鞏伊鴻

(北京師范大學(xué) 物理學(xué)系,北京 100875)

蠟燭動(dòng)力渦旋機(jī)常作為一種兒童手工玩具,其中蘊(yùn)含豐富的物理知識. 追溯古代,有原理與蠟燭動(dòng)力渦旋機(jī)類似的“走馬燈”. 《西京雜記》中記載:“有青玉五枝燈,高七尺五寸. 作蟠螭,以口銜燈,燈燃,鱗甲皆動(dòng),煥炳若列星而盈室焉.”漢代時(shí)叫“蟠螭燈”,后從皇室流入民間,作為節(jié)日活動(dòng)的燈具[1]. 走馬燈底部放置蠟燭,熱氣流推動(dòng)上方軸輪轉(zhuǎn)動(dòng),四面與軸連接的剪紙隨之轉(zhuǎn)動(dòng),燭光將圖案投影到燈罩上,連轉(zhuǎn)不休,頗為精巧[1,2].

關(guān)于蠟燭何以提供動(dòng)力,現(xiàn)有文獻(xiàn)基本簡言之[1,2]:熱空氣上升,四周冷空氣補(bǔ)充,循環(huán)往復(fù). 鮮少有探究扭矩的影響因素的,更未見定量計(jì)算蠟燭動(dòng)力旋轉(zhuǎn)物的扭矩的. 至于蠟燭產(chǎn)生的流場性質(zhì),有采用紋影進(jìn)行可視化,觀察到熱氣流上升與冷氣流下降[3,4],暫無將紙螺旋旋轉(zhuǎn)過程用紋影可視化或采用軟件模擬的.

本文一方面研究蠟燭上方流場的性質(zhì),并采取合理假設(shè)以便理論推導(dǎo)扭矩的影響因素. 通過實(shí)驗(yàn)獲取數(shù)據(jù),帶入理論公式計(jì)算出扭矩. 最后,理論與實(shí)驗(yàn)相結(jié)合,對3個(gè)主要因素如何影響扭矩得出半定量的結(jié)論.

1 蠟燭產(chǎn)生的流場

1.1 流場性質(zhì)的驗(yàn)證

在重力場中達(dá)到平衡的流體,其密度只與高度有關(guān),放置燃燒的蠟燭后,力學(xué)平衡被破壞,產(chǎn)生自然對流. 本部分將就自然對流形成的流場性質(zhì)進(jìn)行說明.

首先假設(shè)流體不可壓縮,那么壓強(qiáng)沿流體流動(dòng)方向變化要足夠小,從而可忽略壓強(qiáng)變化引起的密度變化. 文獻(xiàn)給出近似不可壓縮流體滿足[5]

(1)

設(shè)研究的氣柱高度h不太高;g為當(dāng)?shù)刂亓铀俣?c為當(dāng)?shù)芈曀?α為定壓體膨脹系數(shù);Θ為特征溫差.式(1)兩邊同乘初始密度ρ0后,左邊表示這段高度氣柱的壓強(qiáng)導(dǎo)致的密度變化,右邊則表示氣柱溫度變化導(dǎo)致的密度變化.要提醒一點(diǎn),不可壓縮的假設(shè)并不意味著要求溫度變化導(dǎo)致的密度變化可忽略.取以下數(shù)據(jù)進(jìn)行數(shù)量級估算,如表1.蠟燭上方氣柱溫度最高處為火焰外焰,取800 K,對應(yīng)最小的α.室溫取300 K,則特征溫差相應(yīng)取室溫與外焰的差值500 K.計(jì)算得左邊數(shù)值8.65×10-5,右邊數(shù)值0.625,滿足左邊遠(yuǎn)小于右邊.因此在本文實(shí)驗(yàn)環(huán)境下,對蠟燭上方氣流不可壓縮的假設(shè)是合理的.

表1 式(1)各量近似值

對表1中定壓體膨脹系數(shù)α做一點(diǎn)補(bǔ)充說明.本文中

(2)

與一般熱學(xué)教材表述[6]

(3)

(4)

然后假設(shè)蠟燭上方流場,即流體失穩(wěn)導(dǎo)致的對流是定常的.以下證明這一假設(shè).重力場中的納維-斯托克斯方程、自由對流過程忽略了黏性項(xiàng)的傳熱方程以及連續(xù)性方程構(gòu)成定常流自由對流的描述方程組

(5)

