［摘 要］“單元整體教學(xué)”和“起始課”是深度學(xué)習(xí)最好的抓手，是核心素養(yǎng)落地的保障。文章以浙教版教材九年級上冊“圖形的相似”單元起始課為例，介紹改進前、后的教學(xué)設(shè)計，分析教學(xué)設(shè)計的意圖，闡述單元整體教學(xué)視角下對起始課的認(rèn)識，探討起始課教學(xué)的策略，并對如何引導(dǎo)學(xué)生建立知識結(jié)構(gòu)和感悟知識研究的過程進行探討。

［關(guān)鍵詞］單元整體教學(xué)；起始課；圖形的相似

［中圖分類號］" " G633.6" " " " ［文獻(xiàn)標(biāo)識碼］" " A" " " " ［文章編號］" " 1674-6058（2024）17-0017-05

隨著新課程改革的深入推進，“單元整體教學(xué)”和“起始課教學(xué)”走進了教師的日常教學(xué)。單元整體教學(xué)視角下的起始課教學(xué)，一方面通過一節(jié)課的教學(xué)厘清全章知識的整體結(jié)構(gòu)和邏輯，讓學(xué)生對將要學(xué)習(xí)的知識心中有數(shù)；另一方面解決“為何學(xué)”“學(xué)什么”“如何學(xué)”的困惑。縱觀現(xiàn)實課堂，一些教師在教學(xué)時只重視知識的傳授和技能的訓(xùn)練，對起始課教學(xué)挖掘不深，造成學(xué)生學(xué)習(xí)目的不明確，“只見樹木，不見森林”；對章前引言的思想方法滲透、情感態(tài)度與價值觀培養(yǎng)等育人功能的認(rèn)識不夠深刻。沒有學(xué)生主動參與和親身體驗的課堂很難實現(xiàn)育人功能。本文以“圖形的相似”單元起始課為例，具體闡述如何在理解數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)上，基于深度學(xué)習(xí)的理念整體設(shè)計教學(xué)活動。

一、課例簡述

環(huán)節(jié)一 ：情境引入

師：觀察圖1，請指出這些直角三角形的形狀和大小有什么特點？

環(huán)節(jié)二 ：新知探索

合作探究：量一量圖2中兩個三角形各個內(nèi)角的度數(shù)，再算一算各條邊的長。

想一想：（1）△A'B'C'與[△ABC]對應(yīng)角之間有什么關(guān)系？（2）△A'B'C'與△ABC對應(yīng)邊之間有什么關(guān)系？

師生活動：學(xué)生動手測量，共同發(fā)現(xiàn)三角形對應(yīng)角和對應(yīng)邊之間的關(guān)系；教師給出相似三角形的定義和由定義得到的性質(zhì)，并介紹相似比的概念。

環(huán)節(jié)三： 例題教學(xué)

［例1］如圖3，在[△ABC]中，已知[D]、[E]分別是[AB]、[AC]邊的中點。求證：[△ADE] ∽[△ABC]。

［例2］如圖4，[D]、[E]分別是[△ABC]的[AB]、[AC]邊上的點，[△ADE] ∽[△ABC]。已知[AD]∶[DB]=1∶2，[BC=9] cm，求[DE]的長。

［變式］如圖5，CD、BE相交于點A，連接DE、BC，[△ADE] ∽[△ABC]。

（1）若[∠D=35°]，[∠DAE=100°]，求∠C的度數(shù)。

（2）若[AB=6]，[AE=2]，[AC=4]，求AD的長。

環(huán)節(jié)四 ：課堂小結(jié)

師：這節(jié)課主要學(xué)習(xí)了什么內(nèi)容？要注意什么？這些內(nèi)容是如何得到的？可以在后續(xù)解決什么問題？

二、課例思考

（一）課例特點

特點1：重視基礎(chǔ)知識和基本技能的教學(xué)。從學(xué)生練習(xí)的情況看，大多數(shù)學(xué)生知道了相似三角形的定義和由定義得到的判定和性質(zhì)，能解決簡單的問題。特點2：讓學(xué)生通過量一量直觀感知相似三角形的定義。特點3：通過習(xí)題訓(xùn)練幫助學(xué)生實現(xiàn)相似三角形定義和性質(zhì)的文字語言、符號語言和圖形語言的轉(zhuǎn)化，建立有效聯(lián)系。

