石浚希,范曉鑫,鄂依婷,孔令陽,齊 欣,舒 崧

(湖北大學(xué) 物理學(xué)院,湖北 武漢 430062)

量子力學(xué)通過波函數(shù)描述微觀粒子的狀態(tài),但波函數(shù)的統(tǒng)計(jì)詮釋并不直觀,且無法進(jìn)行直接觀測,導(dǎo)致理解上存在一定困難.借助計(jì)算機(jī)對(duì)波函數(shù)的量子性圖像進(jìn)行可視化模擬,在量子力學(xué)教學(xué)中具有重要意義,有助于學(xué)生認(rèn)識(shí)微觀粒子量子性的運(yùn)動(dòng)圖像,啟發(fā)學(xué)生深入思考,從而加深對(duì)波函數(shù)物理意義的理解.

本文將利用蒙特卡羅方法模擬微觀粒子的空間概率分布,并通過Mathematica編程軟件繪制圖像.蒙特卡羅方法是通過不斷產(chǎn)生隨機(jī)數(shù)序列來模擬過程的隨機(jī)模擬方法,也被稱為隨機(jī)抽樣技術(shù),主要通過進(jìn)行統(tǒng)計(jì)抽樣試驗(yàn)為各種各樣的數(shù)學(xué)和物理問題提供近似解[1].在我們以往的研究中,已經(jīng)實(shí)現(xiàn)了基于蒙特卡羅方法的三維氫原子電子云的可視化[2],在此基礎(chǔ)上,本文進(jìn)一步研究三維量子諧振子圖像的可視化.量子諧振子是量子運(yùn)動(dòng)體系的基礎(chǔ)模型,任何振幅足夠小的振動(dòng),都可近似看做諧振子的簡諧振動(dòng),因此其被廣泛應(yīng)用于分子振動(dòng)、晶格振動(dòng)、原子核振動(dòng)、聲波傳播等體系[3-5].

量子力學(xué)課程教學(xué)中通常存在概念抽象的問題,即使求解出體系波函數(shù)的解析形式,學(xué)生仍然難以形成清晰的物理圖像.比如,傳統(tǒng)《量子力學(xué)》教材在講解量子諧振子時(shí)一般側(cè)重波函數(shù)的求解過程,忽視了對(duì)量子諧振子空間三維概率分布圖像的描述.目前,量子諧振子的可視化研究主要通過概率分布函數(shù)圖像反映或采用等值線圖、切片圖等形式呈現(xiàn),存在圖像不夠直觀的問題[6-8].本文利用蒙特卡羅方法對(duì)量子諧振子進(jìn)行可視化模擬,分別繪制直角坐標(biāo)系和球坐標(biāo)系下量子諧振子的三維空間可視化圖像,借助直觀概率云圖像對(duì)諧振子在不同坐標(biāo)系下按不同量子數(shù)分解方式得到的相應(yīng)本征模式概率分布的變化情形進(jìn)行直觀對(duì)比,研究同一個(gè)諧振子體系在不同坐標(biāo)系下由于量子數(shù)分解方式的不同造成的概率云圖像的不同表現(xiàn),分析對(duì)應(yīng)圖像的變化規(guī)律和造成這種變化的原因.同時(shí),進(jìn)一步挖掘該體系特有的性質(zhì),探索量子力學(xué)圖像相對(duì)經(jīng)典圖像所不同的特性.這有助于深刻理解不同坐標(biāo)系下由于對(duì)稱性和守恒量子數(shù)的不同考慮對(duì)量子諧振子概率分布圖像呈現(xiàn)所帶來的影響,同時(shí)能有效輔助量子力學(xué)教學(xué),并開發(fā)相應(yīng)量子力學(xué)課程教學(xué)資源.

1 三維各向同性諧振子的波函數(shù)

為了結(jié)合蒙特卡羅方法中的舍選法進(jìn)行抽樣,同時(shí)對(duì)該系統(tǒng)的性質(zhì)進(jìn)行分析,首先需要得到體系的波函數(shù)表達(dá)式.本文接下來將從三維各向同性諧振子的定態(tài)薛定諤方程出發(fā),分別在球坐標(biāo)系和直角坐標(biāo)系下對(duì)薛定諤方程.