ν是動(dòng)力黏度,χ是溫導(dǎo)率.T′是所在高度的溫度與某一恒定溫度的差,不妨認(rèn)為其參照點(diǎn)是點(diǎn)燃蠟燭前的室溫.T′可表示為兩項(xiàng)和,一不變差值與一小擾動(dòng)量τ.同理有p′是壓強(qiáng)與某恒定壓強(qiáng)的差,參照點(diǎn)為點(diǎn)燃蠟燭前靜力學(xué)平衡狀態(tài)下的壓強(qiáng),對應(yīng)的擾動(dòng)量為ρε.ρ為此刻的流體密度.v是流速.設(shè)擾動(dòng)對時(shí)間t的依賴關(guān)系為e-iωt.由式(5)可導(dǎo)出小擾動(dòng)量滿足的齊次線性微分方程組[6]

(6)

式(6)是無量綱化后的結(jié)果.設(shè)z豎直向上,n代表z方向單位矢量.Pr、Ra分別為普朗特?cái)?shù)和瑞利數(shù).近似認(rèn)為蠟燭與空氣接觸面溫度恒定,則接觸面上邊界條件為:v=0,τ=0.式(6)與邊界條件組成定解問題,描述自然對流.將式(6)的前兩式分別乘以v、τ的共軛v*、τ*,沿所研究的這段氣柱積分

(7)

V表示流體體積.式(7)兩式取共軛分別與對應(yīng)原式相減得

(8)

(9)

將Ra乘以式(9)與(8)相加得

(10)

為流場定常這一概念進(jìn)行必要的補(bǔ)充說明.定常指速度等參量只是坐標(biāo)的函數(shù),不隨時(shí)間變化.與層流湍流無關(guān).為使流體保持定常,在與流體接觸的那些固體內(nèi)必須有熱源,使固體的溫度保持不變[5].后續(xù)的實(shí)驗(yàn)中,蠟燭持續(xù)燃燒,一次實(shí)驗(yàn)持續(xù)短短幾分鐘,近似認(rèn)為蠟燭外焰的溫度不變,滿足定常假設(shè).

表2 Re各量取值

“圓管直徑”取蠟燭直徑;氣流速度過小無法用風(fēng)速儀測出,故流速一定小于風(fēng)速儀可測最小值0.4 m/s; 氣體運(yùn)動(dòng)黏度隨溫度升高而增大,故取室溫25℃時(shí)的最小值[8].代入后計(jì)算出實(shí)驗(yàn)條件下最大雷諾數(shù),Re≈1 282<2 000,故可認(rèn)作穩(wěn)定層流.

本部分基于文獻(xiàn),取實(shí)際數(shù)據(jù)驗(yàn)證,得出蠟燭產(chǎn)生的流場近似為不可壓縮的定常層流的結(jié)論.

1.2 流場可視化

自然對流包括熱空氣上升和冷空氣下沉,兩者在蠟燭產(chǎn)生的流場中,哪個(gè)對紙螺旋的旋轉(zhuǎn)提供扭矩?流場影響范圍或氣流截面有多大?風(fēng)速太小無法明顯感受,有無方式能直觀地看到上述問題的答案?或許模擬和特殊的實(shí)驗(yàn)可以回答.

首先采用COMSOL Multiphysics軟件對蠟燭產(chǎn)生的流場進(jìn)行仿真模擬.選擇“共軛傳熱-層流”物理場和“穩(wěn)態(tài)”研究,設(shè)定相關(guān)參數(shù),求解結(jié)果如圖1所示.

圖1 流場的仿真模擬

又用紋影法觀察流場.溫度不均使空氣折射率分布不均,光線通過這部分流場后發(fā)生彎折,又經(jīng)刀片遮擋,到達(dá)光屏?xí)r強(qiáng)度也不再均勻,屏幕上便出現(xiàn)了明暗圖樣.搭建反射平行光紋影裝置,如圖2所示.

圖2 紋影裝置示意圖

“Z”形排列,使入射光與反射光分開,從而有效消除相差.刀片置于凹面鏡焦點(diǎn)上,遮擋一半光線,成亮度減半的倒立實(shí)像。紋影法反映了折射率的梯度.通過紋影儀,觀察了無其他外界干擾時(shí)燃燒的蠟燭上方的流場和將紙螺旋放在流場中旋轉(zhuǎn)時(shí)的像,如圖3所示.

圖3 紋影法觀察蠟燭流場

從圖1可以看出,上升的熱氣流為主導(dǎo),故在下一部分的理論推導(dǎo)中簡化模型只考慮上升的熱氣流;從圖3可以看出,氣流截面較小且主要作用于紙螺旋的最下層,故實(shí)驗(yàn)部分對“高度”的定義為蠟燭距紙螺旋的最下層.

