周 強(qiáng),劉 靜,李 鵬

(山東科技大學(xué) 電子信息工程學(xué)院,山東 青島 266590)

在物理學(xué)教材中分別給出了聲波和光波的多普勒效應(yīng)公式,但兩者表達(dá)式不同.一些文獻(xiàn)分析了兩者間的聯(lián)系[1,2],之所以稱為聯(lián)系,是因?yàn)闆](méi)有真正地將兩者統(tǒng)一起來(lái),而是將光速c“換成”聲速u或?qū)⒙曀賣“換成”光速c,這樣處理稱為統(tǒng)一有些牽強(qiáng),稱作聯(lián)系更為恰當(dāng);另一些文獻(xiàn)雖然作了統(tǒng)一分析[3-5],但均是在特殊洛倫茲變換下討論問(wèn)題,所得結(jié)果又不具有一般性.本文在不區(qū)分聲波與光波的情況下,基于波動(dòng)傳播的共同本質(zhì),綜合運(yùn)用多種方法導(dǎo)出一般多普勒效應(yīng)的3個(gè)等價(jià)表達(dá)式,系統(tǒng)地論證兩者的統(tǒng)一性,并由此分析聲波和光波的多普勒效應(yīng).

由于聲波只能在介質(zhì)中傳播,光波可以在真空中傳播,為了能夠作統(tǒng)一分析,與傳播聲波的介質(zhì)對(duì)應(yīng),分析光波的傳播需設(shè)置一個(gè)中介,所以統(tǒng)一地分析多普勒效應(yīng)要涉及3個(gè)參考系:介質(zhì)系(或某一中介系)KM、波源系KS、接收器系KD.而由于3個(gè)參考系間的相對(duì)速度很難保證都與某一坐標(biāo)軸(如x軸)平行,為此需分析參考系間的相對(duì)速度不沿某一坐標(biāo)軸方向上的一般情況.

1 基于四維波矢的一般洛倫茲變換的分析

1.1 三個(gè)一般多普勒效應(yīng)公式的導(dǎo)出

(1)

(2)

據(jù)以上2式得,由K系中四維波矢(k,iω/c)到K′系中四維波矢(k′,iω′/c)的一般變換式為

(3)

(4)

其中k=kk0=ωk0/u,u為K系中的波速.

如圖1所示,在KM系中,KS、KD系的運(yùn)動(dòng)速度分別為vS、vD,波矢為kM,vS、vD與kM方向間的夾角分別為θS、θD.

取K=KM、K′=KS,由式(4)得,波源S的本征發(fā)射角頻率ωS與KM系中波的角頻率ωM之間的關(guān)系式為[3,4]

(5)

取K=KM、K′=KD,由式(4)得,接收器D的本征接收角頻率ωD與KM系中波的角頻率ωM之間的關(guān)系式為[3,4]

(6)

(7)

圖1 在KM系中KS系、KD系的運(yùn)動(dòng)及波的傳播

如圖2所示,在KS系中,KD系的運(yùn)動(dòng)速度為vDS,波矢為kS,vDS與kS方向間的夾角為θDS.

取K=KS、K′=KD,由式(4)得[4]

(8)

其中

圖2 在KS系中KD系的運(yùn)動(dòng)及波的傳播

如圖3所示,在KD系中,KS系的運(yùn)動(dòng)速度為vSD,波矢為kD,vSD與kD方向間的夾角為θSD.

圖3 在KD系中KS系的運(yùn)動(dòng)及波的傳播

取K=KD、K′=KS,由式(4)得[4]

(9)

其中

式(7)—式(9)即為一般多普勒效應(yīng)的3個(gè)表達(dá)式.

1.2 三個(gè)一般多普勒效應(yīng)公式的關(guān)系

由上述性質(zhì)得,在KS系和KM系中,接收器D的四維速度與四維波矢的標(biāo)積相等,即有

(γDSvDS,iγDSc)·(kS,iωS/c)=

(γDvD,iγDc)·(kM,iωM/c)

由此得

上式與式(5)相除得

(10)

將上式分別與式(7)、(8)對(duì)比可見(jiàn),式(7)與(8)等價(jià).