(1)

進(jìn)行推導(dǎo)得到所需的波函數(shù),以及各自體系中的概率密度函數(shù).

1.1 球坐標(biāo)系下的表示

球坐標(biāo)下三維各向同性諧振子勢可表示為

(2)

此時(shí)薛定諤方程表示為

(3)

考慮拉普拉斯算符的球坐標(biāo)形式,且薛定諤方程中徑向和角向波函數(shù)并不存在耦合,因此可以將波函數(shù)按徑向和角向進(jìn)行分離變量:

Ψ(r,θ,φ)=R(r)Y(θ,φ)

(4)

對(duì)分離變量后所得到的徑向和角向微分方程分別求解后得到的關(guān)于Y(θ,φ)的函數(shù)便是為人熟知的球諧函數(shù)

(5)

(6)

(7)

其中N=0,1,2,…,并且有關(guān)系式N=2nr+l;m=±1,±2,…,±l.不同于氫原子情況時(shí)主量子數(shù)n和角量子數(shù)l的關(guān)系,此時(shí)可以出現(xiàn)l大于nr的情況.但同樣當(dāng)N給定時(shí),若nr亦給定,則l也被唯一確定.

綜上,此時(shí)該體系的波函數(shù)可以表示為

Ψnrlm(r,θ,φ)=Rnrl(r)Ylm(θ,φ)

(8)

由波函數(shù)的概率詮釋可知,該體系在徑向上的概率密度函數(shù)表示為

WR(r)=|Rnrl(r)|2r2

(9)

角向波函數(shù)可以再次對(duì)θ和φ進(jìn)行分離變量,其中和φ相關(guān)的方位角波函數(shù)Φ(φ)的模方為常數(shù)1/(2π),這表明此時(shí)的概率云具有繞z軸的旋轉(zhuǎn)對(duì)稱性.而仰角波函數(shù)Θ(θ)對(duì)應(yīng)的仰角方向上的概率密度函數(shù)為

Wθ(θ)=|Θ(θ)|2sinθ

(10)

1.2 直角坐標(biāo)系下的表示

不同于球坐標(biāo)系,直角坐標(biāo)系下三維各向同性諧振子勢表示為

(11)

類似于球坐標(biāo)系中的討論,將此勢能項(xiàng)結(jié)合式(1)得到直角坐標(biāo)系下的薛定諤方程表示式.考慮到x、y、z三個(gè)方向上波函數(shù)不存在耦合,因此可以分離變量為

Φ(x,y,z)=φx(x)φy(y)φz(z)

(12)

分離變量后將得到3個(gè)形式完全相同厄米方程,求解得到x軸方向上的歸一化波函數(shù)為(y軸及z軸方向時(shí)的波函數(shù)對(duì)應(yīng)于下式中x取y或z)

(13)

綜上,此時(shí)的體系的波函數(shù)表示為

Φnxnynz(x,y,z)=φnx(x)φny(y)φnz(z)

(14)

由波函數(shù)的概率詮釋可知,該體系在x軸方向上的概率密度函數(shù)表示為WX(x)=|φnx(x)|2

(15)

y軸或z軸方向上的概率密度函數(shù)有相同數(shù)學(xué)形式.

上述在2種坐標(biāo)系下得到的波函數(shù)雖分別依賴于合流超幾何多項(xiàng)式及厄米多項(xiàng)式,但處于基態(tài)時(shí)具有相同的波函數(shù)形式.但對(duì)于非基態(tài)的能級(jí),由于兩種坐標(biāo)系下采用2套量子數(shù),因此同一能量下的簡并態(tài)將因?yàn)榱孔訑?shù)不同而出現(xiàn)波函數(shù)的差異,進(jìn)而概率云圖像將出現(xiàn)差異.

