摘 要：本文從在生活情境中“尋模”、在探索新知中“建模”、在關(guān)系分析中“畫?！?、在類比推理中“遷?！?、在解決問題中“用?！焙驮谥R進(jìn)階中“拓?！绷鶄€方面，探析了素養(yǎng)導(dǎo)向下小學(xué)生“模型意識”培養(yǎng)的基本策略，讓學(xué)生感悟數(shù)學(xué)模型的普適性，并能加以解釋與應(yīng)用，開拓數(shù)學(xué)化思想，幫助學(xué)生解決實(shí)際問題，培養(yǎng)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

關(guān)鍵詞：素養(yǎng)導(dǎo)向；模型意識；培養(yǎng)策略

“模型意識”作為小學(xué)階段核心素養(yǎng)主要表現(xiàn)之一，主要指對數(shù)學(xué)模型普適性的初步感悟.它可以用來解決同一類問題，是數(shù)學(xué)應(yīng)用的基本途徑.［1］數(shù)學(xué)模型是對某一特定的研究對象，做了必要的簡化和抽象之后，通過數(shù)學(xué)語言、符號、式子或圖象等提煉，表達(dá)出來的一種數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)，如概念、公式、性質(zhì)、方法或某類知識的特征、規(guī)律等.［2］數(shù)學(xué)模型是連接現(xiàn)實(shí)世界與數(shù)學(xué)的橋梁.對小學(xué)生而言，建立數(shù)學(xué)模型不是最終目的，而是培養(yǎng)學(xué)生的抽象意識，讓學(xué)生認(rèn)識到現(xiàn)實(shí)生活中的大量問題都與數(shù)學(xué)息息相關(guān)，并能有意識地運(yùn)用概念與方法等手段加以解釋與應(yīng)用［1］，創(chuàng)造一種數(shù)學(xué)化的思維方式才是根本目的.筆者結(jié)合自身教學(xué)實(shí)踐，探析小學(xué)生“模型意識”培養(yǎng)的一些方法策略.

1 在生活情境中“尋模”

數(shù)學(xué)模型來源于生活原型，卻又高于生活原型.日常生活中，無論是交通出行、購物方式、家庭開支還是時間管理等，都離不開數(shù)學(xué)模型的幫助.教師應(yīng)積極引導(dǎo)學(xué)生將“生活問題”轉(zhuǎn)化為“數(shù)學(xué)問題”，通過已有的知識經(jīng)驗(yàn)，找準(zhǔn)或提煉對應(yīng)的數(shù)學(xué)模型，再運(yùn)用其進(jìn)行分析和解決問題，實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)模型的應(yīng)用價值，提高解決實(shí)際問題的能力.

例如，兩家商店同時推出一款熱銷商品，原價為100元.A商店宣傳單上打出了“龍行龘龘，優(yōu)惠多多，滿200元減40元！”的廣告語.B商店門前則立起了“欣欣向‘龍’，優(yōu)惠多多，本店商品一律八五折！”的牌子.那么，到底去哪家商店購買更優(yōu)惠呢？在學(xué)生獨(dú)立思考的基礎(chǔ)上，教師可適當(dāng)?shù)剡M(jìn)行引導(dǎo).要比較哪家商店更優(yōu)惠，實(shí)際上就是比較付出的錢數(shù)即“最終價格”的多少.接著讓同學(xué)們說說對“最終價格”這個概念的理解，教師在點(diǎn)撥中讓學(xué)生明確兩家商店“最終價格”的計算方法，建立數(shù)學(xué)模型.

通過學(xué)生面對紛繁的生活現(xiàn)象，抽象出數(shù)學(xué)問題的本質(zhì)，找準(zhǔn)適切問題的解決方法，達(dá)到優(yōu)惠購物的目的.這樣的學(xué)習(xí)過程，不僅激發(fā)了學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，幫助學(xué)生明確了數(shù)學(xué)概念，總結(jié)出優(yōu)惠購物的方案，還發(fā)揮了學(xué)生思維的靈活性，培育了模型意識，有效提升學(xué)生思維創(chuàng)新以及抽象概括的能力.