（二）存在問題

1.對研究思路和學(xué)習(xí)內(nèi)容心中沒有數(shù)

本節(jié)課作為“圖形的相似”單元的起始課，有三個學(xué)習(xí)任務(wù)：（1）從實物出發(fā)，明確研究對象是形狀相同的圖形，了解相似三角形的定義；（2）類比全等圖形的學(xué)習(xí)，體會“從特殊到一般”的思想，在相似三角形定義的學(xué)習(xí)中體會用定量方式刻畫定義的必要性，體會初中幾何研究的一般思路；（3）對本單元的研究思路和學(xué)習(xí)內(nèi)容心中有數(shù)。

課例中雖然用幾個形狀相同的直角三角形引入，但現(xiàn)實事物太少，更沒有指出相似圖形和全等圖形的關(guān)系，整個教學(xué)沒有體現(xiàn)“類比”的研究方法，學(xué)生在學(xué)完本節(jié)課后也不清楚本單元的研究內(nèi)容和思路。

2.存在“另起爐灶”的現(xiàn)象

“圖形相似”是“圖形變化”的主要內(nèi)容之一，研究的主題是圖形形狀之間的關(guān)系。全等和相似是初中重點研究的兩大圖形關(guān)系。全等是一種特殊的相似。本章類比全等圖形的基本研究思路對相似圖形進行研究。而課例的教學(xué)脫離學(xué)生已有的經(jīng)驗，“另起爐灶”，不利于學(xué)生對知識的整體理解，更不利于學(xué)生自主學(xué)習(xí)能力的培養(yǎng)。

3.存在“偽探究”的現(xiàn)象

在課例中設(shè)計合作學(xué)習(xí)，讓學(xué)生量一量兩個三角形的邊和角，從而導(dǎo)出相似三角形的定義，但學(xué)生會存在這樣的疑問：為什么要量？怎么想到量邊和角？課例設(shè)計的探究活動，學(xué)生體會不到其意義，很難有效開展探究。

三、進一步思考

（一）教材學(xué)習(xí)

查看北師大版教材和人教版教材關(guān)于本單元的教學(xué)，發(fā)現(xiàn)它們與浙教版教材有以下幾個區(qū)別：

1.編排順序的區(qū)別。北師大版教材和人教版教材是按照從一般到特殊的順序呈現(xiàn)研究對象的，即“相似圖形的現(xiàn)實模型→相似圖形→相似多邊形→相似三角形→位似圖形”。而浙教版教材則是按照從特殊到一般的順序呈現(xiàn)研究對象，即“相似三角形→相似多邊形→位似圖形”。

北師大版教材和人教版教材這樣處理的優(yōu)勢有：（1）“相似圖形的現(xiàn)實模型→相似圖形”這個研究過程和已經(jīng)學(xué)習(xí)的全等型過程“全等圖形的現(xiàn)實模型→全等圖形”是一致的。（2）研究相似圖形后研究相似多邊形，目的是揭示從邊和角兩個方面去刻畫定義的合理性。先研究相似多邊形的定義能很好地揭示“形狀相同”為什么需要從角和邊兩個方面去闡述。我們知道如果僅滿足其中一個條件（對應(yīng)角相等或?qū)?yīng)邊成比例）的兩個多邊形的形狀不一定相同，而三角形卻不能很好地說明。但“相似圖形→相似多邊形”這個研究過程和“全等圖形→全等三角形”的研究過程是不一樣的，學(xué)生不易想到。經(jīng)綜合分析，我們采取“相似圖形的現(xiàn)實模型→相似圖形→相似三角形”這一研究思路，沿用全等型的研究路線，并設(shè)計教學(xué)活動解決“為什么想到用邊和角刻畫定義”的困惑。