本文接下來將根據(jù)2種坐標(biāo)系下波函數(shù)的特性,依靠Mathematica軟件編程,利用蒙特卡羅方法進(jìn)行抽樣,繪制出完整的三維可視化圖像,對(duì)2種坐標(biāo)系下概率圖像進(jìn)行對(duì)比分析并討論其物理內(nèi)涵.

2 蒙特卡羅法舍選抽樣

蒙特卡羅方法的基本思想是選用恰當(dāng)?shù)母怕誓Ｐ蛯?duì)待求解問題進(jìn)行模擬試驗(yàn),用某種隨機(jī)變量的分布或統(tǒng)計(jì)量作為所求問題的近似解.在采用蒙特卡羅方法進(jìn)行模擬時(shí),隨機(jī)抽樣過程是決定模擬試驗(yàn)好壞與效率的關(guān)鍵,常用的隨機(jī)抽樣方法有:變換抽樣法、舍選抽樣法、重要抽樣法等.考慮到本文中有多種待抽樣的概率密度函數(shù),簡便起見,決定采用舍選抽樣法進(jìn)行隨機(jī)抽樣.

舍選抽樣法的基本步驟如圖1所示,其中g(shù):[a,b]→[0,M]是待抽樣的概率密度函數(shù),r1、r2～U(0,1)是2個(gè)無關(guān)隨機(jī)數(shù),η為符合概率密度函數(shù)g的一個(gè)抽樣值.

圖1 舍選法基本抽樣步驟[9]

本文基于Mathematica軟件編程,由其內(nèi)置的偽隨機(jī)實(shí)數(shù)生成函數(shù)RandomReal產(chǎn)生均勻分布的偽隨機(jī)數(shù),按圖1所示步驟重復(fù)進(jìn)行舍選,最終得到符合概率密度函數(shù)g的隨機(jī)數(shù)樣本{ηn}.對(duì)形如G(x,y,z)=gX(x)gY(y)gZ(z)的高維概率密度函數(shù)做抽樣,可以按各維度服從概率密度gi(i=X,Y,Z)分別抽樣,從而得到服從G分布的一個(gè)抽樣樣本{(ηx,ηy,ηz)n}.

2.1 球坐標(biāo)系下的舍選抽樣

由前文可知,諧振子概率密度函數(shù)在球坐標(biāo)系中可分離為3個(gè)正交坐標(biāo)(r,θ,φ)獨(dú)立的概率密度函數(shù),即

W(r,θ,φ)=WR(r)WΘ(θ)WΦ(φ)

(16)

其中徑向概率密度函數(shù)WR(r)由式(9)確定,頂角概率密度函數(shù)Wθ:[0,π]→[0,Mθ]由式(10)確定,方位角φ服從其定義域[0,2π]上的均勻分布,即

(17)

顯然方位角φ的樣本可以直接抽樣得到.

2.2 直角坐標(biāo)系下的舍選抽樣

諧振子概率密度函數(shù)在直角坐標(biāo)系中可分離為3個(gè)正交坐標(biāo)(x,y,z)獨(dú)立的概率密度函數(shù)乘積,即

W(x,y,z)=WX(x)WY(y)WZ(z)

(18)

其中WX、WY、WZ具有相同的形式,定義域均為(-∞,+∞)且均為偶函數(shù).要應(yīng)用舍選法抽樣,必須使定義域截?cái)酁橛邢迏^(qū)間,類似于球坐標(biāo)系下對(duì)徑向函數(shù)截?cái)嗟牟襟E,取正實(shí)數(shù)xM、yM、zM,使得定義域截?cái)酁閇-xM,xM].

選取合適的PMi(i=x,y,z)計(jì)算得到各維度的定義域邊界xM、yM、zM,一般3個(gè)邊界不一定相等,如要讓各維度的抽樣范圍一致,可以取三者中的最大值aM作為共同的截取邊界.按圖1的步驟,對(duì)WI(I=X,Y,Z)做大量的舍選抽樣得到服從WI的隨機(jī)數(shù)樣本{xn}、{yn}、{zn},組合得到服從W(x,y,z)的一個(gè)隨機(jī)樣本{(x,y,z)n}.