2 扭矩影響因素的理論推導(dǎo)

理論采用三維等速螺旋線,投影到平面即為阿基米德螺旋線,如圖4所示.

圖4 等速螺旋線

為方便推導(dǎo),假設(shè)紙螺旋為大小、形狀不變的剛體.應(yīng)用于實(shí)驗(yàn)時(shí),會進(jìn)行修正,詳見3.2.

2.1 方法一:氣流施加沖量產(chǎn)生扭矩

設(shè)轉(zhuǎn)軸為z軸,正方向豎直向上.無蠟燭時(shí)紙螺旋靜止,由剛體平衡的充要條件[15]:

(11)

(12)

可知重力與支持力平衡,且對轉(zhuǎn)軸的合力矩為0.因此紙螺旋重心在轉(zhuǎn)軸上,不需要考慮重力矩.動(dòng)力矩(即扭矩),是由氣流施加的在水平方向的分力提供的.

取一小段寬度d,傾角θ的紙?jiān)M(jìn)行分析.假設(shè):1) 空氣分子與紙面發(fā)生完全彈性碰撞;2) 只用一支蠟燭,提供動(dòng)力的總力矩即為Mz.當(dāng)密度為ρ,速度為v的氣流沖撞到長l的一段紙螺旋上,Δt時(shí)間內(nèi)氣體分子在垂直紙?jiān)较虻膭?dòng)量改變量等于對紙?jiān)┘拥臎_量:

ρvΔtdl·2vcosθ=FΔt

(13)

整理得氣流施加在垂直紙面的力為

F=2ρdlv2cosθ

(14)

分解到水平方向上有

Fxy=Fsinθ=2ρdlv2cosθsinθ

(15)

扭矩為(其中i的正方向與旋轉(zhuǎn)的切向速度相同)

Mz=r×Fxy=iρdlrv2sin 2θ=

(16)

圖5 氣流施加沖量示意圖

2.2 方法二:連續(xù)性原理

首先定義流管:在流體內(nèi)作一微小閉合曲線,通過其上各點(diǎn)的流線所圍成的細(xì)管[9].假設(shè):1) 定常、不可壓縮流場;2) 將紙螺旋面視為由實(shí)物構(gòu)成管壁的流管的一小片;3) 流管沿螺旋面轉(zhuǎn)彎,流管橫截面積S不變.

圖6 流管模型示意圖

設(shè)螺旋面與水平方向夾角為α,由定常流場的連續(xù)性原理,一段流管流入的質(zhì)量流量等于流出的質(zhì)量

dQm1=dQm2

(17)

ρ1v1dS1=ρ2v2dS2

(18)

由假設(shè)“不可壓縮流”知密度不變

ρ1=ρ2=ρ

(19)

結(jié)合假設(shè)3得v1=v2.得到各量幾何關(guān)系如圖7,且△ABC是等腰三角形.AD代表紙螺旋的表面,α是紙?jiān)媾c水平方向的夾角,AB是氣流沖撞紙?jiān)婧蟾淖兊姆较?與原方向關(guān)于紙?jiān)娴姆ㄏ駻E對稱.由幾何關(guān)系得

(20)

∠EAB=π-α,∠CBA=α,則AE//BC,說明氣流碰到紙螺旋后方向改變,且促使轉(zhuǎn)向的力在它們的角平分線上,由紙螺旋提供.或者說氣流沖撞紙螺旋,沿紙螺旋的法向產(chǎn)生沖力.

圖7 方法二各量幾何關(guān)系

在時(shí)間dt內(nèi)流體受管壁作用力滿足

Qm2dtv2-Qm1dtv1=Fdt

(21)

流體反作用于螺旋面的力為

F′=-F=Qm1v1-Qm2v2

(22)

由圖7幾何關(guān)系并結(jié)合式(17)—(19)得(22)中,力的大小為

(23)

(24)

Mz=r×F′xy=iρSrv2sin(π-2α)=

(25)

顯然得到了與方法一相似的結(jié)論.兩個(gè)方法角度不同相互映證,說明了紙螺旋扭矩與影響因素的關(guān)系,為后續(xù)實(shí)驗(yàn)提供研究方向.

