摘" 要：平面幾何中的最值問題是中考的熱點(diǎn)，也是難點(diǎn).解決這類問題的主要依據(jù)有兩個(gè)：一是兩點(diǎn)之間，線段最短；二是垂線段最短.最值問題常常涉及圓、三角形和四邊形的相關(guān)知識(shí)，其解題策略主要有：化折線為直線、化雙動(dòng)點(diǎn)為單動(dòng)點(diǎn)等.

關(guān)鍵詞：平面幾何；圓；三角形；四邊形；最值問題；解題策略

中圖分類號：G632""" 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A""" 文章編號：1008-0333（2024）17-0005-03

收稿日期：2024-03-15

作者簡介：劉景制（1977.5—），男，甘肅省隴南人，本科，中學(xué)一級教師，從事初中數(shù)學(xué)教學(xué)研究.

解決初中平面幾何最值問題的主要依據(jù)是“兩點(diǎn)之間，線段最短”和“垂線段最短”.筆者結(jié)合具體問題，分析平面幾何最值問題的解題策略，供參考.

1" 圓中的最值問題

例1" 如圖1，AB是⊙O的弦，AB=5，點(diǎn)C是⊙O上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且∠ACB=45°，若點(diǎn)M，N分別是AB，AC的中點(diǎn)，則MN長的最大值是.

分析" 因?yàn)镸，N分別是AB，AC的中點(diǎn)，所以MN=12BC.欲求MN長的最大值，只需BC的長取得最大值即可.由圓的性質(zhì)可知，當(dāng)BC是直徑時(shí)，BC的長最大.

解" 如圖2，因?yàn)镸，N分別是AB，AC的中點(diǎn)，所以MN=12BC，所以當(dāng)BC取得最大值時(shí)，MN就取得最大值， 因此BC是直徑時(shí)，BC的長最大.連接BO并延長交⊙O于點(diǎn)C′， 連接AC′.因?yàn)锽C′是⊙O的直徑，所以∠BAC′=90°.因?yàn)椤螦CB=45°，AB=5，所以∠AC′B=45°，所以BC′=ABsin45°=5×22=52，所以MNmax=522.

2" 三角形中的最值問題

例2" 如圖3，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，且BA=3，AC=4，D是斜邊BC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)D分別作DM⊥AB于點(diǎn)M，DN⊥AC于點(diǎn)N，連接MN，則線段MN的最小值為.

分析" 因MN是矩形AMDN的一條對角線，連接AD，則MN=AD，把求MN的最小值轉(zhuǎn)化為求AD的最小值.線段AD的一端點(diǎn)A固定，另一端點(diǎn)D在線段BC上，因而可把MN的最小值問題轉(zhuǎn)化為定點(diǎn)到一條定直線距離的最小問題.根據(jù)“垂線段最短”易知，當(dāng)AD⊥BC時(shí)，AD取最小值.由勾股定理求出BC的長，再用面積法求出MN的長.

解" 如圖4，連接AD.因?yàn)椤螧AC=90°，BA=3，AC=4，所以BC=BA2+AC2=5.因?yàn)镈M⊥AB，DN⊥AC，所以∠DMA=∠DNA=∠BAC=90°，所以四邊形DMAN是矩形，所以MN=AD，所以當(dāng)AD⊥BC時(shí)，AD的值最小，如圖5.因?yàn)棣BC的面積=12AB×AC=12BC×AD，所以AD=AB×ACBC=125，所以MN的最小值為125.

點(diǎn)評" 本題屬于雙動(dòng)點(diǎn)問題.一般通過適當(dāng)?shù)淖儞Q或作出輔助線，找出雙動(dòng)點(diǎn)線段與圖中某條單動(dòng)點(diǎn)線段之間存在的數(shù)量關(guān)系，然后利用“垂線段最短”或其他數(shù)學(xué)知識(shí)求出單動(dòng)點(diǎn)線段長的最小值.將雙動(dòng)點(diǎn)轉(zhuǎn)化為單動(dòng)點(diǎn)，進(jìn)而得到雙動(dòng)點(diǎn)線段長的最小值，即消點(diǎn)——將雙動(dòng)點(diǎn)轉(zhuǎn)化為單動(dòng)點(diǎn).

例3［1］" 如圖6，在△ABC中，BC=6，BC邊上的高為4，在△ABC的內(nèi)部作一個(gè)矩形EFGH，使EF在BC邊上，另外兩個(gè)頂點(diǎn)分別在AB，AC邊上，則對角線EG長的最小值為.

分析" 求解本題的思路靈活，方法不唯一.

思路1" 如圖7，由題意易得ΔADG∽ΔABC，線段間存在比例關(guān)系.作AQ⊥BC于點(diǎn)Q，交DG于點(diǎn)P，設(shè)GF=PQ=x（0＜x＜4），則AP=4-x， 可證ΔADG∽ΔABC，由此可得APAQ=DGBC，據(jù)此可知EF=DG=32（4-x），由勾股定理和二次函數(shù)可得答案.

思路2" 如圖7，作AQ⊥BC于點(diǎn)Q，交DG于點(diǎn)P，由線段間的比例關(guān)系得APDG=AQBC=23，設(shè)AP=2a，DG=3a，可以減少運(yùn)算量.

解法1" 如圖7，作AQ⊥BC于點(diǎn)Q， 交DG于點(diǎn)P.因?yàn)樗倪呅蜠EFG是矩形，所以AQ⊥DG，GF=PQ.設(shè)GF=PQ=x（0＜x＜4）， 則AP=4-x，由DG∥BC易知△ADG∽△ABC，所以APAQ=DGBC， 即4-x4=DG6，則EF=DG=32（4-x），易知EG=EF2+GF2=134x-36132+14413，所以當(dāng)x=3613時(shí)，EG取得最小值，最小值為121313.

