王國民

摘 要：高度的抽象性和概括性是數(shù)學(xué)概念最為顯著的特點(diǎn)，而這也正是數(shù)學(xué)學(xué)科學(xué)習(xí)難的根本原因，對(duì)于小學(xué)生來說，其抽象邏輯思維并未完全成型，還處于由具象思維轉(zhuǎn)變過渡的階段，這就對(duì)數(shù)學(xué)概念的教學(xué)提出了更高的要求，教師要盡可能地避免符號(hào)化的教學(xué)，所謂的符號(hào)化教學(xué)，就是模式化的闡述數(shù)學(xué)概念的含義，但這樣的教學(xué)是無法滿足教學(xué)需求以及學(xué)生的知識(shí)掌握的.作為數(shù)學(xué)學(xué)科的學(xué)習(xí)基礎(chǔ)，概念的理解和掌握是十分必要的，要通過數(shù)學(xué)概念教學(xué)發(fā)揮學(xué)科的育人作用，為此數(shù)學(xué)學(xué)科要不斷地推動(dòng)學(xué)生的知識(shí)融會(huì)貫通.

關(guān)鍵詞：小學(xué)數(shù)學(xué)；數(shù)學(xué)概念；意義；構(gòu)建

當(dāng)下即使數(shù)學(xué)學(xué)科進(jìn)行了教育改革，但其仍然存在較大的問題，絕大多數(shù)的數(shù)學(xué)概念課程為了發(fā)揮學(xué)生的自主學(xué)習(xí)性，變成了學(xué)生自學(xué)課程，教師的領(lǐng)導(dǎo)和幫助作用十分微弱，甚至部分教師嚴(yán)重的忽視了數(shù)學(xué)概念的學(xué)習(xí)的重要性，而過于注重解題技能這一學(xué)習(xí)技能的培養(yǎng)和加強(qiáng).針對(duì)這一現(xiàn)象，我們需要深刻的思考和研究，將數(shù)學(xué)概念課程的立德樹人的教育效用進(jìn)行落實(shí)，不斷地提高學(xué)生的學(xué)科綜合素質(zhì)，提高其數(shù)學(xué)思維.在這里對(duì)數(shù)學(xué)概念教學(xué)進(jìn)行具體的闡述，內(nèi)容如下：數(shù)學(xué)概念教學(xué)主要包括三個(gè)部分，分別是概念的引入以及內(nèi)涵的外延和概念應(yīng)用.對(duì)于抽象性的數(shù)學(xué)概念，除了基礎(chǔ)的記憶以及模仿，更要加強(qiáng)學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)概念進(jìn)行自主探究和學(xué)習(xí)的實(shí)踐能力，不斷地提高學(xué)生的數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)，增強(qiáng)其數(shù)學(xué)思維。這就對(duì)教師的數(shù)學(xué)概念課程的教學(xué)和改革創(chuàng)新提出了更高的要求，需要不斷地通過數(shù)學(xué)問題驅(qū)動(dòng)課程推進(jìn).

1 數(shù)學(xué)概念教學(xué)的意義——自主學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)

對(duì)于概念這一名詞的解釋，在不同的領(lǐng)域有不同的闡述.就哲學(xué)層面來說，所謂概念就是對(duì)于事物的本質(zhì)特征，人腦做出的反映.作為思維的基本單位，要對(duì)事物進(jìn)行判斷和推理，就必須形成一定的概念.而聚焦到數(shù)學(xué)概念這一名詞，可以說，數(shù)學(xué)概念是展開一切數(shù)學(xué)研究的起點(diǎn)和基礎(chǔ)，一切數(shù)學(xué)問題的判斷、推理、計(jì)算以及證明都需要依靠針對(duì)性的數(shù)學(xué)概念，因?yàn)閿?shù)學(xué)概念是所有數(shù)學(xué)知識(shí)的基石以及思想方法的載體.但需要注意的是，概念學(xué)習(xí)并不是數(shù)學(xué)學(xué)科教學(xué)的最終目標(biāo)，對(duì)于概念的形成過程，以及歷史的發(fā)展和最后在實(shí)際數(shù)學(xué)問題的解決過程中的實(shí)踐運(yùn)用更是教學(xué)的重點(diǎn)，這是為了更好地幫助學(xué)生構(gòu)建完整科學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)體系，加強(qiáng)其數(shù)學(xué)思維的培養(yǎng)和鍛煉，獲得全方位綜合性的發(fā)展與提高.

