施婭林

摘 要：小學(xué)數(shù)學(xué)教材中的思考題是發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)思維能力的有效載體。對此，我們可以將思考題“串”著教：把內(nèi)容“串”起來，從碎片走向整體；把方法“串”起來，從經(jīng)驗轉(zhuǎn)向模型；把思維“串”起來，從淺層邁向深度。從而，促進學(xué)生在結(jié)構(gòu)化的學(xué)習(xí)活動中獲得個體知識的建構(gòu)和生長以及思維的深度發(fā)展。

關(guān)鍵詞：小學(xué)數(shù)學(xué)；思考題；結(jié)構(gòu)化

一、課前思考

蘇教版小學(xué)數(shù)學(xué)教材通常會在某一主題學(xué)習(xí)的練習(xí)中或者單元復(fù)習(xí)的最后編排一道思考題。這些思考題側(cè)重探究有趣的數(shù)學(xué)現(xiàn)象或數(shù)學(xué)規(guī)律，旨在引導(dǎo)學(xué)生在解決問題的過程中了解相關(guān)的數(shù)學(xué)原理，體會其中蘊含的數(shù)學(xué)思想，提高解決問題的能力。學(xué)生在研究并解答這些問題的過程中，會獲得更多的數(shù)學(xué)發(fā)展，特別是思維的發(fā)展。可見，與一般的練習(xí)題相比，思考題綜合性更強、更具生長性，是發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)思維能力的有效載體。但在實際教學(xué)中，很多教師會將思考題當(dāng)成孤立的“點”，就題講題，導(dǎo)致學(xué)生停留在“解決問題”層面。

蘇教版小學(xué)數(shù)學(xué)二年級下冊《認(rèn)識萬以內(nèi)的數(shù)》單元“練習(xí)三”（見下頁圖1）和“復(fù)習(xí)課”中的思考題（見下頁圖2），在知識和方法上有相通之處，如果把它們當(dāng)作兩道題分別來解決，學(xué)生很難發(fā)現(xiàn)這兩道思考題在思維上的一致性，難免會造成知識“碎片化”、學(xué)生視野狹窄化，從而導(dǎo)致學(xué)生無法建構(gòu)完整的、聯(lián)系的、發(fā)展的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，也阻礙了學(xué)生推理意識和思維能力的發(fā)展。

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》（以下簡稱“新課標(biāo)”）在“教學(xué)建議”部分提出，“注重教學(xué)內(nèi)容的結(jié)構(gòu)化” ?［1］ ，“通過合適的主題整合教學(xué)內(nèi)容，幫助學(xué)生學(xué)會用整體 ??的、聯(lián)系的、發(fā)展的眼光看問題，形成科學(xué)的思維習(xí)慣，發(fā)展核心素養(yǎng)” ?［2］ 。因此，筆者從內(nèi)容、方法、思維三個方面，將這兩道思考題“串”起來，設(shè)計結(jié)構(gòu)化的學(xué)習(xí)活動。

二、課中踐行

（一）研究3個數(shù)字組成三位數(shù)

1.從個別到一般，由直觀到抽象

師 ???喜歡玩游戲嗎？今天我們一起來玩組數(shù)游戲，就是用幾張數(shù)字卡片擺幾位數(shù)。你們猜：3張數(shù)字卡片可以擺出幾個三位數(shù)？

（學(xué)生的答案各不相同。）

師 ??究竟是幾個呢？一起來擺一擺。用數(shù)字卡片2、3、4擺出不同的三位數(shù)。

（學(xué)生操作數(shù)字卡片，教師巡視，收集典型擺法。）

師 ????（展示學(xué)生擺法，如圖3所示） 這幾種擺法中，你更喜歡哪種？請用手勢告訴我。

（大多數(shù)學(xué)生選擇擺法1，少數(shù)學(xué)生選擇擺法2，個別學(xué)生選擇擺法3，沒有學(xué)生選擇擺法4。）

師 ??這么多同學(xué)選擇擺法1，誰來說說你的理由？

生 ??因為擺法1是從百位開始從小到大地擺的，這樣比較有序，而且寫數(shù)就是從高位開始寫的，比較方便。擺法4沒有按順序擺，容易漏掉一些情況。

生 ??我覺得擺法2和擺法3也有序啊，擺法2是按個位從小到大地擺的，擺法3是按百位從大到小地擺的。

生 ??我覺得按首位或末位從大到小、從小到大擺都是有序的，只不過我們比較習(xí)慣按首位從小到大地擺。

（學(xué)生紛紛表示贊同。）

師 ??確實，只要是有序思考，都可以。既然現(xiàn)在大家都同意擺法1，誰能上臺來邊指邊說，是怎樣擺的？

生 ???（同步指） 這里的百位都是2 （教師將兩個2圈起來） ，后面的3和4交換 （教師畫交叉線） ；后面也是一樣的，3不變，2和4交換……

（教師隨著學(xué)生的指、說同步操作，最終板貼如圖4所示。）

師 ??像這樣先固定一個數(shù)位，再把剩下的2張卡片交換位置。這樣有序地思考就能不重復(fù)、不遺漏地找到所有不同的三位數(shù)。2、3、4這3張數(shù)字卡片一共組成了幾個三位數(shù)？