解法2" 如圖7，作AQ⊥BC于點(diǎn)Q，交DG于點(diǎn)P，因?yàn)樗倪呅蜠EFG是矩形，所以AQ⊥DG，GF=PQ.由DG∥BC知△ADG∽△ABC，所以APDG=AQBC=23.設(shè)AP=2a，DG=3a， 則GF=PQ=4-2a，易知EG=（3a）2+（4-2a）2=13a-8132+14413，所以當(dāng)a=813時(shí)，EG的最小值為121313.

點(diǎn)評" 通過適當(dāng)變換或作出輔助線找出雙動(dòng)點(diǎn)線段與圖中某條單動(dòng)點(diǎn)線段之間存在的數(shù)量關(guān)系，再運(yùn)用“垂線段最短”或其他數(shù)學(xué)知識(shí)求出單動(dòng)點(diǎn)線段的最小值，這樣就把“求雙動(dòng)點(diǎn)線段的最值”轉(zhuǎn)化為 “求單動(dòng)點(diǎn)線段的最值”.

3" 四邊形中的最值問題

例4" 如圖8，正方形ABCD的邊長為4，E為BC上一點(diǎn)，BE=1，F(xiàn)為AB上一點(diǎn)，AF=2，P為AC上一點(diǎn)，則PF+PE的最小值為.

分析" 本題屬于“將軍飲馬”型問題，用軸對稱變換將動(dòng)線段PF或PE變換到定直線AC（動(dòng)點(diǎn)所在直線）的兩側(cè)，將兩折線轉(zhuǎn)化到同一條線上，即轉(zhuǎn)化為兩定點(diǎn)間的線段長.

解法1" 如圖9，作點(diǎn)E關(guān)于直線AC的對稱點(diǎn)E′，連接E′F，則E′F即為所求的最小線段和，過F作FG⊥CD于G.在Rt△E′FG中，GE′=CD-DE′-CG=4-1-2=1，GF=4，所以E′F=FG2+E′G2=42+12=17.

解法2" 如圖10，作點(diǎn)F關(guān)于直線AC的對稱點(diǎn)F′，連接EF′，則EF′即為所求的最小線段和，過F′作F′G⊥BC于G.

在 Rt△EF′G中，GE=BC-BE-CG=4-1-2=1，GF′=4，所以EF′=EG2+F′G2=17.

例5［2］" 如圖11，四邊形ABCD中，∠C=50°，∠B=∠D=90°，E，F(xiàn)分別是BC，DC上的點(diǎn)，當(dāng)ΔAEF的周長最小時(shí)，∠EAF的度數(shù)為（" ）.

A.50°" B.60°" C.70°" D.80°

分析" A是定點(diǎn)，E，F(xiàn)是動(dòng)點(diǎn)，要在∠BCD的兩邊各確定一點(diǎn)使這三點(diǎn)構(gòu)成的三角形周長最小，只需將這三邊的和轉(zhuǎn)化為以兩定點(diǎn)為端點(diǎn)的一條折線.如圖12，因此作出點(diǎn)A關(guān)于BC和CD的對稱點(diǎn)A′，A″，確定點(diǎn)E，F(xiàn)的位置，將三條折線轉(zhuǎn)化到同一直線上.如圖13，易知∠AA′E+∠A″=50°，進(jìn)而得出∠AEF+∠AFE=2（∠AA′E+∠A″），即可得出答案.也可以先求∠DAB=130°，也能得出答案.

解" 如圖13，作A關(guān)于BC和CD的對稱點(diǎn)A′，A″，連接A′A″，交BC于E，交CD于F， 則A′A″即為△AEF的周長最小值.因?yàn)椤螩=50°，所以∠DAB=130°，所以∠AA′E+∠A″=50°.因?yàn)椤螮A′A=∠EAA′，∠FAA″=∠A″，所以∠EAA′+∠FAA″=50°，所以∠EAF=130°-50°=80°.故選D.

點(diǎn)評" 涉及兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)與一個(gè)定點(diǎn)的三條線段和最小時(shí)，一般作出定點(diǎn)關(guān)于動(dòng)點(diǎn)所在直線的對稱點(diǎn)，即通過兩次對稱變換，將三條線段轉(zhuǎn)化為兩定點(diǎn)間的折線段，化“三折線”為“線段”.

4" 結(jié)束語

由此可以看出，求解平面幾何最值問題的策略是將幾何中的最值問題轉(zhuǎn)化為基本的幾何模型，即“兩點(diǎn)之間，線段最短”和“垂線段最短”.解題的關(guān)鍵是抓住變化中不變的量（長度、角度、面積），將其與變化的量比較大小.在解題過程中，需要通過平移、旋轉(zhuǎn)、對稱軸等將多條線段首尾相連轉(zhuǎn)化為兩定點(diǎn)之間的線段，實(shí)現(xiàn)化折線為直線，然后利用“兩點(diǎn)之間，線段最短”說明最小，或者將最值問題轉(zhuǎn)化為一定點(diǎn)到一定直線的距離，利用“垂線段最短”即可求出最小值.

參考文獻(xiàn)：［1］ 鄧文忠.淺談解一類線段最小值的兩種視角［J］.數(shù)理化學(xué)習(xí)（初中版），2016（3）：28-31.

［2］ 李玉榮.應(yīng)用代數(shù)法求幾何最值的三個(gè)途徑［J］.數(shù)理化學(xué)習(xí)（初中版），2019（11）：19-21.

［責(zé)任編輯：李" 璟］