3 兩種坐標(biāo)系下的諧振子概率云圖像的對(duì)比研究

下面根據(jù)諧振子在兩種坐標(biāo)系下不同的量子數(shù)分解方式對(duì)諧振子的概率云圖像進(jìn)行對(duì)比研究.諧振子體系能級(jí)為EN=(N+3/2)?ω,對(duì)應(yīng)能量量子數(shù)為N,在球坐標(biāo)系下的量子數(shù)分解為nr、l、m,且有N=2nr+l,m=0,±1,±2,…,±l;而直角坐標(biāo)系下量子數(shù)分解為nx、ny、nz,且有N=nx+ny+nz.給定N值時(shí),兩種坐標(biāo)系下的簡并度相同,均為(N+1)(N+2)/2,可以得到不同坐標(biāo)系下的量子數(shù)分解模式,具體情形可參見表1.

表1 給定N下不同量子數(shù)的分解模式

3.1 諧振子基態(tài)的對(duì)比研究

當(dāng)N=0時(shí),諧振子處于基態(tài),分別計(jì)算直角和球坐標(biāo)系下的波函數(shù)能夠得到相同結(jié)果,體現(xiàn)在概率密度上有

(19)

這也是基態(tài)能量簡并度為1的必然結(jié)果,但是在兩種坐標(biāo)系下抽樣方式是不相同的.對(duì)于球坐標(biāo)系下的抽樣,由于角量子數(shù)l=0,角向分布各向同性,對(duì)于θ和φ的抽樣都可以采用均勻抽樣,主要是對(duì)徑向概率密度函數(shù)進(jìn)行舍選抽樣.對(duì)于直角坐標(biāo)系,由于3個(gè)坐標(biāo)軸方向概率密度分布都是一樣的,所以對(duì)3個(gè)坐標(biāo)軸方向上的抽樣按照相同的概率密度函數(shù)進(jìn)行舍選抽樣.可分別寫出球坐標(biāo)下徑向概率密度函數(shù)和直角坐標(biāo)下x軸方向概率密度函數(shù)為

(20)

(21)

圖2 基態(tài)抽樣概率分布圖

從圖2中可以看出,在球坐標(biāo)下徑向概率密度函數(shù)極大值出現(xiàn)在r=1.0處,而直角坐標(biāo)下空間概率密度極大值出現(xiàn)在x、y、z等于零處.表面上看似乎兩種概率分布給出的諧振子基態(tài)運(yùn)動(dòng)的空間圖像是不同的,但仔細(xì)分析球坐標(biāo)下徑向概率密度函數(shù)的含義發(fā)現(xiàn),徑向概率密度中實(shí)際上包含了不同方向的概率貢獻(xiàn),應(yīng)該理解為某徑向距離r處單位徑向距離的球殼層中的概率,將這個(gè)概率除以球殼表面積4πr2才得到該徑向距離球面上特定空間點(diǎn)處的概率密度,而這與直角坐標(biāo)下的概率密度函數(shù)是相同的.所以兩者雖然抽樣方式不一樣,但是最后給出的抽樣結(jié)果在空間中給出的概率分布圖像是一致的,我們的實(shí)際抽樣結(jié)果也證實(shí)了這一點(diǎn).

取一次抽樣所得樣本繪制如圖3所示,所繪的概率云圖像以正視圖、頂視圖和缺省視圖橫向排列為一組,圖中點(diǎn)越密集的地方代表了粒子在該處出現(xiàn)可能性越大.從圖中可以看出概率云中心位置密度最大,從中心向外圍密度逐漸減小,呈現(xiàn)出球?qū)ΨQ分布.所以基態(tài)諧振子最可能出現(xiàn)的位置是r=0處,即諧振子經(jīng)典條件下的平衡位置.