生 ??6個，3×2等于6。

（教師組織學(xué)生活動，先全班一起再同桌互相玩抽卡片組數(shù)的游戲。游戲規(guī)則如下：一人抽取3張不同的數(shù)字卡片，其他人有序、完整地說出由它們組成的三位數(shù)。在活動中，學(xué)生都能快速、完整地說出三位數(shù)。）

師 ???（同屏對比3組游戲結(jié)果） 剛才用3張數(shù)字卡片擺出所有的三位數(shù)，都是怎么擺的？

生 ??都是固定首位，后面的兩個數(shù)交換位置。

生 ??首位的數(shù)從小到大有序思考。

師 ??真了不起，從不一樣的數(shù)字中發(fā)現(xiàn)了一樣的方法！為了方便交流，我們有序地給3張卡片標(biāo)上序號，第1張，第2張，第3張，誰能到前面來用剛才的方法邊擺邊說？

（學(xué)生用有標(biāo)號的卡片擺數(shù)，板貼如圖5所示。）

師 ???（指圖5） 用像這樣的3張數(shù)字卡片擺出了幾個三位數(shù)？是怎么得到的？

生 ??6個，每張數(shù)字卡片依次放在首位都有2個數(shù)，3個2就是6。

師 ??通過剛才的研究，我們知道，一般情況下，3張不同的數(shù)字卡片可以組成6個不同的三位數(shù)。

［ 說明： 課始，從學(xué)生的興趣入手，創(chuàng)設(shè)游戲活動，從一個到多個，從直觀到抽象，引導(dǎo)學(xué)生積極參與研究。 首先，教師設(shè)計了3個數(shù)的組數(shù)游戲。有的學(xué)生擺法無序，有的學(xué)生按照中間數(shù)從小到大地擺，有的學(xué)生能夠找到首位或者個位有序地擺，所有學(xué)生都能主動地思考。在第一輪活動方法指導(dǎo)與歸納的基礎(chǔ)上，教師又組織了第二輪游戲，但是形式上有所改變，提高了對學(xué)生的要求，需要學(xué)生有序、完整地說出所有的數(shù)，訓(xùn)練學(xué)生在頭腦中快速、有序地“擺”卡片。從動手操作到在頭腦中“擺”，為學(xué)生搭建了從直觀思維到抽象思維的橋梁。最后，從3組數(shù)據(jù)中引導(dǎo)學(xué)生抽象出3個數(shù)組成三位數(shù)的一般模型，逐步從直觀思維邁向抽象思維。 ］

2.從一般到特殊，由淺表到深入

師 ??3張數(shù)字卡片都能組成6個三位數(shù)嗎？

生 ??是的。

生 ??不一定，萬一有0呢？

師 ??看來有一些特殊情況。小組合作，將你們的發(fā)現(xiàn)記錄在練習(xí)單上。

（學(xué)生討論非常激烈，小組內(nèi)互相補充。）

師 ??請一個小組分享他們的發(fā)現(xiàn)。

生 ??0、2、3，只有4個三位數(shù)。

生 ??有2個相同數(shù)，比如1、1、3，只有3個三位數(shù)。

生 ??有相同數(shù)又有0，比如0、2、2，只有2個三位數(shù)。

生 ??有2個0，比如0、0、2，只有1個三位數(shù)，就是200。

［ 說明： 由3組數(shù)據(jù)的一般情況歸納到普適性模型的建立，是有一段思考過程的。這一過程中，大腦需要對復(fù)雜情況進行處理，比如對一些思維沖突的問題，學(xué)生需要打破已有觀念，思維才能從淺表逐步深入。教學(xué)中，教師請學(xué)生猜測3張數(shù)字卡片能組幾個三位數(shù)。根據(jù)剛剛建立的模型，學(xué)生很容易猜測是6個，教師沒有直接下結(jié)論，而是讓學(xué)生充分思考，舉例特殊情況，打破常規(guī)思維，從而使思維更加深刻。 ］

3.從特殊到一般，由形式到本質(zhì)