2.細(xì)節(jié)處理的不同。在人教版教材中加入了相似圖形與縮放之間的關(guān)系，從圖形變化的角度認(rèn)識相似圖形，圖形放大或縮小是相似圖形的直觀刻畫。一個圖形經(jīng)放大或縮小后所得到的新圖形，與它是相似的；反過來，兩個圖形相似，其中一個圖形可以看作是由另一個圖形放大或縮小得到。這讓學(xué)生體會到兩個相似圖形存在一定的比例關(guān)系，進而對相似圖形有直觀體驗，為理解相似三角形的定義和相似比的概念做好鋪墊。綜上可知，厘清縮小放大和相似圖形的關(guān)系還是有必要的。

（二）內(nèi)容解析

本章是在研究全等圖形這一特殊圖形的基礎(chǔ)上，進一步一般化，研究圖形形狀之間的關(guān)系，得到相似圖形。全等和相似是初中重點研究的兩大圖形關(guān)系，本節(jié)課給出了相似三角形的概念，為進一步研究三角形相似的判定和性質(zhì)打下基礎(chǔ)。

全等圖形是一種特殊的相似圖形，通過類比全等圖形的研究思路，得到相似圖形的研究思路：從現(xiàn)實生活中抽象出相似圖形，以最簡單、最典型的封閉圖形——三角形作為載體，研究相似圖形的定義、性質(zhì)、判定和應(yīng)用。這體現(xiàn)了從特殊到一般的研究思想。相似圖形的研究再次呈現(xiàn)了圖形關(guān)系研究的典范，為進一步研究相似多邊形打下基礎(chǔ)。

初中階段對相似圖形的定義是“形狀相同的圖形叫作相似圖形（從形的角度）”，而對相似三角形的定義是“對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊成比例的兩個三角形，叫作相似三角形（從數(shù)的角度）”。 兩個圖形相似是對“形狀相同”的數(shù)學(xué)刻畫，其落腳點在圖形組成要素的相互關(guān)系上，而且是用一個“數(shù)”來表示的，這體現(xiàn)了從定性分析到定量分析的研究思想（如圖6）。

（三）問題診斷

類比全等三角形的定義方式，學(xué)生容易對相似三角形的定義進行第一次抽象，概括得到兩個形狀相同的三角形是相似三角形的直觀定義，但區(qū)別在于相似三角形的定義需經(jīng)歷第二次抽象，即從定性分析到定量分析，用數(shù)量關(guān)系“對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊成比例”來刻畫，這個過程學(xué)生有一定的困難。并且對比全等三角形，相似三角形對應(yīng)邊的尋找也更為復(fù)雜。

基于以上分析，確定本節(jié)課的教學(xué)難點：（1）用定量分析的方式刻畫相似三角形的定義；（2）在具體圖形中找出相似三角形的對應(yīng)邊，并寫出比例式。

四、教學(xué)改進

環(huán)節(jié)一： 先行組織，發(fā)現(xiàn)問題

先行組織：圖形與圖形之間的關(guān)系，主要是指兩個圖形之間的形狀、大小關(guān)系和位置關(guān)系。

問題1：觀察以下幾組圖片（如圖7）， 說說每一組圖片中兩個圖形的形狀、大小有什么關(guān)系？

追問1： 相似圖形對圖形大小有要求嗎？

追問2： 全等圖形和相似圖形有什么關(guān)系？

設(shè)計意圖：通過先行組織，讓學(xué)生明確兩個圖形之間的關(guān)系主要指形狀、大小關(guān)系和位置關(guān)系。按照形狀、大小分類，圖形之間的關(guān)系可以分為四類，聚焦本章節(jié)研究的內(nèi)容——形狀相同的圖形，即相似圖形。使學(xué)生認(rèn)識到全等圖形是一種特殊的相似圖形，為接下來用類比的方法研究相似圖形做好鋪墊。

