摘" 要：幾何直觀主要是指運用圖表描述和分析問題的意識與習慣.幾何直觀有助于把握問題的本質(zhì)、明晰思維的路徑，可以使問題簡單化，有利于學生的數(shù)學學習，所以幾何直觀的培養(yǎng)應貫穿整個中學階段的數(shù)學學習.圖形與幾何是中學數(shù)學內(nèi)容的四大領(lǐng)域之一，

是培養(yǎng)學生幾何直觀的主要“營地”.文章通過對2022年福建省中考數(shù)學第25題進行分析，體現(xiàn)出幾何直觀的重要性，繼而給出在初中數(shù)學教學中培養(yǎng)幾何直觀的策略.

關(guān)鍵詞：幾何直觀；中考試題；分析；研究；提升策略

中圖分類號：G632""" 文獻標識碼：A""" 文章編號：1008-0333（2024）17-0044-03

收稿日期：2024-03-15

作者簡介：張朝杉（1998.8—），女，貴州省金沙人，碩士，從事數(shù)學教學研究；

楊紀華（1983.11—），男，河南省周口人，博士，教授，從事數(shù)學研究.

基金項目：寧夏高等學校一流學科建設(shè)（教育學學科）資助項目（項目編號：NXYLXK2021B10）.

中考是九年義務教育之后對學生進行分流的第一道屏障，是中國教育體系中的關(guān)鍵節(jié)點，對學生的未來發(fā)展具有重要意義.對大多數(shù)學生而言，中考中的幾何問題是最具挑戰(zhàn)性的，這類題目不僅需要學生具備扎實的幾何推理能力，還需要學生具備直觀分析與空間想象能力.在初中數(shù)學教學中，對學生幾何直觀素養(yǎng)的培養(yǎng)正是為了做到這一點.

1" 幾何直觀的內(nèi)涵辨析

《義務教育數(shù)學課程標準（2022年版）》（以下簡稱《課程標準》）明確規(guī)定［1］，幾何直觀素養(yǎng)的培養(yǎng)由以下四方面構(gòu)成：首先，將點、線、面、三角形、四邊形等基本圖形爛熟于心，這樣在遇到復雜的圖形時便能進行分辨，并且能夠根據(jù)圖形特征進行分類處理；其次，在實際問題中往往出現(xiàn)的是文字語言，需要鍛煉學生將文字語言轉(zhuǎn)化成符號語言的能力，再借助圖形的性質(zhì)解決問題，然后，上升到思想層面，即發(fā)展學生的數(shù)形結(jié)合思想，引導學生養(yǎng)成運用空間想象建立模型思考問題的習慣；最后，所有知識來源于生活，最終也將回歸到生活之中，即培養(yǎng)學生養(yǎng)成用圖表分析問題和解決問題的能力.

幾何直觀素養(yǎng)是指學生運用圖表分析解決現(xiàn)實問題的意識與習慣，數(shù)學課堂教學對學生幾何直觀素養(yǎng)的養(yǎng)成與發(fā)展尤為重要.幾何直觀不僅有助于學生更加準確地把握數(shù)學問題的本質(zhì)、更加清晰地構(gòu)造問題解決的思路，也能使初中學生的學習從具體向抽象發(fā)展，從而進一步發(fā)展學生的數(shù)學抽象思維［2］.數(shù)學教育的關(guān)鍵不是教授給學生的數(shù)學知識，而是學生即使在將數(shù)學知識遺忘之后還能留下的數(shù)學思維.中學階段是培養(yǎng)學生數(shù)學思維的關(guān)鍵時期，幾何直觀不僅能讓學生開闊解題路徑、明晰解題思路，還能培養(yǎng)學生的抽象思維能力和邏輯推理能力.

2" 幾何直觀的考點分析與試題賞析

《課程標準》規(guī)定，義務教育階段的數(shù)學課程由數(shù)與代數(shù)、圖形與幾何、統(tǒng)計與概率、綜合與實踐四個領(lǐng)域組成，其中圖形與幾何領(lǐng)域是培養(yǎng)發(fā)展學生幾何直觀素養(yǎng)的主要營地.初中階段，圖形與幾何領(lǐng)域的內(nèi)容包括“圖形的性質(zhì)”“圖形的變化”“圖形與坐標”，它們之間具有層層遞進的關(guān)系，也是學生學習的過程.這樣的學習過程有助于學生逐步發(fā)展幾何直觀素養(yǎng)，提升抽象思維和邏輯推理能力.