同理,在KD系和KM系中,波源S的四維速度與四維波矢的標(biāo)積相等,即有

(γSDvSD,iγSDc)·(kD,iωD/c)=

(γSvS,iγSc)·(kM,iωM/c)

由此得

上式與式(6)相除得

(11)

將上式分別與式(7)、(9)對(duì)比可見(jiàn),式(7)與(9)等價(jià).

由式(10)、(11)再得

(12)

將上式分別與式(8)、(9)對(duì)比可見(jiàn),式(8)與(9)等價(jià).

可見(jiàn)式(7)—式(9)是相互等價(jià)的3個(gè)表達(dá)式.

1.3 三個(gè)一般多普勒效應(yīng)公式中物理量間的關(guān)系

首先分析vDS、vSD與vS、vD間的關(guān)系.

設(shè)質(zhì)點(diǎn)相對(duì)于K、K′系分別以速度V、V′運(yùn)動(dòng),則其四維速度分別為(γVV,iγVc)、(γV′V′,iγV′c).由式(1)、(2)得,質(zhì)點(diǎn)速度、速度因子由K系到K′系的一般變換式為

(13)

(14)

另由式(14)解得

(15)

可見(jiàn),若V=c則V′=c,即質(zhì)點(diǎn)速率滿足光速不變?cè)?

將式(13)用于圖1中得,vDS、vSD與vS、vD的關(guān)系式為

(16)

(17)

若取K=KS、K′=KD(見(jiàn)圖2),則v=vDS;設(shè)質(zhì)點(diǎn)靜止于K=KS系中,則V=0、V′=vSD.由式(13)可得vSD=-vDS(或由相對(duì)性原理直接得到).

(18)

由式(15)可得,vDS、vSD的大小為

其次分析波矢kS、kD、kM間的關(guān)系.

將式(3)用于圖1中得,波矢kS、kD、kM間的關(guān)系式為

(19)

(20)

將式(3)分別用于圖2、圖3中得,波矢kS與kD的關(guān)系式為

(21)

(22)

另外,分別將波矢k、k′分解為平行于和垂直于K′系相對(duì)K系運(yùn)動(dòng)速度v方向的分量和,由式(3)得

(23)

k′sinθ′=ksinθ

(24)

其中θ、θ′分別為k、k′與v方向間的夾角.

分別對(duì)以上兩式的兩端求平方和得

(25)

此即為波數(shù)由K系到K′系的一般變換式[5].

將上式用于圖1中得,波數(shù)kS、kD與kM的關(guān)系式為

(26)

(27)

將式(25)分別用于圖2、圖3中得,波數(shù)kS與kD的關(guān)系式為

(28)

(29)

再來(lái)分析波速uS、uD、uM間的關(guān)系.

式(4)與(25)相除,由u′=ω′/k′得

(30)

此即為波速由K系到K′系的一般變換式[5].可證,若u=c則u′=c,即波速亦滿足光速不變?cè)?

將上式用于圖1中得,波速uS、uD、uM的關(guān)系式為

(31)

(32)

將式(30)分別用于圖2、圖3中得,波速uS與uD的關(guān)系式為

(33)

(34)

最后分析波行差關(guān)系.

式(23)與式(24)相除得

(35)

此即為一般的波行差表達(dá)式之一[3].

另外式(4)的逆變換式為

其中k′=k′k′0=ω′k′0/u′,u′為K′系中的波速.

上式與式(4)相乘得

(36)

此即為一般的波行差表達(dá)式之二[4].

可以證明(略),式(35)與(36)等價(jià).由其可得KM、KS、KD系間的波行差關(guān)系,如由式(36)可得KS系與KD系間的波行差關(guān)系式(12).

由本小節(jié)中的各關(guān)系式可驗(yàn)證前兩小節(jié)中相關(guān)結(jié)果的正確性,如式(31)、(26)相乘可得式(5),式(32)、(27)相乘可得式(6),式(33)、(28)相乘可得式(8),式(34)、(29)相乘可得式(9);而由式(16)、(18)、(19)、(26)、(31)可驗(yàn)證式(10),由式(17)、(18)、(20)、(27)、(32)可驗(yàn)證式(11),由式(21)、(28)、(33)或(22)、(29)、(34)可驗(yàn)證式(12)(略).