問題2： 我們知道一個圖形通過平移、旋轉(zhuǎn)、軸對稱所得的新圖形與它全等，那么怎樣得到一個圖形的相似圖形呢？

設(shè)計意圖：從圖形變化的角度認(rèn)識相似圖形。

環(huán)節(jié)二：類比探究，精確定義

1.第一次類比——構(gòu)建研究思路，明確研究對象

問題3：請大家回憶一下，我們是按照怎樣的路徑展開全等圖形的學(xué)習(xí)的？

追問：類比全等圖形的研究路徑，你會如何來研究相似圖形？

教師活動：引導(dǎo)學(xué)生回憶全等圖形的研究路徑，并通過類比，提出研究對象——相似三角形，在此基礎(chǔ)上提出相似三角形的研究思路：定義→性質(zhì)→判定→應(yīng)用。

設(shè)計意圖：引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷第一次類比，通過類比全等圖形的研究路徑和方法，得出相似三角形的研究路徑和方法。

2.第二次類比——引發(fā)認(rèn)知沖突，尋求新的角度

問題4：類比全等三角形的定義方法，你能給出相似三角形的定義嗎？

預(yù)設(shè)：根據(jù)相似圖形的學(xué)習(xí)經(jīng)驗，有的學(xué)生可能會說“形狀相同的三角形相似”，有的學(xué)生可能會說“一個三角形通過放大或縮小可以得到另一個三角形，兩個三角形相似”。

追問：如圖8，△ABC和△A'B'C'相似嗎？

師生活動：大多數(shù)學(xué)生通過觀察發(fā)現(xiàn)這兩個三角形的形狀相同，因此認(rèn)為這兩個三角形相似。教師用課件動態(tài)演示進行驗證，即把△ABC按一定比例縮小后，移到△A'B'C'上，發(fā)現(xiàn)其不能與△A'B'C'完全重合，從而得出兩個三角形不相似的結(jié)論。

設(shè)計意圖：首先引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷第二次類比，使學(xué)生獲得相似三角形的直觀定義；其次利用看似相似但實際不相似的視覺反差，引發(fā)學(xué)生的思考，引導(dǎo)學(xué)生從其他角度判定兩個三角形相似，體現(xiàn)從定性分析到定量分析的研究方法。

3.第三次類比——從定性到定量，得到精確定義

問題5：全等三角形定義中的“完全重合”，我們可以用怎樣的數(shù)量關(guān)系來刻畫？

追問1：類比全等三角形，你會從什么角度來刻畫“形狀相同的兩個三角形”的特征？

追問2：量一量、算一算，如圖9所示的兩個三角形的組成元素之間有哪些數(shù)量關(guān)系？

師生活動：學(xué)生通過對全等三角形定義進行挖掘，了解“完全重合”指的是“對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊相等”，明確是通過邊、角之間的數(shù)量關(guān)系來刻畫的。學(xué)生類比思考相似三角形的代數(shù)定義，通過實驗的方法歸納出形狀相同的兩個三角形的特征是“對應(yīng)角相同，對應(yīng)邊成比例”。教師用幾何畫板進行動態(tài)演示及驗證。

設(shè)計意圖：引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷第三次類比，通過對全等三角形定義的回憶，明確精確的定義是用代數(shù)方法刻畫的；讓學(xué)生明白“形狀相同”的落腳點仍然是在圖形組成要素的相關(guān)關(guān)系上，同時經(jīng)歷從定性分析到定量分析的過程，從而突破本節(jié)課的第一個教學(xué)難點。