2.1" “圖形的性質(zhì)”考點分析

“圖形的性質(zhì)”是第一層次的學習.在小學階段數(shù)學學習的基礎(chǔ)之上，讓學生通過實際操作、觀察探究和直觀想象，深入了解圖形，從而掌握圖形的相關(guān)性質(zhì)和定理［3］.其包含點、線、面、角、相交線與平行線、三角形、四邊形、圓和定義命題定理的相關(guān)內(nèi)容，涉及了圖形與幾何領(lǐng)域中的絕大部分內(nèi)容，是圖形與幾何領(lǐng)域的核心基礎(chǔ).就像修房子時的地基，必須把地基打牢，上面的高樓才能屹立不倒.在中考中，對“圖形的性質(zhì)”這部分內(nèi)容所考查的試題比較基礎(chǔ)，但題量偏多偏廣.

2.2" “圖形的變化”考點分析

“圖形的變化”是第二層次的學習，在經(jīng)歷了“圖形的性質(zhì)”主題學習之后，讓學生結(jié)合物理學科知識，了解圖形在運動變化中所體現(xiàn)出來的規(guī)律及其在變化中保持不變的量，感受學科之間的密切聯(lián)系［4］.其包含圖形的軸對稱、圖形的旋轉(zhuǎn)、圖形的平移、圖形的相似和圖形的投影.這部分知識點在中考中涉及的試題量僅次于“圖形的性質(zhì)”，難度不算高，是學生在“圖形的性質(zhì)”上的拔高.

2.3" “圖形與坐標”考點分析

“圖形與坐標”是第三層次的學習，需要學生將之前在數(shù)與代數(shù)領(lǐng)域所學的內(nèi)容與現(xiàn)階段所學的圖形與幾何領(lǐng)域的內(nèi)容相聯(lián)系，即常說的數(shù)形結(jié)合，強調(diào)通過數(shù)形結(jié)合的思想方法，再結(jié)合坐標法來分析解決現(xiàn)實的數(shù)學問題，其包含圖形的位置與坐標、圖形的運動與坐標.其中，前者所考查的題目較為簡單，后者考查的題目一般是中考卷的最后一題，也就是壓軸題，需要學生綜合運用所學知識來解決問題.平面直角坐標系是溝通代數(shù)與幾何的重要橋梁，學生在具體情境中，學會從幾何的角度發(fā)現(xiàn)問題和分析問題，經(jīng)歷從幾何直觀和邏輯推理來分析問題和解決問題，培養(yǎng)其創(chuàng)新精神和應用意識，提升幾何直觀、空間觀念、推理能力、抽象能力等.

2.4" 中考典型試題賞析

例1" （福建省2022年中考數(shù)學第25題）如圖1，在平面直角坐標系xOy中，已知拋物線y=ax2+bx經(jīng)過A（4，0），B（1，4）兩點．P是拋物線上一點，且在直線AB的上方．

（1）求拋物線的解析式；

（2）若△OAB面積是△PAB面積的2倍，求點P的坐標；

（3）如圖1，OP交AB于點C，PD∥BO交AB于點D．記△CDP，△CPB，△CBO的面積分別為S1，S2，S3．判斷S1S2+S2S3是否存在最大值．若存在，求出最大值；若不存在，請說明理由．

解析" 本題是一道以二次函數(shù)為背景的中考壓軸題，是典型的“圖形與坐標”問題，主要考查一次函數(shù)和二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)、三角函數(shù)、三角形面積、相似三角形的判定與性質(zhì)、坐標求解和最值問題等，所涉及的思想方法有數(shù)形結(jié)合、函數(shù)與方程、數(shù)學建模等，其綜合性強，對學生而言具有一定的難度.

（1）已知拋物線方程含有兩個參數(shù)a，b，且拋物線過A（4，0），B（1，4）兩點，將A，B的坐標代入拋物線方程可得到一個關(guān)于a，b的二元一次方程組，解出a，b的值再代回原方程即可.易求得拋物線的解析式為y=-43x2+163x．

（2）利用待定系數(shù)法可求出直線AB的解析式為y=-43x+163.過點P作PM⊥x軸，垂足為M，PM交AB于點N．過點B作BE⊥PM，垂足為E．由已知條件易得S△PAB=S△PNB+S△PNA=32PN，設(shè)Pm，-43m2+163m1lt;mlt;4，由點的坐標特征易知m，-43m+163．由PN=-43m2+163m--43m+163=83，解方程即可求得m的值.易求得點P的坐標為2，163或（3，4）．

（3）由已知條件可得△OBC∽△PDC，進而可得S1S2+S2S3=CDBC+PCOC=2PDOB，過點B，P分別作x軸的垂線，垂足分別F，E，PE交AB于點Q，過D作x的平行線，交PE于點G，可得△DPG∽△OBF，設(shè)Pm，-43m2+163m1lt;mlt;4，Dn，-43n+163，則Gm，-43n+163，根據(jù)PDOB=DGOF可得4n=m2-m+4，根據(jù)S1S2+S2S3=CDBC+PCOC=2DGOF=-12m-522+98，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可求得最大值．顯然，當m=52時，S1S2+S2S3取得最大值，最大值為98.