2 基于波的三個(gè)特征物理量關(guān)系的分析

2.1 有效波速概念的引入

有了上述認(rèn)識(shí),便可引入有效波速的概念.根據(jù)波動(dòng)理論,角頻率ω、波速u、波數(shù)k間的關(guān)系式為ω=uk,由該式分析多普勒效應(yīng),采用有效波速的概念比較方便.所謂“有效”意指:接收器“能接收到”來(lái)自波源的波,因?qū)Σㄔ窗l(fā)出的球面波,只有沿波源與接收器連線方向上的那一部分波才能被接收到,所以沿兩者連線方向上波相對(duì)波源或接收器的傳播速率稱為有效波速[7,8],分解說(shuō)明如下.

2.2 由有效波速分析多普勒效應(yīng)

如圖1所示,在KM系中分析波分別相對(duì)于KS、KD系的傳播,其中該系中的波數(shù)kM=ωM/uM.

由時(shí)間膨脹公式得ωSM=ωS/γS、ωDM=ωD/γD,分別代入以上兩式即得式(5)、(6).

同上節(jié),由式(5)、(6)自然得到式(7).

如圖2所示,在KS系中分析波相對(duì)于KD系的傳播,其中該系中的波數(shù)kS=ωS/uS.

而由時(shí)間膨脹公式得ωDS=ωD/γDS,代入上式即得式(8).

如圖3所示,在KD系中分析波相對(duì)于KS系的傳播,其中該系中的波數(shù)kD=ωD/uD.

而由時(shí)間膨脹公式得ωSD=ωS/γSD,代入上式即得式(9).

由本小節(jié)論述可知,式(7)、(8)、(9)分別是在KM、KS、KD系中分析所得的3個(gè)表達(dá)式.

3 基于相位不變?cè)淼囊话懵鍌惼澴儞Q分析

由一般的四維矢量標(biāo)積不變性還可得,四維波矢(k,iω/c)與四維坐標(biāo)(r,ict)的標(biāo)積在一般洛倫茲變換下保持不變,即k·r-ωt=k′·r′-ω′t′,此即為一般的相位不變?cè)?

由(1)、(2)的逆變換得,由K′系中四維坐標(biāo)(r′,ict′)到K系中四維坐標(biāo)(r,ict)的一般變換式為

據(jù)以上兩式可得,由K′=KS中四維坐標(biāo)(rS,ictS)到K=KM中四維坐標(biāo)(rM,ictM)的變換式(見(jiàn)圖1),將其代入相位不變式kS·rS-ωStS=kM·rM-ωMtM中,由等式兩端tS項(xiàng)的系數(shù)相等即得式(5)(略).

同理可得,由K′=KD中四維坐標(biāo)(rD,ictD)到K=KM中四維坐標(biāo)(rM,ictM)的變換式(見(jiàn)圖1),將其代入相位不變式kD·rD-ωDtD=kM·rM-ωMtM中,由等式兩端tD項(xiàng)的系數(shù)相等即得式(6)(略).

同前,由式(5)、(6)自然得到式(7).

而將由K′=KD中四維坐標(biāo)(rD,ictD)到K=KS中四維坐標(biāo)(rS,ictS)的變換式(見(jiàn)圖2)代入相位不變式kD·rD-ωDtD=kS·rS-ωStS中,由等式兩端tD項(xiàng)的系數(shù)相等即得式(8)(略).

同理,將由K′=KS中四維坐標(biāo)(rS,ictS)到K=KD中四維坐標(biāo)(rD,ictD)的變換式(見(jiàn)圖3)代入相位不變式kS·rS-ωStS=kD·rD-ωDtD中,由等式兩端tS項(xiàng)的系數(shù)相等即得式(9)(略).