問題6： 你能用自己的語言歸納相似三角形的定義嗎？

追問1：你能將相似三角形的定義轉(zhuǎn)化為符號語言嗎？

追問2：兩個全等三角形是不是相似三角形？如果是，那么它們的相似比是多少？

追問3： 根據(jù)相似三角形的定義，怎樣判定兩個三角形相似？

問題7：若兩個三角形相似，根據(jù)相似三角形的定義，你能得出哪些性質(zhì)？

追問：你能將文字語言轉(zhuǎn)化為符號語言嗎？

設(shè)計意圖：通過問題6和問題7明確相似三角形的定義能給我們判定兩個三角形相似提供依據(jù)，同時給出相似三角形的性質(zhì)；通過兩個追問讓學(xué)生將文字語言轉(zhuǎn)化為符號語言，增強學(xué)生的符號意識和培養(yǎng)學(xué)生的邏輯推理能力。

環(huán)節(jié)三：變式訓(xùn)練，鞏固內(nèi)化

［例1］如圖10，在[△ABC]中，已知D、E分別是AB、AC邊的中點。求證：[△ADE] ∽[△ABC]。

練習(xí)（1）：指出例1中[△ADE]與[△ABC]的對應(yīng)角以及對應(yīng)邊成比例的比例式。

練習(xí)（2）：改變DE的位置，如圖11，[△ADE]與[△ABC]相似，寫出[△ADE]與[△ABC]的對應(yīng)角以及對應(yīng)邊成比例的比例式。

［例2］如圖12，[△ABC ]∽[△ACD]，點[D]在[AB]上。

（1）若[∠ADC=65°]，[∠B=37°]，求∠[ACB]和∠[ACD]的度數(shù)；

（2）若[AC=3 cm]，[AD=2 cm]，求[AB]的長。

學(xué)生講解題目，互相補充，共同完成題目解答。

設(shè)計意圖：通過改變線段[DE]的位置（[DE]為中位線；旋轉(zhuǎn)[DE]；[E]和[C]重合）給出相應(yīng)練習(xí)題，讓學(xué)生在解題過程中理解相似三角形的定義和性質(zhì)，感悟?qū)?yīng)頂點的改變會引起對應(yīng)邊和對應(yīng)角的改變，從而突破本節(jié)課的第二個教學(xué)難點。

環(huán)節(jié)四： 歸納交流，形成體系

問題8：總結(jié)一下我們研究相似圖形的思路。

追問1： 我們是怎么想到要研究相似三角形的呢？

追問2：相似三角形的定義指的是什么？相似三角形的定義是如何得到的？

問題9： 根據(jù)課堂上給出的全等圖形的研究思路，你能說說接下來我們要研究相似三角形的哪些內(nèi)容嗎？如何研究呢？

設(shè)計意圖：以問題串的形式引導(dǎo)學(xué)生進行歸納總結(jié)，為后續(xù)學(xué)習(xí)提供路徑和方法。

五、教學(xué)啟示

（一）創(chuàng)設(shè)情境，注重發(fā)現(xiàn)問題的過程，解決“為何學(xué)”的問題

一個好的情境，能激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，但教師不能為了吸引學(xué)生的注意力而創(chuàng)設(shè)情境。教師應(yīng)創(chuàng)設(shè)與學(xué)習(xí)任務(wù)有密切關(guān)系的情境，能夠從中概括出學(xué)習(xí)內(nèi)容的本質(zhì)。教師創(chuàng)設(shè)的情境可以從學(xué)生真實生活中產(chǎn)生，也可以從數(shù)學(xué)知識的內(nèi)在邏輯、解決問題的需要中產(chǎn)生，從而解決“為何學(xué)”的問題。本節(jié)課從數(shù)學(xué)內(nèi)容的邏輯結(jié)構(gòu)和現(xiàn)實生活兩個角度創(chuàng)設(shè)情境，闡明了研究相似圖形的必要性。

（二）整體理解，建構(gòu)知識結(jié)構(gòu)，解決“學(xué)什么”的問題

數(shù)學(xué)是一個整體，數(shù)學(xué)的整體性體現(xiàn)在代數(shù)、幾何、三角等各部分內(nèi)容之間的聯(lián)系上，同時也體現(xiàn)在同一部分內(nèi)容中知識的前后邏輯關(guān)系（縱向聯(lián)系、橫向聯(lián)系）上，特別是體現(xiàn)在數(shù)學(xué)核心概念所反映的數(shù)學(xué)思想方法的前后一致上。教師應(yīng)注重數(shù)學(xué)的整體性教學(xué)，引導(dǎo)學(xué)生建構(gòu)知識結(jié)構(gòu)，解決“學(xué)什么”的問題。

