大“一點(diǎn)點(diǎn)”，它們都減去1，只比較剩下的部分就行了.追根溯源，就像是小學(xué)生比較54和65的大小，有的學(xué)生是這樣思維的：假設(shè)有5個(gè)蘋果平均分給4個(gè)人，當(dāng)然是每人先分一個(gè)蘋果，然后再分剩下的那1個(gè)蘋果，每人分14；假若有6個(gè)蘋果分給5個(gè)人，則每人先分一個(gè)蘋果后，再分剩下的一個(gè)蘋果每人再得15.顯然54>65.只是讓人興奮的是：logn（n+1）和logn+1（n+2）減1后形成的分式恰好分子與分母的單調(diào)性是相反的.

通過(guò)以上五種解法，領(lǐng)略了數(shù)學(xué)思維之美.對(duì)上述內(nèi)容進(jìn)行概括，logn（n+1）與logn+1（n+2）的大小比較問(wèn)題實(shí)質(zhì)上就是函數(shù)f（x）=logx（x+p）（x>1，p為正常數(shù)）的單調(diào)性問(wèn)題，由解法5我們不難證明函數(shù)f（x）=logx（x+p）（x>1，p為正常數(shù)）為單調(diào)遞減函數(shù).

證明? 設(shè)1

則f（x1）=logx1（x1+p）=ln（x1+p）lnx1－1+1=ln1+px1lnx1+1，

f（x2）=logx2（x2+p）

=ln（x2+p）lnx2－1+1=ln1+px2lnx2+1.

由10，

知1+px1>1+px2>1，

ln1+px1>ln1+px2>0，

由lnx2>lnx1>0，

知1lnx1>1lnx2>0，

所以ln1+px1lnx1>ln1+px2lnx2.

所以f（x1）>f（x2）.

所以函數(shù)f（x）=logx（x+p）（x>1，p為正常數(shù)）為單調(diào)遞減函數(shù).

當(dāng)然，也可以用導(dǎo)數(shù)證明該函數(shù)的單調(diào)性.至此類似logn（n+1）與logn+1（n+2）的大小比較問(wèn)題可以說(shuō)得到了較完美的解決.