師 ??誰能解釋下一般情況下3張數(shù)學(xué)卡片可以擺出6個三位數(shù)，為什么這些情況下會少呢？

生 ??因為0不能放在首位。 （展示圖6） 但是有2個要畫去。

師 ??三個數(shù)字分別是1、1、3，有幾個三位數(shù)？少了哪幾個？

（學(xué)生不能直接說出答案。）

師 ??我們一起來寫一寫，寫完你有什么發(fā)現(xiàn)？

（學(xué)生說，教師寫在黑板上，再畫去重復(fù)的情況，板書如圖7所示。）

生 ??其實3張數(shù)字卡片都可以寫出6個數(shù)，但是要把不符合條件的和重復(fù)的刪掉。

師 ??是的，由于0在首位和重復(fù)等特殊情況，3張數(shù)字卡片組成數(shù)的個數(shù)比6個少。

［ 說明： 從特殊出發(fā)，深入研究特殊情況的本質(zhì)，才能將特殊情況歸納到一般模型中。而特殊情況的研究較為困難，教師可以引導(dǎo)學(xué)生將思維的過程展開，使其可視，以促進理解更加直觀、深刻。教師請學(xué)生列舉出特殊情況之后，引導(dǎo)學(xué)生先按照一般情況將所有3張數(shù)字卡片組數(shù)，再排除掉不符合的情況。學(xué)生在展開思維的過程中，理解了特殊情況的本質(zhì)：有1個0 時，0不能放在首位，從6個中去掉2個，就是4個；有2個相同的數(shù)（沒有0）時，交換表示的數(shù)一樣，從6個中去掉3個，就是3個。從一般到特殊，從形式到本質(zhì)，打通了一般情況和特殊情況，建立了普適性的組數(shù)模型。 ］

（二）探究4個數(shù)字組成四位數(shù)

1.從基礎(chǔ)到進階，由模仿到創(chuàng)新

師 ??3張數(shù)字卡片的組數(shù)游戲通關(guān)了，敢挑戰(zhàn)更高難度的嗎？ （PPT出示數(shù)字卡片1、2、3、4） 覺得自己能又快又全地找到這4張數(shù)字卡片組成的所有四位數(shù)的請舉手！

（全班學(xué)生都非常興奮地高高舉起手。）

師 ??把你們的想法先在小組里交流一下，再動筆試一試。

（教師巡視，發(fā)現(xiàn)很多學(xué)生一開始寫1234、1243，接著寫2134、2143。在充足的時間內(nèi)都能改正，并有序、完整地寫出所有四位數(shù)。）

［ 說明： 波利亞說：“學(xué)習(xí)任何知識的最佳途徑就是自己去發(fā)現(xiàn)，因為這種發(fā)現(xiàn)理解最深，也最容易掌握其中的規(guī)律、性質(zhì)和聯(lián)系?！?張數(shù)字卡片組數(shù)和4張數(shù)字卡片組數(shù)從形式上看較為相似，學(xué)生的初步感知就是數(shù)量上的增多，但其實是思維上的進階，不是單純地模仿。因此，當(dāng)學(xué)生自主探究4張數(shù)字卡片組數(shù)，直接從形式上進行模仿遇到困惑時，教師并沒有直接給出方法，而是給學(xué)生足夠的時間去思考、嘗試和交流，讓學(xué)生經(jīng)歷“感知外形相似—嘗試模仿—嘗試失敗—再次調(diào)整”這一完整的學(xué)習(xí)過程，從而明晰模型的本質(zhì)。 ］

2.從局部到整體，由零散到結(jié)構(gòu)

師 ??觀察這些數(shù)，你有什么發(fā)現(xiàn)？

生 ??確定千位是1后，就可以轉(zhuǎn)化成了3張數(shù)字卡片擺三位數(shù)的情況。

（學(xué)生指黑板上數(shù)字卡片2、3、4擺出的三位數(shù)，教師畫箭頭，最終的板貼如下頁圖8所示。） ???生 ??其實千位是2、3、4的方法和千位是1的方法在道理上是一樣的。