2 數(shù)學(xué)概念教學(xué)的問題——學(xué)習(xí)中的困難

傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)教學(xué)往往根據(jù)教材所制定的步驟和方式來，簡單概括來說就是通過定義、性質(zhì)、定理、應(yīng)用這四個(gè)步驟進(jìn)行演繹和呈現(xiàn)，這樣的教學(xué)步驟在一定程度上能夠有效地幫助學(xué)生形成系統(tǒng)的知識(shí)框架和結(jié)構(gòu)，主要是因?yàn)槟軌驇椭鷮W(xué)生在建立標(biāo)準(zhǔn)化的知識(shí)和概念架構(gòu)后再展開數(shù)學(xué)問題的解決，再在解決問題的過程中加深對(duì)數(shù)學(xué)概念的理解和掌握，但其也存在不可忽視的缺陷和問題，簡單來說，就是打擊了數(shù)學(xué)概念教學(xué)活動(dòng)的生動(dòng)性和鮮活性，對(duì)于這些數(shù)學(xué)概念的來源以及規(guī)定的原因并沒有進(jìn)行詳細(xì)的解釋和說明，學(xué)生會(huì)感到不知所云，這樣的教學(xué)形式早就有所定義，荷蘭的數(shù)學(xué)教育家弗賴登塔爾提出的“教學(xué)法的顛倒”說的就是這樣的教學(xué)形式.通過調(diào)查實(shí)踐發(fā)現(xiàn)，我國數(shù)學(xué)學(xué)科的概念教學(xué)主要分為三種形式，首先是急功近利式，具體來說就是通過反復(fù)的練習(xí)和訓(xùn)練不斷地提高學(xué)生的數(shù)學(xué)成績，以完成應(yīng)試教育.第二種方式則是直接投予式，教師掐頭去尾的直接闡述這些數(shù)學(xué)概念.最后一種方式則是大容量訓(xùn)練式，顧名思義，就是通過照本宣科式的講解和大量的數(shù)學(xué)練習(xí)題輔助，達(dá)到數(shù)學(xué)概念記憶的教學(xué)目標(biāo).這三種教育方法的本質(zhì)都是為了提高學(xué)生的數(shù)學(xué)成績，但都忽視了數(shù)學(xué)概念的理解以及教學(xué).這樣的形式最后導(dǎo)致的結(jié)果就是學(xué)生也并沒有意識(shí)到數(shù)學(xué)概念學(xué)習(xí)的重要性，甚至在進(jìn)行數(shù)學(xué)問題解答的過程中，也只是通過機(jī)械的模仿來達(dá)到目的，一旦出現(xiàn)新的提醒或是情況就一片空白無從下手.而且相較于新型的概念教學(xué)，傳統(tǒng)的解題教學(xué)需要花費(fèi)學(xué)生大量的時(shí)間和精力進(jìn)行大量的習(xí)題練習(xí)，但最終達(dá)到的教學(xué)和育人效果都不盡人意.

3 數(shù)學(xué)概念教學(xué)的方法——自主學(xué)習(xí)到融會(huì)貫通的策略

通過專業(yè)的研究和調(diào)查，對(duì)于數(shù)學(xué)概念的認(rèn)知和獲取，可以通過兩種方式來達(dá)成，即概念形成和概念同化.對(duì)于具體的事物或者專門的例子的概括，可以通過概念形成的方式來達(dá)到概念的認(rèn)知和獲取，而概念同化主要針對(duì)的對(duì)象是相關(guān)知識(shí)架構(gòu)中的某一個(gè)舊的概念，通過舊概念來衍生出新概念的認(rèn)知.概念形成的主要過程分為五個(gè)步驟，首先需要區(qū)別同一類事物的不同例子，接著對(duì)每個(gè)例子的本質(zhì)進(jìn)行概括，再將這些本質(zhì)的屬性和認(rèn)知與已有的知識(shí)框架進(jìn)行聯(lián)系和區(qū)分，以不斷地完善自身的認(rèn)知結(jié)構(gòu).而數(shù)學(xué)概念的學(xué)習(xí)需要不斷地進(jìn)行衍生，完成第三個(gè)步驟后將已有的認(rèn)知屬性推廣到更寬的范圍，以達(dá)成新概念的外延，最后就是對(duì)已有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)的優(yōu)化.同樣的，概念同化也需要完成五個(gè)步驟來達(dá)到教學(xué)的目的，首先，對(duì)于某一個(gè)數(shù)學(xué)概念的關(guān)鍵屬性進(jìn)行明確，并且對(duì)其進(jìn)行定義和符號(hào)化，第二部就是將這一概念所有的特點(diǎn)和特例進(jìn)行闡述；接著也是將這一概念的本質(zhì)屬性融入已有的認(rèn)知框架當(dāng)中，進(jìn)行知識(shí)的融會(huì)貫通，從第四步開始概念同化與概念形成之間的差別就進(jìn)行了顯現(xiàn)，概念同化的第四步需要明確肯定以及否定的例證，對(duì)概念進(jìn)行分化，最后再將有關(guān)聯(lián)的概念進(jìn)行重新連接，以形成一個(gè)完整的知識(shí)框架體系.