3 三維等速螺旋的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量

3.1 積分求函數(shù)表達(dá)式

三維等速螺旋線的參數(shù)方程為

每增加一層(二維投影角度轉(zhuǎn)過2π),紙螺旋到轉(zhuǎn)軸的距離Δr增加πa,三維高度Δz增加πc.紙螺旋的寬度d=πa.得比例關(guān)系:

(26)

圖8 一小段三維螺旋線

設(shè)紙面密度為η,質(zhì)量m、長度l、極角θ(ωt)等微分量的關(guān)系為

dm=ηaπ dl

(27)

(28)

(29)

dθ=ωdt

(30)

dz=cdt

(31)

將式(29)—(31)帶入(27)、(28),得

(32)

則三維等速螺旋的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量微分形式為

(33)

積分得

(34)

為與實(shí)驗(yàn)保持一致πa(d)取1.5 cm;ω取1 rad/s;Δz取范圍[0,15]cm;t取范圍[0,15π].用MATLAB繪制轉(zhuǎn)動(dòng)慣量隨參數(shù)的變化圖,如圖9所示.

圖9 轉(zhuǎn)動(dòng)慣量與層數(shù)、螺距的關(guān)系

可以看出轉(zhuǎn)動(dòng)慣量隨層數(shù)、螺距的增加而增加.實(shí)驗(yàn)中采取的方法是:測量每一層的高度等,逐層代入積分式,再將各層的數(shù)值相加得到整個(gè)紙螺旋的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量.

3.2 測量與計(jì)算

將紙螺旋置于一坐標(biāo)紙前(實(shí)驗(yàn)裝置詳見4.1),對不同紙螺旋,總是從同一位置同一角度拍攝,并保持其末端大致在同一方向.拍攝后通過坐標(biāo)紙測量每層的層距,最后按前述方法帶入公式計(jì)算轉(zhuǎn)動(dòng)慣量.

圖10 螺距測量

得到6種規(guī)格紙螺旋的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量如表3.表中規(guī)格表示“克重-層數(shù)”,例如“150-6π”表示“150 g·m-2的牛皮紙制三層紙螺旋”.

表3 不同規(guī)格紙螺旋的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量

4 轉(zhuǎn)動(dòng)過程的扭矩計(jì)算

通過理論分析和預(yù)實(shí)驗(yàn),可供實(shí)驗(yàn)探究的變量有:紙螺旋的懸掛高度、層數(shù)和密度.理論中氣流速度體現(xiàn)在高度上;受力面積和到轉(zhuǎn)軸距離體現(xiàn)在層數(shù)上;而紙張密度則影響轉(zhuǎn)動(dòng)慣量.實(shí)驗(yàn)采用控制變量法探究三者對扭矩的影響.

4.1 實(shí)驗(yàn)裝置

不易形變的230/150克重牛皮紙;同規(guī)格蠟燭若干;MATLAB繪制t=6π;8π;10π的螺旋線(3層;4層;5層),均按比例調(diào)整寬度為1.5 cm,打印在紙張上裁剪出紙螺旋;頂部尖而摩擦小的鐵簽并搭建可升降支架;后面置一高筒,粘貼坐標(biāo)紙,如圖11.

圖11 實(shí)驗(yàn)裝置示意圖

4.2 實(shí)驗(yàn)方法

將手機(jī)固定在紙螺旋正上方,俯拍由靜止開始轉(zhuǎn)動(dòng)、持續(xù)轉(zhuǎn)動(dòng)到撤走蠟燭后逐漸靜止的全過程視頻. 實(shí)景如圖12所示.

圖12 實(shí)驗(yàn)實(shí)景

將完整視頻導(dǎo)入Tracker軟件,定標(biāo)紙螺旋寬度為1.5 cm,新建質(zhì)點(diǎn)標(biāo)為紙螺旋末端的紅點(diǎn),初始位置定為角度0°. 手動(dòng)逐幀追蹤質(zhì)點(diǎn)全過程的角度變化,將θ與t的數(shù)據(jù)導(dǎo)入Excel.

圖13 Tracker逐幀追蹤

將數(shù)據(jù)導(dǎo)入MATLAB繪制θ-t散點(diǎn)圖,觀察到撤走蠟燭前的中間階段疑似勻速轉(zhuǎn)動(dòng). 示例如圖14所示.

圖14 角度隨時(shí)間變化散點(diǎn)圖

驗(yàn)證勻速:讀出每條斜線上水平位置大致相同的點(diǎn)的時(shí)間坐標(biāo),相鄰者相減求出每轉(zhuǎn)一圈所用時(shí)間(周期). 用標(biāo)準(zhǔn)差除以平均周期求相對誤差,最大為14%,最小4%. 故認(rèn)為誤差允許范圍內(nèi),撤走蠟燭前很長一段時(shí)間內(nèi)紙螺旋勻速轉(zhuǎn)動(dòng). 因此這一階段動(dòng)力矩近似等于阻力矩.