師 ??原來4張數(shù)字卡片可以轉(zhuǎn)化成3張數(shù)字卡片組數(shù)，那4張數(shù)字卡片可以擺多少個不同的四位數(shù)？

生 ??24個。

師 ??通常不同的4張數(shù)字卡片能組成24個四位數(shù)。會不會有特殊情況呢？

生 ??有0或者相同的數(shù)。

（學(xué)生嘗試獨立完成特殊情況的探究。）

［ 說明： 通過合適的主題整合教學(xué)內(nèi)容，引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷遷移的過程，學(xué)會用整體的、聯(lián)系的、發(fā)展的眼光看問題。教師將3張數(shù)字卡片和4張數(shù)字卡片組數(shù)內(nèi)容進行整合，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)4張數(shù)字卡片組數(shù)時，當(dāng)確定了1張數(shù)字卡片后，就轉(zhuǎn)化成剩下的3張數(shù)字卡片組數(shù)，從深層次建立了與3張數(shù)字卡片組三位數(shù)結(jié)構(gòu)上的聯(lián)系。 ］

（三）推想多個數(shù)字組成多位數(shù)

師 ??5張數(shù)字卡片的組數(shù)又會怎樣呢？

生 ??應(yīng)該組成的數(shù)更多，是5×24個。

生 ??24是4個數(shù)字組成的四位數(shù)個數(shù)，5個數(shù)字組數(shù)，可以先確定萬位上的數(shù)，后面的就跟4個數(shù)字組數(shù)一樣了。

師 ??原來道理還是一樣的，又把5個數(shù)字轉(zhuǎn)化成了4個數(shù)字的組數(shù)問題。那6張數(shù)字卡片的組數(shù)你猜有幾個？

生 ??6×5×24。

師 ??24是怎樣得到的？

生 ??4×3×2=24。

師 ??是的，你發(fā)現(xiàn)了什么？為什么？和你的同桌說一說。

生 ??幾個數(shù)組幾位數(shù)的個數(shù)就是從幾開始乘，乘到2。因為都可以往前推，6個數(shù)組成六位數(shù)和5個數(shù)組成五位數(shù)有關(guān)，5個數(shù)組數(shù)和4個數(shù)組數(shù)有關(guān)……

師 ??看來理解了知識的本質(zhì)，學(xué)會了方法，這些問題就都打通了。同學(xué)們可以自己課后去試一試，驗證一下。

［ 說明： 經(jīng)歷研究3個數(shù)字組數(shù)的操作過程，以及4個數(shù)字組數(shù)的遷移，建立組數(shù)的數(shù)學(xué)模型，學(xué)生已經(jīng)學(xué)會用聯(lián)系的眼光看5個、6個等數(shù)字的組數(shù)問題。教師引導(dǎo)學(xué)生推想多個數(shù)字組數(shù)的問題，就是延伸思維，打通所有的組數(shù)問題。 ］

三、課后反思

（一）把內(nèi)容“串”起來，從碎片走向整體

新課標(biāo)指出，在教學(xué)中要重視對教學(xué)內(nèi)容的整體分析，幫助學(xué)生建立能體現(xiàn)數(shù)學(xué)學(xué)科本質(zhì)、對未來學(xué)習(xí)有支撐意義的結(jié)構(gòu)化的數(shù)學(xué)知識體系。 ?［3］ 由此，我們可以將在知識上、學(xué)習(xí)方法上、思維方式上具有內(nèi)在關(guān)聯(lián)、可相互滲透和類比遷移的內(nèi)容整合在一起，“串”起來教。

本課就是將3個非0且不相同的數(shù)字組成三位數(shù)、含0或有相同數(shù)的數(shù)字組成三位數(shù)，以及4個數(shù)字組成四位數(shù)等內(nèi)容整合在一起。通過師生共同研究3個數(shù)字組成三位數(shù)、學(xué)生自主探究4個數(shù)字組成四位數(shù)、推想多個數(shù)字組成多位數(shù)等一系列結(jié)構(gòu)化學(xué)習(xí)任務(wù)，幫助學(xué)生理解數(shù)在不同數(shù)位上的含義不同，掌握有序思考的方法，初步感知排列組合的思想。整合后的教學(xué)過程順應(yīng)學(xué)生的認(rèn)知經(jīng)驗，從直觀感知到抽象表征再到模型應(yīng)用，多角度推進認(rèn)知結(jié)構(gòu)不斷完善，讓知識從碎片走向整體。

（二）把方法“串”起來，從經(jīng)驗轉(zhuǎn)向模型

其實，真正將教學(xué)內(nèi)容“串”起來的不光是表面上的相似，更應(yīng)是背后思想方法的相同。法國數(shù)學(xué)家拉普拉斯說：“在數(shù)學(xué)這門科學(xué)里，發(fā)現(xiàn)真理的主要工具是歸納和類比?！??［4］ 數(shù)學(xué)知識具有很強的關(guān)聯(lián)性和系統(tǒng)性。通過類比，可以讓新經(jīng)驗與舊經(jīng)驗碰撞與交流，融合方法，從而擴充知識體系。通過歸納，可以將豐富的經(jīng)驗轉(zhuǎn)向模型，借助模型簡化知識系統(tǒng)的復(fù)雜性，從而完善知識體系。