總而言之，兩種學(xué)習(xí)的方式需要進(jìn)行配合和聯(lián)結(jié)，在概念形成和概念同化的過程中，學(xué)生能夠更好地明確實(shí)例中所蘊(yùn)含的概念的相關(guān)屬性，并且對(duì)問題進(jìn)行分析以及概括，以保證更加科學(xué)合理的數(shù)學(xué)知識(shí)體系的構(gòu)建和完善.

4 以“生活中的比”教學(xué)為例——自主學(xué)習(xí)到融會(huì)貫通的實(shí)踐

要想更好地體現(xiàn)學(xué)生數(shù)學(xué)概念的構(gòu)建的意義，教師就需要在進(jìn)行教學(xué)設(shè)計(jì)的過程中精確的把握數(shù)學(xué)概念的本質(zhì)，以更好地完成教學(xué)路徑的設(shè)計(jì)，不斷地改造和重新構(gòu)建教學(xué)的課堂.

4.1 理解把握“比”的數(shù)學(xué)本質(zhì)

這里所說的數(shù)學(xué)概念的學(xué)習(xí)，除了基礎(chǔ)的概念定義的記憶，以及理解外，還包括了相關(guān)數(shù)學(xué)概念本質(zhì)屬性的掌握以及運(yùn)用.這也在一定程度上提高了教師的專業(yè)教學(xué)要求，教師需要充分的掌握和了解相關(guān)數(shù)學(xué)概念的本質(zhì)以及其發(fā)展的過程，以更好地完成教學(xué)方案的設(shè)計(jì)和教學(xué)路徑的規(guī)劃.在這里需要重點(diǎn)地強(qiáng)調(diào)“比”這一數(shù)學(xué)概念的數(shù)學(xué)本質(zhì).教材中對(duì)于“比”的概念闡述更趨向于做數(shù)的除法，二者之間的本質(zhì)并沒有進(jìn)行區(qū)分，但這顯然是不全面的，對(duì)此，本文將詳細(xì)地闡述“比”的本質(zhì).

（1）“比”的歷史發(fā)展.對(duì)一個(gè)數(shù)學(xué)概念的理解和認(rèn)知，首先需要從其發(fā)展的歷史和過程入手，在這一數(shù)學(xué)概念出現(xiàn)的最初，其沒有被用作于數(shù)學(xué)計(jì)算中的除法運(yùn)算，更傾向于幾何數(shù)學(xué)中量之間的關(guān)系的描述，也就是說度量的本質(zhì)就是比較.在幾何中的比是兩個(gè)同類的量之間的度量，使用一個(gè)量的標(biāo)準(zhǔn)去推算另一個(gè)同類的量.而其逐漸地運(yùn)用于計(jì)算領(lǐng)域當(dāng)中，是因?yàn)椴糠謹(jǐn)?shù)學(xué)家，例如約翰·沃利德用其進(jìn)行了倍數(shù)關(guān)系的描述.說到底，比較就是產(chǎn)生“比”這一數(shù)學(xué)概念的根本前提和原因，不管是幾何層面還是算術(shù)領(lǐng)域，“比”都有著比較和度量的功能.

（2）“比”的數(shù)學(xué)本質(zhì).上文說到，“比”最初運(yùn)用于幾何表達(dá)，因此其數(shù)學(xué)本質(zhì)并不是所說的除法運(yùn)算，其范圍更加的廣闊，是兩個(gè)數(shù)量，可以是兩個(gè)量或者數(shù)之間倍數(shù)關(guān)系的呈現(xiàn)，教師可以通過將教學(xué)與生活進(jìn)行連接，幫助學(xué)生更好的理解這一數(shù)學(xué)概念的產(chǎn)生以及其所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)本質(zhì).

4.2 調(diào)查學(xué)生已有經(jīng)驗(yàn)

一切數(shù)學(xué)教學(xué)活動(dòng)展開和完成的基礎(chǔ)條件就是學(xué)生的已有知識(shí)和相關(guān)的活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，因此，教師在進(jìn)行教學(xué)活動(dòng)的設(shè)計(jì)時(shí)，需要圍繞學(xué)生的具體學(xué)習(xí)情況和知識(shí)內(nèi)容來進(jìn)行，并且充分的考慮教學(xué)課題中的難點(diǎn)以及重點(diǎn)，設(shè)置科學(xué)有效的教學(xué)情境.