圖3 和的概率云圖

3.2 諧振子激發(fā)態(tài)的對(duì)比研究

當(dāng)N=1時(shí),諧振子處于第一激發(fā)態(tài),能級(jí)簡并度為3.按照表1中球坐標(biāo)系和直角坐標(biāo)系下量子數(shù)進(jìn)行分解,各得到3個(gè)量子態(tài).對(duì)于球坐標(biāo)系下的3個(gè)態(tài),考慮其中磁量子數(shù)m=±1的兩個(gè)態(tài),從波函數(shù)角度看這兩個(gè)態(tài)的角動(dòng)量方向不同,但是由于兩者的概率密度函數(shù)滿足

(22)

圖4 概率云圖

(23)

即球坐標(biāo)系下量子數(shù)nrlm取010的態(tài)與直角坐標(biāo)系下量子數(shù)nxnynz取001的態(tài)是同一個(gè)態(tài),這在激發(fā)態(tài)情形下是一種特殊情況.

當(dāng)N=2時(shí),諧振子處于第二激發(fā)態(tài),能級(jí)簡并度為6.按照表1中球坐標(biāo)系和直角坐標(biāo)系下量子數(shù)進(jìn)行分解,各得到6個(gè)量子態(tài).同樣考慮到其中部分量子態(tài)的概率云存在相似性,我們只選取球坐標(biāo)系下Ψ100、Ψ020、Ψ021、Ψ022和直角坐標(biāo)系下Φ110、Φ002對(duì)應(yīng)的量子態(tài)來進(jìn)行抽樣,并繪制出對(duì)應(yīng)概率云圖像的缺省視圖如圖5所示.

和概率云圖

和概率云圖

和概率云圖

4 總結(jié)與展望

本文通過求解量子力學(xué)中三維各向同性諧振子的球坐標(biāo)及直角坐標(biāo)下的波函數(shù),結(jié)合蒙特卡羅方法中的舍選法繪制出了兩種坐標(biāo)系下不同量子數(shù)分解下的概率云圖像,并根據(jù)不同坐標(biāo)系下波函數(shù)的特點(diǎn)對(duì)不同概率云圖像的特征進(jìn)行了對(duì)比分析,從中我們可以得到如下結(jié)論:對(duì)于三維諧振子體系,在能量守恒和角動(dòng)量守恒條件下,量子諧振子具有非常豐富多樣的運(yùn)動(dòng)模式.不同坐標(biāo)系的選擇意味著不同物理守恒量的選取,會(huì)造成量子態(tài)本征模式分解的不同.由于守恒量通常對(duì)應(yīng)實(shí)際物理測量量,所以本文所討論的不同本征模式實(shí)際上對(duì)應(yīng)實(shí)驗(yàn)中在按不同守恒量集合方式進(jìn)行測量后可以得到的不同量子本征態(tài).從中我們可以理解到對(duì)于同一個(gè)量子諧振子系統(tǒng),按不同的測量方式進(jìn)行測量會(huì)影響到系統(tǒng),使它最后呈現(xiàn)不同量子態(tài)模式的空間運(yùn)動(dòng)狀態(tài).同時(shí),由量子場理論我們知道簡并度的消除意味著系統(tǒng)對(duì)稱性的自發(fā)破缺,這里如果由于測量造成系統(tǒng)處于不同的本征態(tài)實(shí)際上是系統(tǒng)的對(duì)稱性發(fā)生了自發(fā)破缺,而球坐標(biāo)系下和直角坐標(biāo)系下本征模式的不同,也表示實(shí)際測量中如果按不同的測量量方式進(jìn)行測量,系統(tǒng)在測量過程中對(duì)稱性的破缺方式以及測量后得到的破缺狀態(tài)結(jié)果也是不同的.關(guān)于對(duì)稱破缺的深入研究在量子場論體系中具有重要意義.

另外從量子力學(xué)教學(xué)資源開發(fā)角度來說,我們以后還會(huì)進(jìn)一步研究含有微擾和自旋效應(yīng)的量子力學(xué)體系的可視化,并在未來對(duì)量子力學(xué)課程的可視化教學(xué)資源進(jìn)行系統(tǒng)的開發(fā),設(shè)計(jì)并發(fā)展出量子力學(xué)體系可視化相應(yīng)軟件,促進(jìn)量子力學(xué)課程的教學(xué),幫助學(xué)生更好學(xué)習(xí)和理解量子力學(xué).