接下來設(shè)法求減速階段剛開始時(shí)的阻力矩.低速運(yùn)動(dòng),空氣阻力與速度一次方成正比,設(shè)另有一常阻力f,即

(35)

特征根方程為

(36)

θ(t)=C1er1t+C2er2t

(37)

用實(shí)際數(shù)據(jù)擬合后發(fā)現(xiàn)常阻力通常不占主導(dǎo),當(dāng)常阻力可忽略,用θ(t)=ae-bt+c就可以得到很好的結(jié)果.對擬合方程求兩階導(dǎo),取t=0時(shí)的值即為阻力導(dǎo)致的角加速度k,則Ik近似為動(dòng)力矩(扭矩).

4.3 減速階段數(shù)據(jù)處理方法

1) 摘出撤走蠟燭后減速階段的數(shù)據(jù),θ、t各一列.將t列均減去第一個(gè)值,即起始時(shí)間設(shè)為0.

2) Tracker中,角度是由0到-180°,再跳到+180°,然后遞減回到0.因此對θ列,每從負(fù)到正時(shí)就減360°,轉(zhuǎn)化為單調(diào)有序數(shù)列.再統(tǒng)一減去第一個(gè)值使初始角度為0.最后化為弧度制.

3) 將上千個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)導(dǎo)入MATLAB的curve fitting tool自定義函數(shù)擬合并計(jì)算扭矩(方法見4.2). 擬合圖像如圖15所示.

圖15 θ(t)=22.64e-0.14t-22.31

圖15擬合的均方根誤差為0.167 7,實(shí)驗(yàn)中最大的均方根誤差為0.385 9,表明擬合效果良好.

4.4 數(shù)據(jù)分析與結(jié)論

首先研究密度的影響. 由表3可知,層數(shù)較少的6π規(guī)格紙螺旋兩者螺距基本一致,為控制變量,故用兩個(gè)三層紙螺旋探究密度的影響. 選取了兩個(gè)高度進(jìn)行比較,第一列代表坐標(biāo)紙上不同高度的標(biāo)號,數(shù)字越大,高度越高. 計(jì)算得數(shù)據(jù)如表4. 150克重的紙螺旋,轉(zhuǎn)動(dòng)慣量與角加速度都更大,因此密度小的牛皮紙制的紙螺旋扭矩更大.

表4 密度對扭矩的影響

再看層數(shù)的影響. 由于150克重多層的紙螺旋隨溫度升高形變逐漸嚴(yán)重,使轉(zhuǎn)動(dòng)慣量計(jì)算值與實(shí)際有較大誤差,故用230克重的進(jìn)行本組實(shí)驗(yàn). 保證紙螺旋下端與蠟燭的距離相同,得到數(shù)據(jù)如表5. 發(fā)現(xiàn)扭矩隨層數(shù)的增加而增加,猜想二者間存在函數(shù)關(guān)系,用冪率擬合如圖16所示,均方根誤差為0.385 9. 圖16表明扭矩與層數(shù)4次方成正比.

表5 層數(shù)對扭矩的影響

圖16 函數(shù)關(guān)系y=0.034x3.907

最后看高度(蠟燭距離紙螺旋最下端)的影響.本組實(shí)驗(yàn)使用同一紙螺旋,具有相同的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量,因此穩(wěn)定時(shí)的轉(zhuǎn)速ω一定與扭矩正相關(guān),不妨比較ω,數(shù)據(jù)如表6.在很長一段高度內(nèi),轉(zhuǎn)速變化并不大,僅隨高度升高而略微變大.可推知扭矩隨高度變化并不大.

表6 高度對轉(zhuǎn)速的影響

5 總結(jié)

蠟燭上方出現(xiàn)自然對流形成不可壓縮的定常流場,處于流場中的紙螺旋的扭矩與紙張密度、層數(shù)、懸掛高度等因素有關(guān). 密度越小、層數(shù)越多,扭矩越大;而扭矩隨高度變化不大,并有隨高度增加而略增加的趨勢.

創(chuàng)新點(diǎn)主要有:用紋影觀察紙螺旋在流場中的轉(zhuǎn)動(dòng). 紙螺旋太過輕小,難用平衡法測扭矩,故采用數(shù)學(xué)方法計(jì)算扭矩的近似值.

實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)點(diǎn)較少是因?yàn)?逐幀追點(diǎn)處理整個(gè)視頻耗時(shí)過長. 最好獲取更多數(shù)據(jù)去檢驗(yàn)結(jié)論.