2 在探索新知中“建模”

教師要積極建構(gòu)“學(xué)為中心”的課堂教學(xué)，讓學(xué)生通過觀察、猜想、實(shí)驗(yàn)、驗(yàn)證、交流、思辨、推理、反思等探究活動，發(fā)現(xiàn)、挖掘事物之間的內(nèi)在聯(lián)系以及蘊(yùn)含其中的內(nèi)在規(guī)律.在幫助學(xué)生更好地理解與掌握數(shù)學(xué)知識的本質(zhì)、思想、方法的同時，引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會對一類事物在意義、方法等方面的共同特征進(jìn)行抽象地表達(dá)，建構(gòu)數(shù)學(xué)模型，發(fā)散分析、綜合、創(chuàng)造等高階思維.

例如，在人教版《義務(wù)教育教科書數(shù)學(xué)四年級上冊》中“烙餅問題”一課教學(xué)中，首先出示情境圖（如圖1）.

在分析理解題意的基礎(chǔ)上，教師組織學(xué)生獨(dú)立思考、合作探究，借用實(shí)物模型，直觀地進(jìn)行操作，掌握2張和3張餅的最優(yōu)烙法（如圖2、圖3），即“每次都烙2張，別讓鍋空著，才最省時間”.

用時：3+3＝6（分鐘）.

用時：3+3+3＝9（分鐘）.

接著，教師繼續(xù)追問：“如果要烙4張、5張、6張、7張餅，甚至更多呢？”引導(dǎo)學(xué)生通過觀察、演算、對比與分析，逐步完成下表（見表1）.

為了便于思考與計算，在探究過程中，教師應(yīng)適時點(diǎn)撥學(xué)生，在烙大于或等于4張餅時，可將餅的數(shù)量分解，轉(zhuǎn)化為“幾個2或幾個2和1個3”的數(shù)學(xué)模型.接著通過比較，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)烙大于等于2張餅時，“烙餅的次數(shù)＝烙餅的張數(shù)”的規(guī)律，最后提煉“計算所需最少時間”的方法模型，即“所需最少時間＝每次烙餅的時間×烙餅的張數(shù)”.

以上教學(xué)過程，讓學(xué)生體驗(yàn)了“微型科研”的研究過程，這是一個思維訓(xùn)練發(fā)展的歷程，也是一個不斷數(shù)學(xué)化的過程.同學(xué)們在探究過程中學(xué)會了用數(shù)學(xué)的思維去思考現(xiàn)實(shí)問題，用數(shù)學(xué)的語言去表達(dá)自己的觀點(diǎn)，將“事理”上升為“數(shù)理”，增強(qiáng)了模型意識，體會優(yōu)化思想的應(yīng)用.

3 在關(guān)系分析中“畫?！?/p>

當(dāng)遇到比較復(fù)雜的數(shù)量關(guān)系問題時，如果光憑教師單純地敘述，學(xué)生往往不易理解.這時可以引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行“畫數(shù)學(xué)”操作，借助直觀的圖表等數(shù)學(xué)模型進(jìn)行分析、判斷與推理，讓思維可視化，把復(fù)雜的數(shù)量關(guān)系變得直觀形象、簡潔明了，有利于學(xué)生突破難點(diǎn)，快速找到解題方法.

例如，在教學(xué)“小數(shù)加減混合運(yùn)算”一課時，可以創(chuàng)編這樣的例題：“有三根繩子，第三根長9.8米，比第二根短了0.36米，第一根比第二根短了1.25米.求第一根繩子有多長？”教師可以讓學(xué)生嘗試進(jìn)行解決，結(jié)果發(fā)現(xiàn)將近一半的學(xué)生列式為9.8-0.36-1.25.說明他們對兩個“短”字，沒有準(zhǔn)確地區(qū)分理解，于是教師便可以引導(dǎo)同學(xué)從畫準(zhǔn)線段示意圖入手（見圖4），幫助同學(xué)們分析理解題意，從而找到正確的解題方法.

又如：“小軍、小麗和小平三人中，有一人在航模比賽中獲獎.小軍說是小麗，小麗說不是自己，小平也說不是自己.已知他們當(dāng)中只有一人說真話，那么誰是獲獎?wù)?？”這是一道推理題，沒有數(shù)據(jù)，也沒有幾何圖形，只有一些互相關(guān)聯(lián)的條件.學(xué)生要從已有的條件出發(fā)，推理出誰是獲獎?wù)?這時，教師可引導(dǎo)學(xué)生借助表格（見表2、表3），來幫助學(xué)生進(jìn)行理解、分析與推理.根據(jù)題意“只有一人說真話”，便可很快地判斷出小平說假話，獲獎?wù)呤切∑?

