理論問題1: 國際空間站(ISS)軌道衰減動力學(xué)【10.0 分】

簡介

圖1 繞地球運行的國際空間站

國際空間站目前保持在接近圓形的軌道上,最低平均高度為370 km,最高平均高度為460 km,軌道處于熱層的中心,相對于赤道的傾角為θ= 51.6°.空間站的軌道類似于螺旋形,即空間站到地球表面的距離是緩慢變化的,在一個螺旋周期中,這種高度的變化是可以忽略的.

國際空間站的質(zhì)量為MS=4.5×105kg,總長度為LS=109 m,寬度為WS=73 m的巨大太陽能電池板為國際空間站提供電能【美國宇航局官方報告(2023)】.

包括所有電池和其他部件,空間站的有效橫截面積約為S≈2.5×103 m2[歐洲航天局,SDC6-23].

國際空間站的軌道衰減是由一種或多種從軌道運動中吸收能量的機制造成的,主要包括:

·軌道高度上的空氣阻力,這是由氣體分子與空間站的頻繁碰撞造成的,

·導(dǎo)體在地球磁場中運動所受到的安培力,

·與氧原子離子的相互作用.

“...在2008年5月,軌道高度為350公里,國際空間站丟失了4.5 km的高度并由progress-60補給飛船重新提升了5.5 km.再一次,國際空間站繼續(xù)丟失了5.5 km的高度...”[https://mod.jsc.nasa.gov]

圖2 這些年國際空間站的高度(km)

圖3 2022—2023 年國際空間站平均高度(km)

“... 國際空間站每天最多損失330 英尺(100 m)的高度...”[美國宇航局控制數(shù)據(jù)(2021)].2023 年,國際空間站在410千米的高度飛行,軌道衰減大約為每天70 m(每月約2 km),在磁暴期間,每日下降達(dá)到300 m.國際空間站通過使用自身及來訪飛船的推進能力來完成軌道調(diào)整[國際空間站報告(2022)].

圖4 從不同的角度看國際空間站的橫截面積(dm2).CROC 提供的橫截面積數(shù)據(jù)為2481m2

符號和物理常數(shù):

理想氣體常量R= 8.31 J·K-1·mol-1

阿伏伽德羅常數(shù)NA= 6.022·1023mol-1

空氣的摩爾質(zhì)量μ= 0.029 kg·mol-1

地球的質(zhì)量ME= 5.97·1024kg

地球半徑RE= 6.38·106m

萬有引力常數(shù)G= 6.67 ·10-11m3·s-2·kg-1

地球表面的空氣密度ρ0= 1.29 kg/m3

地球表面的重力加速度g0= 9.81 m·s-2

地磁場平均強度B= 5.0·10-5T

電子電荷量的絕對值e=1.60·10-19C

A部分: 修改后的氣壓公式[2.0 分]

第二個方程屬于熱層(h>250 km)的標(biāo)準(zhǔn)模型,其中假定溫度不會隨著高度發(fā)生很大變化,該模型適用于國際空間站所在高度.

我們假設(shè)所有的壓力都是流體靜壓力和各向同性的(即它在所有方向上的作用大小相等).

A.1導(dǎo)出國際空間站所在高度h下的空氣壓強ph的通用積分表達(dá)式,該方程被稱為通用氣壓公式.提示: 溫度和引力可能依賴于h.

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注1.地球熱層的溫度在高度為300-600 km變化不大,在面向太陽的一面約為800-900 K.因此,在研究國際空間站的軌道飛行時,可以取Th=T=const.特別是,由于航天器幾乎一半的飛行時間是在地球的陰影里,那里的溫度急劇下降,我們可以取T= 425 K作為這些高度下的平均溫度.該溫度也與h=400 km處的空氣密度值ρh～10-12kg/m3相符[MSISE-90地球高層大氣模型].