4 基于波脈沖發(fā)射、傳播及接收瞬時(shí)過(guò)程的分析

設(shè)波源在本征時(shí)間dtS內(nèi)發(fā)出一波脈沖,接收器在本征時(shí)間dtD內(nèi)接收到這一波脈沖,則兩者的相位增量相等[7],即有

ωSdtS=ωDdtD

(37)

如圖4所示,在KM系中分析波脈沖的發(fā)射、傳播及接收的瞬時(shí)過(guò)程,其中接收器在時(shí)間dt2內(nèi)接收到波源在時(shí)間dt1內(nèi)發(fā)射的波脈沖,則由式(37)可得式(7)(略).

圖4 在KM系中波脈沖的發(fā)射、傳播及接收的瞬時(shí)過(guò)程

圖5 在KS系中波脈沖的發(fā)射、傳播及接收的瞬時(shí)過(guò)程

如圖6所示,在KD系中分析波脈沖的發(fā)射、傳播及接收的瞬時(shí)過(guò)程,其中接收器在本征時(shí)間dtD內(nèi)接收到波源在時(shí)間dt′S內(nèi)發(fā)射的波脈沖,則由式(37)可得式(9)(略).

圖6 在KD系中波脈沖的發(fā)射、傳播及接收的瞬時(shí)過(guò)程

5 結(jié)果分析

綜上所述得,共同結(jié)果式(7)—式(9)分別為在KM、KS、KD系中分析所得的3個(gè)相互等價(jià)的一般多普勒效應(yīng)公式.即如同物體相對(duì)于不同參考系的運(yùn)動(dòng)不同一樣,多普勒效應(yīng)相對(duì)于不同參考系也有不同的表達(dá)式,這些表達(dá)式雖然形式不同但相互等價(jià).現(xiàn)分析其在光波和聲波中的具體應(yīng)用.

對(duì)真空中的光波,分別將uM=c代入式(31)、(32)得uS=uD=c,則由式(7)—式(9)得

(38)

(39)

(40)

其中式(40)是教材中的常見(jiàn)公式[7,9].

另外,文獻(xiàn)[1]認(rèn)為式(39)、(40)是式(38)的特例.由式(7)—式(9)相互等價(jià)得,式(38)—式(40)也相互等價(jià)(也可將uM=uS=uD=c分別代入式(19)—式(22)、式(26)—式(29),用類似1.3小節(jié)中所述方法驗(yàn)證(略)),不是一般與特例的關(guān)系.

對(duì)介質(zhì)中的光波,式(7)中的uM=c/n,其中n為介質(zhì)的折射率,式(8)、(9)中的uS、uD由式(31)、(32)確定.

對(duì)于聲波,則需作相關(guān)表達(dá)式的低速近似.由vS、vD、vSD、vDS<

(41)

(42)

(43)

其中式(41)在教材中可以找到[7,9].

另外,將上述低速條件分別代入式(16)、(17)得vDS=vD-vS、vSD=vS-vD,此即為經(jīng)典的質(zhì)點(diǎn)速度合成公式;分別代入式(31)—式(34)得uS=uM-vS·k0=uD-vSD·k0、uD=uM-vD·k0=uS-vDS·k0,此即為經(jīng)典的波速變換式.由這些結(jié)果可驗(yàn)證式(41)—式(43)相互等價(jià)(略).

由于式(38)中涉及某一中介系KM中的速度vS、vD,表觀上易造成光波依靠中間介質(zhì)傳播的假象;而式(39)、(40)則由波源與接收器的相對(duì)速度vSD、vDS表示,表達(dá)形式簡(jiǎn)潔明了.但式(39)使用起來(lái)不如式(40)直截了當(dāng),如對(duì)光的橫向多普勒效應(yīng),將θSD=π/2直接代入式(40)即得ωD=ωS/γSD,但要用式(39)計(jì)算,需先將θSD=π/2、uS=c代入波行差公式(12)解得cosθDS=vDS/c(也可由式(35)求得),然后再代入式(39)才能得到相同的結(jié)果.這應(yīng)該是教材中只有式(40)的原因.

而由于式(41)中顯含介質(zhì)系KM中的波速uM,與聲波的傳播需要介質(zhì)相吻合;反而式(42)、(43)因通過(guò)uS、uD隱含了uM,表觀上易造成聲波可以脫離介質(zhì)傳播的假象.這也應(yīng)該是在教材中只能找到式(41)的原因.