小學(xué)生以具體形象思維為主，在分析數(shù)量關(guān)系或用數(shù)學(xué)語言表示時，往往會出現(xiàn)模糊或者條理不清的情況.“畫?！本褪窃趯W(xué)生認(rèn)知和數(shù)學(xué)本質(zhì)之間，架構(gòu)起一座使抽象數(shù)學(xué)知識變得直觀化、形象化、可視化的橋梁，促進(jìn)學(xué)生靈動思維發(fā)展，激發(fā)創(chuàng)造潛能，引領(lǐng)高效學(xué)習(xí).

4 在類比推理中“遷?！?/p>

小學(xué)生習(xí)得的許多知識，往往都是通過遷移類推獲得的.教學(xué)時，教師應(yīng)積極引導(dǎo)學(xué)生找出事物之間的內(nèi)在關(guān)聯(lián)，通過類比推理，得出解決類似問題的方法，形成有機(jī)連接，融通思路方法，豐富知識結(jié)構(gòu)，發(fā)展化歸思想.

例如，學(xué)習(xí)“百分率”一課時，在學(xué)生掌握了“命中率＝投籃投中的次數(shù)÷投籃總次數(shù)×100%”知識點(diǎn)之后，我讓學(xué)生遷移類推出“發(fā)芽率＝發(fā)芽的種子數(shù)÷試驗(yàn)種子總數(shù)×100%、合格率＝合格的產(chǎn)品數(shù)÷生產(chǎn)產(chǎn)品總數(shù)×100%、成活率＝成活的棵數(shù)÷種植樹苗總棵數(shù)×100%”，以及出粉率、出勤率、獲獎率等方法模型.

以上的課例，教師通過變式呈現(xiàn)，使學(xué)生領(lǐng)悟到求命中率、發(fā)芽率、合格率、成活率等知識，雖然問題情境在“變”，但是問題本質(zhì)——數(shù)量之間的結(jié)構(gòu)關(guān)系是“不變”的.［3］學(xué)生在解決問題的過程中逐漸掌握了一類問題的思維方法，在發(fā)展“模型意識”的同時，提升學(xué)生觸類旁通、舉一反三的學(xué)習(xí)能力，啟迪學(xué)生從小樹立事物之間相互聯(lián)系、相互滲透、變換轉(zhuǎn)化、變中不變等辯證唯物主義的觀點(diǎn).

5 在解決問題中“用?！?/p>

數(shù)學(xué)是一門抽象的學(xué)科，但同時又具有非常強(qiáng)的應(yīng)用性.培養(yǎng)學(xué)生的“模型意識”，可以讓學(xué)生更好地理解數(shù)學(xué)本質(zhì)，領(lǐng)悟數(shù)學(xué)模型的普適性，從而達(dá)到學(xué)以致用的目的，不斷提高學(xué)生在不同情境中靈活應(yīng)用的能力、增強(qiáng)解決實(shí)際問題的能力.

例如，在教學(xué)“稍復(fù)雜的百分?jǐn)?shù)除法問題”一課練習(xí)環(huán)節(jié)時，我出示了刊載在2024年1月20日東南網(wǎng)上的一則資訊.

據(jù)廈門海關(guān)相關(guān)人士介紹，去年福建省兩大類汽車出口均增幅明顯，其中乘用車出口7.5萬輛，同比增長3.6倍；商用車出口1.4萬輛，同比增長22.1%.外貿(mào)“新三樣”之一的電動載人汽車出口更是表現(xiàn)突出，全年共出口2.6萬輛，同比激增4倍，約占福建省同期汽車出口總量的三成，主要銷往歐盟、吉爾吉斯斯坦、阿聯(lián)酋等97個國家和地區(qū).

根據(jù)以上的資訊，你還能知道哪些其他的相關(guān)信息呢？請同學(xué)們通過思考交流，互相啟發(fā)，應(yīng)用已有的“單位‘1’的量×對應(yīng)分率＝對應(yīng)數(shù)量”和“對應(yīng)數(shù)量÷對應(yīng)分率＝單位‘1’的量”兩個知識模型，用方程或算術(shù)的方法分別求出前年乘用車出口數(shù)量、前年商用車的出口數(shù)量、前年電動載人汽車的出口數(shù)量、去年福建省汽車出口總量等相關(guān)信息，在大數(shù)據(jù)信息化時代背景下，提高了學(xué)生讀取信息、提煉信息與處理信息的能力和應(yīng)變能力，增強(qiáng)應(yīng)用意識.