在圖形關(guān)系的研究過程中，我們主要考察兩個圖形之間的形狀、大小關(guān)系和位置關(guān)系。學(xué)生之前已經(jīng)從圖形形狀和大小關(guān)系的角度研究了兩個圖形的全等關(guān)系，本章節(jié)從圖形形狀的角度研究兩個圖形的另一類關(guān)系——相似，相似關(guān)系是全等關(guān)系的一般化，所以其研究思路、研究方法是一致的。本節(jié)課引導(dǎo)學(xué)生利用類比的方法進行研究，明確相似圖形的研究路徑（如圖13）。

（三）注重系統(tǒng)思維培養(yǎng)，強化“一般方法”的指導(dǎo)，解決“怎么學(xué)”的問題

系統(tǒng)思維是指把認(rèn)識對象作為系統(tǒng)，通過系統(tǒng)和要素、要素和要素、系統(tǒng)和環(huán)境的相互聯(lián)系及相互作用綜合考察認(rèn)識對象的一種思維方法。數(shù)學(xué)是一個系統(tǒng)，理解和掌握數(shù)學(xué)知識需要系統(tǒng)思維。在教學(xué)中，教師應(yīng)注重學(xué)生系統(tǒng)思維的培養(yǎng)，強化“一般方法”的指導(dǎo)，引導(dǎo)學(xué)生掌握“研究套路”，從而解決“怎么學(xué)”的問題。

本節(jié)課中，學(xué)生在學(xué)習(xí)相似三角形的定義的過程中提出了“兩個形狀相同的三角形是相似三角形”的直觀定義，教師通過幾何畫板演示，讓學(xué)生認(rèn)識到這樣的定義不夠精確，然后引導(dǎo)學(xué)生從要素之間的關(guān)系獲得“一般地，對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊成比例的兩個三角形是相似三角形”的代數(shù)定義，讓學(xué)生經(jīng)歷從定性分析到定量分析的過程。這是學(xué)生系統(tǒng)思維培養(yǎng)的重要過程。

（四）設(shè)計活動，充分展示定義的發(fā)生、發(fā)展過程，實現(xiàn)“有效學(xué)”

好的活動是深度學(xué)習(xí)的重要支撐，也是培養(yǎng)學(xué)生高階思維的保證。本節(jié)課中主要設(shè)計了“先行組織，發(fā)現(xiàn)問題”“類比探究，精確定義”“變式訓(xùn)練，鞏固內(nèi)化”“歸納交流，形成體系”四大環(huán)節(jié)。其中，環(huán)節(jié)二設(shè)計了3個子環(huán)節(jié)，教師帶領(lǐng)學(xué)生經(jīng)歷一次沖突、三次類比，展現(xiàn)了從獲得研究思路到直觀刻畫再到代數(shù)刻畫的過程，這一研究過程符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律和數(shù)學(xué)發(fā)展的規(guī)律，充分展示了相似三角形定義的發(fā)生、發(fā)展過程，為學(xué)生自主探究相似三角形的判定和性質(zhì)打下基礎(chǔ)，使學(xué)生實現(xiàn)“有效學(xué)”。

［" "參" "考" "文" "獻(xiàn)" "］

［1］" 中華人民共和國教育部.義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)：2022年版［M］.北京：北京師范大學(xué)出版社，2022.

［2］" 劉乃志.章起始課：內(nèi)涵、教學(xué)價值與教學(xué)建議[J].數(shù)學(xué)通報，2023（4）：45-48.

［3］" 章建躍.整體性、系統(tǒng)思維與核心素養(yǎng)[J].中小學(xué)數(shù)學(xué)（高中版），2016（10）：66.

（責(zé)任編輯" " 黃春香）