董 科,周雨青,2

(1. 東南大學(xué) 物理學(xué)系,江蘇 南京 211189;2. 北京師范大學(xué) 文理學(xué)院,廣東 珠海 519085)

本文研究的問(wèn)題源自一道題目的求解.

如圖1所示,陀螺的均勻薄盤盤緣及桿的一端O靠在水平桌面上,桿與桌面成θ=45°.今陀螺以O(shè)端為支點(diǎn)在桌面上作純滾動(dòng),桿繞鉛垂軸作勻速轉(zhuǎn)動(dòng),角速度為Ω.假設(shè)薄盤的質(zhì)量為m、半徑為R,桿的質(zhì)量忽略不計(jì),求桌面對(duì)盤緣支持力N[1].

圖1 陀螺以O(shè)端為支點(diǎn)做純滾動(dòng)

ω=ω1+ω2

(1)

(2)

在相對(duì)于桿靜止不動(dòng)的旋轉(zhuǎn)參考系S′中,陀螺繞“固定軸”勻速轉(zhuǎn)動(dòng),其角動(dòng)量I1ω1沿桿方向且恒定不變,這里I1=mR2/2代表盤繞桿的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量.在桌面參考系S中,陀螺相對(duì)于O點(diǎn)的角動(dòng)量似乎就應(yīng)該是兩種轉(zhuǎn)動(dòng)對(duì)應(yīng)的角動(dòng)量的矢量和(相對(duì)運(yùn)動(dòng)+牽連運(yùn)動(dòng)),即[2]L0=I1ω1+I2ω2

(3)

其中I2代表繞過(guò)O點(diǎn)且平行AB的軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量,根據(jù)平行軸定理和垂直軸定理,有

I2=mR2+I1/2=5mR2/4

由于θ=45°,式(3)中L0在y方向分量的大小

L0y=I1ω1cosθ+I2ω2sinθ=7mR2Ω/4

(4)

根據(jù)角動(dòng)量定理,對(duì)O點(diǎn)的力矩滿足

(5)

由式(4)、(5)可得

(6)

上述的計(jì)算看起來(lái)是順理成章的,但這一結(jié)論卻并不正確.原因何在呢?

1 問(wèn)題的解決

r=r′,v=v′+Ω×r′

我們知道,質(zhì)點(diǎn)在S系和S′系中的牽連速度Ω×r′源自旋轉(zhuǎn)系中所存在的“刻舟求劍”問(wèn)題,這對(duì)兩參考系中的角動(dòng)量關(guān)系造成直接影響,因而處理好“牽連”角動(dòng)量是問(wèn)題的關(guān)鍵.

(7)

也就是式(3)中的第1項(xiàng).

(8)

圖2 “牽連”角動(dòng)量的計(jì)算

設(shè)由O點(diǎn)指向A點(diǎn)的位矢為

(9)

利用關(guān)系式a×(b×c)=b(c·a)-c(a·b)及陀螺質(zhì)量分布的對(duì)稱性,可得

代入式(9)中,整理后得到

(10)

(11)

顯然,一般情況下L≠L0.這一題目提醒我們,在計(jì)算剛體角動(dòng)量時(shí)須格外小心,不能想當(dāng)然.

實(shí)際上,剛體角動(dòng)量L與角速度ω的一般關(guān)系式為[3,4]

Lx=Ixxωx+Ixyωy+Ixzωz,

Ly=Iyxωx+Iyyωy+Iyzωz,

Lz=Izxωx+Izyωy+Izzωz

(12)

在圖2所示位置,OB是陀螺的瞬時(shí)轉(zhuǎn)軸,因此有ωx=ωz=0,ωy<0.同時(shí),由對(duì)稱性可知,在桌面參考系S式(12)中慣性張量分量:

Ixy=Iyx=Ixz=Izx=0

這樣就有Lx=0,Ly=Iyyωy,Lz=Izyωy.

首先,讓我們來(lái)確定ωy.純滾動(dòng)條件要求,陀螺質(zhì)心A點(diǎn)繞z軸旋轉(zhuǎn)的速率就等于該點(diǎn)繞瞬時(shí)轉(zhuǎn)軸OB旋轉(zhuǎn)的速率(見(jiàn)圖2),即

ΩRcosθ=|ωy|Rsinθ

由此可得,ωy=-Ωcotθ=-Ω.

其次,我們來(lái)計(jì)算慣性張量分量Iyy和Izy.圖2中質(zhì)點(diǎn)mi的直角坐標(biāo)為

于是有

由陀螺質(zhì)量分布的對(duì)稱性可知

這樣就有Iyy=7mR2/8,Izy=-3mR2/8.因此,在圖2所示位置,陀螺的角動(dòng)量可寫成

這與式 (11)中的結(jié)論完全一致.

最后,我們來(lái)求桌面對(duì)盤緣的支持力N.由式(11)可知,L在水平方向分量的大小為7mR2Ω/8,則根據(jù)角動(dòng)量定理,有

由此可得

這是正確的結(jié)果.

2 非慣性系中的角動(dòng)量守恒

如果我們換一個(gè)角度考慮上述問(wèn)題,求解更簡(jiǎn)潔.就本題而言,在旋轉(zhuǎn)系S′中研究問(wèn)題,物理圖像非常簡(jiǎn)單,陀螺繞“固定”軸OA勻速轉(zhuǎn)動(dòng),其角動(dòng)量守恒,但此時(shí)要考慮慣性力的作用,因此它所受的支持力、重力和慣性力相對(duì)于O點(diǎn)定義的力矩的矢量和為零,即

MN+Mmg+M慣=0

(13)

考慮到在旋轉(zhuǎn)系S′中,質(zhì)點(diǎn)mi的速度

它所受的慣性力為

從圖2可以看出

因此

這樣,陀螺所受的慣性力力矩可進(jìn)一步化簡(jiǎn)成

這樣求得桌面對(duì)盤緣的支持力為

與在慣性系S中求得的結(jié)果一致.

3 總結(jié)

回眸式(3)的運(yùn)用,剛體角速度分量ω所對(duì)應(yīng)的角動(dòng)量,一般來(lái)說(shuō)不能簡(jiǎn)單地以Iω形式表示,它將有復(fù)雜的幾個(gè)方向轉(zhuǎn)動(dòng)的“糾纏”關(guān)系,這也是本題易錯(cuò)的關(guān)鍵所在,也是大學(xué)物理教學(xué)的薄弱之處,應(yīng)引起重視.

總之,陀螺定點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)是一個(gè)非常復(fù)雜的剛體運(yùn)動(dòng)形式,既牽涉到進(jìn)動(dòng),又牽涉到章動(dòng),盡管本題因?yàn)榧s束作用的存在,使得較為復(fù)雜的章動(dòng)行為受到抑制,但即使這樣,看似簡(jiǎn)單的陀螺運(yùn)動(dòng),也沒(méi)有那么簡(jiǎn)單的解題過(guò)程,在不同的參考系中,難點(diǎn)在角動(dòng)量和慣性力之間的轉(zhuǎn)換.所以,遇到旋轉(zhuǎn)剛體問(wèn)題千萬(wàn)不能想當(dāng)然行事.