6 在知識進(jìn)階中“拓模”

數(shù)學(xué)知識的學(xué)習(xí)，是一個由淺入深、由易到難、層層遞進(jìn)的發(fā)展的過程.前知是后知的基礎(chǔ)，后知是前知的拓展與延伸.教師在教學(xué)時，要準(zhǔn)確把握好知識之間螺旋上升的邏輯關(guān)聯(lián)和循序漸進(jìn)的遞進(jìn)關(guān)系，幫助學(xué)生順利完成知識的進(jìn)階與方法的遷移的目標(biāo).

例如，在“萬以內(nèi)數(shù)的認(rèn)識”一課教學(xué)中，我依托數(shù)位順序表（見表4），引領(lǐng)學(xué)生學(xué)習(xí)計數(shù)單位、數(shù)位、讀寫法等相關(guān)知識，建立“萬以內(nèi)數(shù)的讀寫方法”模型：“高位起，依次讀寫，中間0讀一個，末尾0不讀”.

在后續(xù)的“億以內(nèi)數(shù)的認(rèn)識”和“億以上數(shù)的認(rèn)識”的教學(xué)中，我引導(dǎo)學(xué)生始終以“個級”的認(rèn)知作為基礎(chǔ)，借助擴(kuò)充后的數(shù)位順序表結(jié)構(gòu)模型（見表5、表6），嘗試讓學(xué)生讀寫含有萬級或億級的數(shù)，除了不連續(xù)的0都要讀的情況之外，其他知識都能順利遷移.由此，啟發(fā)學(xué)生建構(gòu)起新的含有兩或三級數(shù)的讀寫法模型：①先分級，從高位起，依次讀寫；②讀數(shù)時，萬級或億級的數(shù)先按照個級的數(shù)的讀法來讀，再在后面加一個“萬”或“億”字，每級末尾不管有幾個0都不讀，其他數(shù)位上有一個0或連續(xù)幾個0，都只讀1個0；③寫數(shù)時，哪個數(shù)位上一個單位也沒有，就在那個數(shù)位上寫0.

隨著學(xué)習(xí)的不斷深入，知識與方法也在不斷產(chǎn)生新的連結(jié)，學(xué)生通過前后知識溝通、聯(lián)系和比較，建立起了認(rèn)識更大數(shù)的方法模型，逐步完成對知識的整體建構(gòu)，成功實(shí)現(xiàn)知識結(jié)構(gòu)模型的擴(kuò)充和思維方法認(rèn)知的躍遷的目標(biāo).

總之，“模型意識”的培養(yǎng)策略還有很多，如在數(shù)學(xué)說理中“釋模”、在板書設(shè)計中“支模”等.“模型意識”的培養(yǎng)不是一蹴而就的，它需要教師依據(jù)學(xué)生的年齡特征和教學(xué)內(nèi)容的特點(diǎn)，用一種建模的眼界，持之以恒、精心設(shè)計、適時滲透.教學(xué)的情境、素材往往只是表面的，要抓住數(shù)學(xué)本質(zhì)，在探索新知和解決問題的過程中，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)化思想與應(yīng)用意識才是關(guān)鍵點(diǎn).“模型意識”的培養(yǎng)，是一種觀念，一種方法，更是一種思想，一種智慧.

參考文獻(xiàn)

［1］中華人民共和國教育部.義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）［M］.北京：北京師范大學(xué)出版社，2022.

［2］周春意.建模思想在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用［J］.中學(xué)課程輔導(dǎo)（教學(xué)研究），2014（22）：123-124.

［3］李麗生.“雞兔同籠”問題的價值追尋［J］.小學(xué)教學(xué)設(shè)計（數(shù)學(xué)·科學(xué)版），2015（35）：21-23.

基金項(xiàng)目：福建省教育科學(xué)“十四五”規(guī)劃2022年度課題“新課標(biāo)背景下小學(xué)數(shù)學(xué)‘模型意識’培養(yǎng)的實(shí)踐研究”（項(xiàng)目編號：FJJKZX22－091）.