3" 幾何直觀的培養(yǎng)策略

3.1" 貫穿教學全過程，關(guān)注影響的一致性

幾何直觀素養(yǎng)的培養(yǎng)貫穿整個義務教育階段乃至高中階段，也就是說，在學生進入到初中之前，小學學習的線段、三角形、四邊形等，使學生已經(jīng)對平面圖形和立體圖形有了初步認識，形成了初步的空間觀念和幾何直觀.進入初中階段，教師要注意在學生原有的認知上，進一步培養(yǎng)發(fā)展學生的幾何直觀素養(yǎng).初中階段學生的抽象思維相比小學有了一定的提升，空間觀念也有了一定的發(fā)展，這些變化都有助于培養(yǎng)學生的幾何直觀素養(yǎng).

3.2" 關(guān)注素養(yǎng)綜合化發(fā)展，而不是孤立地前進

初中階段的核心素養(yǎng)主要表現(xiàn)在抽象能力、運算能力、幾何直觀、空間觀念、推理能力、數(shù)據(jù)觀念、模型觀念、應用意識和創(chuàng)新意識上，從上述試題分析中，不難發(fā)現(xiàn)，這些素養(yǎng)之間是相互聯(lián)系、協(xié)同發(fā)展的.因此，教師在日常教學中要注意培養(yǎng)學生這些核心素養(yǎng)的綜合發(fā)展，而非只是關(guān)注其中的一部分，只有這些素養(yǎng)都得到發(fā)展，才可能讓學生從只會書本知識跨越到“三會”的境界.

3.3" 創(chuàng)設(shè)生活化情境，讓學生多動手體驗

在日常教學中，教師應該多創(chuàng)造情景化、生活化的情境，讓學生有自己動手的機會，從而去感受用圖形、圖表分析和解決問題的優(yōu)勢，發(fā)展其幾何直觀素養(yǎng).例如，在學習“全等三角形的判定”第一課時，從一個條件到兩個條件再到三個條件去探究兩個三角形全等的條件，讓學生自己動手操作，很容易可以畫出一個條件、兩個條件的反例，從而得出結(jié)論：僅滿足一個條件或兩個條件時，不能保證兩個三角形一定全等.繼續(xù)作圖驗證三個條件的第一種情況，即三條邊相等，最終學生通過自己動手實踐發(fā)現(xiàn)三邊分別相等的兩個三角形全等這個基本事實.

4" 結(jié)束語

在初中數(shù)學教學中，教師在課堂教學中必須關(guān)注學生幾何直觀素養(yǎng)的培養(yǎng)，可以通過現(xiàn)代教育技術(shù)演示、讓學生自己動手操作等手段，幫助學生建立并利用數(shù)學模型分析解決現(xiàn)實中的數(shù)學問題，明晰解決數(shù)學問題的思路，由此培養(yǎng)學生借助圖表分析和解決實際問題的習慣意識.數(shù)學教育的最終目的在于培養(yǎng)和發(fā)展學生的數(shù)學核心素養(yǎng)，在數(shù)學教學中，教師要以提升學生的核心素養(yǎng)為目標，精心設(shè)計教學，切實開展教學，全面反思教學.

參考文獻：［1］ 中華人民共和國教育部.義務教育數(shù)學課程標準（2022年版）［M］.北京：北京師范大學出版社，2022.

［2］ 張河源.核心素養(yǎng)下初中生幾何直觀能力的培養(yǎng)［J］.中學數(shù)學研究（華南師范大學版），2022（24）：42-46.

［3］ 姜鴻雁，徐德同.立足基礎(chǔ)·注重探究·彰顯文化：2022年中考“圖形的性質(zhì)”專題命題分析［J］.中國數(shù)學教育，2023（5）：50-62.

［4］ 蔣梅，張斌.變化的圖形 不變的規(guī)律：2022年中考“圖形的變化”專題命題分析［J］.中國數(shù)學教育，2023（7）：4-13.

［責任編輯：李" 璟］