在初次嘗試將3張數(shù)字卡片組成三位數(shù)時，大多數(shù)學(xué)生都能憑借經(jīng)驗寫出3個數(shù)字組成的三位數(shù)，但是此時的經(jīng)驗缺乏“數(shù)學(xué)味”，很多學(xué)生不能完全寫出，或者只能無序地寫出。教學(xué)中，教師引導(dǎo)學(xué)生進行方法的對比和歸納。首先，有序思考。固定首位，交換后兩個數(shù)字的位置，三張數(shù)字卡片都能組成6個三位數(shù)，幫助學(xué)生將原有的經(jīng)驗“數(shù)學(xué)化”，初步建立抽象的模型。接著，思考3張數(shù)字卡片組成三位數(shù)的特殊情況（有0或有相同數(shù)），學(xué)生發(fā)現(xiàn)剛剛建立的模型不適用了。此時，教師引導(dǎo)學(xué)生沿著原有的方法思考，寫出所有的情況，再考慮不符合條件的情況。由此，學(xué)生真正理解了模型，從經(jīng)驗走向理解，在理解中深化了模型。隨后，學(xué)生遷移方法，自主探究4個數(shù)字組成的四位數(shù)。過程中，學(xué)生經(jīng)歷經(jīng)驗沖突，快速調(diào)整，避免形式上的模仿，探尋知識的本質(zhì)，牢固、深刻地建立新的數(shù)學(xué)模型。最后，教師引導(dǎo)學(xué)生將方法遷移到更多個數(shù)字組數(shù)的問題，引導(dǎo)學(xué)生在此基礎(chǔ)上建構(gòu)更復(fù)雜的模型，擴充和完善知識體系。

（三）把思維“串”起來，從淺層邁向深度

將教學(xué)內(nèi)容“串”起來后，我們還應(yīng)以高觀點視角去審視內(nèi)容，挖掘其中的深度學(xué)習(xí)點，逐步引導(dǎo)學(xué)生的思維從淺層邁向深度。

教學(xué)中，從個別到一般，引發(fā)學(xué)生的思維由直觀到抽象；從一般到特殊，

打破原有認(rèn)知，引發(fā)學(xué)生的思維由淺表到深入；從特殊到一般，

引發(fā)學(xué)生從形式模仿到理解本質(zhì)；從基礎(chǔ)到進階，引導(dǎo)學(xué)生自主遷移，但不局限于形式上的生搬硬套，積極尋找知識的內(nèi)在聯(lián)系，從結(jié)構(gòu)上建立本質(zhì)聯(lián)系；從局部到整體，由零散到結(jié)構(gòu)；最后，延伸思維，引導(dǎo)學(xué)生用聯(lián)系的眼光推想更復(fù)雜的問題。如此，引導(dǎo)學(xué)生在結(jié)構(gòu)化的學(xué)習(xí)活動中獲得個體知識的建構(gòu)以及思維的深度發(fā)展。

教學(xué)中，先引導(dǎo)學(xué)生動手?jǐn)[2、3、4這三張數(shù)字卡片和直接說出任意抽取的3張（沒有0且數(shù)字不同的）數(shù)字卡片組成三位數(shù)的活動，從個別數(shù)據(jù)中抽象出3個數(shù)字組成三位數(shù)的一般模型。接著，引出“有0”或“有相同數(shù)”等特殊情況，促使學(xué)生打破常規(guī)思維，深入思考。學(xué)生發(fā)現(xiàn)仍然可以按照一般模型思考，只需排除不符合的情況，從本質(zhì)上打通了一般和特殊情況，建立了3個數(shù)字組數(shù)的普適性模型?；?個數(shù)字組數(shù)的探究經(jīng)驗，學(xué)生自主探究4個數(shù)字組四位數(shù)，通過形式模仿、方法遷移、理解本質(zhì)等，最終將4個數(shù)字組四位數(shù)與3個數(shù)字組三位數(shù)從結(jié)構(gòu)上建立聯(lián)系，實現(xiàn)思維進階。最后，引導(dǎo)學(xué)生推想多個數(shù)字組數(shù)問題，延伸思維，打通所有的組數(shù)問題。

參考文獻：

［1］［2］［3］ 中華人民共和國教育部.義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）［S］.北京：北京師范大學(xué)出版社，2022：85，85，85.

［4］ 高佳萍.好的開端是成功的一半——兼談數(shù)學(xué)教學(xué)的導(dǎo)入［J］.考試周刊， 2010（55）：75.