關(guān)于“比”這一數(shù)學(xué)概念的教學(xué)，教師需要從多個(gè)層面，包括教材邏輯、自我經(jīng)驗(yàn)、教師團(tuán)隊(duì)經(jīng)驗(yàn)以及自測練習(xí)調(diào)查等進(jìn)行充分的調(diào)查和分析，在此基礎(chǔ)上進(jìn)行教學(xué)問題的設(shè)計(jì)，問題如下：提到“比”，你第一反應(yīng)會(huì)想到什么？在生活中你在哪里聽到過比呢？你能寫出一個(gè)比嗎？

將一個(gè)班級(jí)49名學(xué)生作為調(diào)查的對(duì)象，針對(duì)上述所提的三個(gè)問題，最終的結(jié)果如下：提到“比”，所有的學(xué)生想到的都是同類量的相比，而絕大部分學(xué)生的認(rèn)知是大小以及多少這種相對(duì)的度量之間的比較，只有少部分的學(xué)生想到了倍數(shù)之間的比較，這樣的結(jié)果表明，對(duì)于比的認(rèn)知，學(xué)生更多的來自于日常的生活經(jīng)驗(yàn).針對(duì)第二個(gè)問題，所有的學(xué)生都提到球類比賽的比分，而還有18.4%的學(xué)生聽說過蓋房屋時(shí)沙、水泥和水三者的比；22.4%的學(xué)生聽說過煮米飯水與米的比，講述了建造時(shí)的水泥以及沙石之間混合的比例，同樣的，煮飯時(shí)放入的水和米的比例也是學(xué)生提到的答案，結(jié)果表明，球類比賽之間的比分為絕大部分學(xué)生認(rèn)知，但對(duì)于生活實(shí)踐中出現(xiàn)的比例問題所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)意義認(rèn)知較少.對(duì)于最后一個(gè)問題，超過90%的學(xué)生都寫出了至少一個(gè)比的例子，部分學(xué)生甚至能夠舉出詳細(xì)的生活案例，但仍然存在寫不出比這樣的情況.

總而言之，學(xué)生對(duì)于同類量的比存在一定的認(rèn)知，但若是將比的對(duì)象換成不同的量，則存在一定的認(rèn)知困難，此外，在日常生活實(shí)際中獲取數(shù)學(xué)相關(guān)概念知識(shí)的能力較弱.

4.3 數(shù)學(xué)概念的意義建構(gòu)的學(xué)習(xí)路徑

教師需要重視“生活中的比”這一課題的教學(xué)，在進(jìn)行教學(xué)方案和材料的設(shè)計(jì)時(shí)，需要充分地考慮學(xué)生的數(shù)學(xué)知識(shí)儲(chǔ)備以及“比”這一數(shù)學(xué)概念的發(fā)展歷程和數(shù)學(xué)本質(zhì)，以更好地完成學(xué)習(xí)路徑的明確和規(guī)劃.這里提到了“學(xué)習(xí)路徑”，顧名思義就是展開教學(xué)活動(dòng)過程中，學(xué)生學(xué)習(xí)的路徑以及序列，需要教師根據(jù)明確的教學(xué)目標(biāo)和針對(duì)性的教學(xué)內(nèi)容進(jìn)行學(xué)習(xí)策略的設(shè)計(jì)，因?yàn)閷W(xué)生需要根據(jù)明確的學(xué)習(xí)策略展開學(xué)習(xí)進(jìn)程.總而言之，教師與學(xué)生需要進(jìn)行配合，通過統(tǒng)一的學(xué)習(xí)路徑，以完善“教”與“學(xué)”之間的關(guān)系.

除此之外，準(zhǔn)備充足的引發(fā)學(xué)生思考的教學(xué)材料也是展開“生活中的比”教學(xué)必不可少的，對(duì)于學(xué)生來說，要想充分理解“比”這一數(shù)學(xué)概念的本質(zhì)，還存在一定的差距和困難，而這些差距也正是教師突破教學(xué)進(jìn)行創(chuàng)新的根本和靈感.

5 結(jié)束語

綜上所述，學(xué)生已有的數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)和概念認(rèn)知都是教師在進(jìn)行教學(xué)創(chuàng)新和改進(jìn)需要充分了解的基礎(chǔ)前提，以更好地完善教學(xué)材料的設(shè)計(jì)與準(zhǔn)備.對(duì)于相關(guān)的數(shù)學(xué)概念的講解，需要從其歷史的演變以及來源入手，對(duì)其進(jìn)行分析比較，通過分類和甄別等多個(gè)步驟以更好地明確數(shù)學(xué)概念本質(zhì)，以及不同概念之間的關(guān)系，從而完善學(xué)生知識(shí)框架的構(gòu)建和數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的提升.

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