圖5 地球的熱層

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B部分:軌道減速和空間站下降速率[3.0 分]

我們來考慮具有確定質(zhì)量MS的衛(wèi)星的軌道衰減速率的確定問題,它受到恒定的摩擦力Fdrag.我們假設(shè)高度的下降dh遠(yuǎn)小于飛行高度h本身(dh<

B.1導(dǎo)出衛(wèi)星位于穩(wěn)定軌道高度h時的速度vh和衛(wèi)星繞地球的公轉(zhuǎn)周期τh.

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B.2導(dǎo)出衛(wèi)星繞半徑為RE+h的圓軌道運動時的總能量ES.

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B.4求衛(wèi)星的軌道高度下降速率uh.提示:軌道高度下降速率取決于摩擦力、衛(wèi)星的高度和衛(wèi)星的質(zhì)量.

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B.5導(dǎo)出阻力作用下衛(wèi)星繞地球公轉(zhuǎn)一周高度的下降量Hh,以及衛(wèi)星從高度h墜落到地球表面所需的總時間Th.提示: 考慮h0<

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C部分: 大氣阻力[1.0 分]

衛(wèi)星的速度v比h≈300-400 km高度下的大氣分子熱運動的平均速度(幾百米/秒)大很多倍,所以我們可以假設(shè)這些分子在與空間站相撞前是靜止的.為了粗略估計出阻力,我們假設(shè)碰撞后分子獲得與空間站相同的速度.

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D部分: 氧原子離子阻力[1.0 分]

在熱層中,在太陽輻射紫外線、X射線和宇宙射線的影響下,會發(fā)生空氣電離(“極光”).不同于O2,普通N2在太陽輻射的作用下不會發(fā)生強烈電離,因此,一般來說,氮原子離子比氧原子離子的數(shù)量要少得多.在高度250 km以上,氧原子離子占主導(dǎo).含有電子和氧原子離子的層出現(xiàn)在大氣的白晝一側(cè).這種情況下,氧原子離子的濃度達(dá)到nion～1012m-3.

D.1寫出與氧原子離子和衛(wèi)星的碰撞相關(guān)的減速力Fion在24小時內(nèi)的平均值,請考慮電離作用在夜間是可以忽略的.給出氧原子離子的密度ρion的表達(dá)式.

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E部分:地球磁場阻力【2.0分】

我們考慮地球磁場對衛(wèi)星運動的影響,地球表面附近的磁場值等于(3.5-6.5)·10-5T,平均值為B=5·10-5T.當(dāng)衛(wèi)星在磁場中高速運動時,在衛(wèi)星結(jié)構(gòu)中的導(dǎo)電部分會產(chǎn)生感應(yīng)電流(電動勢(EMF)).這種電動勢導(dǎo)致衛(wèi)星的導(dǎo)電部分中電荷重新分布,衛(wèi)星周圍會出現(xiàn)電場,影響周圍環(huán)境中帶電粒子的運動.電子被吸引到衛(wèi)星上帶正電位的部分(相對于衛(wèi)星的中間部分),帶正電的離子被吸引到衛(wèi)星上具有負(fù)電位的部分.撞擊到衛(wèi)星表面的電子和離子會結(jié)合成中性氧原子,與此同時電子在衛(wèi)星的導(dǎo)電部分中運動,產(chǎn)生電流.衛(wèi)星在太空中運動,從太空中“收集”周圍空間的電子和離子并與它們碰撞.為粗略估計流經(jīng)衛(wèi)星的導(dǎo)電部分的電流大小,假設(shè)衛(wèi)星只收集等于其橫截面積S內(nèi)的所有離子和電子,并且所有離子和電子都參與到電流的產(chǎn)生中.

E.1近似計算感應(yīng)電流的強度Iind.

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E.2求出與衛(wèi)星運動方向相反的起減速作用的安培力Find的一個近似表達(dá)式.用φ表示沿經(jīng)線方向的地球磁場B與衛(wèi)星運動速度的夾角.為了簡單起見,你可以近似用衛(wèi)星面積S的平方根作為衛(wèi)星長度L.此外,你可以近似用sin(π/2-θ) 作為sin(φ)的平均值的近似值.你可以使用離散數(shù)量的采樣點來計算平均值.

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提示: 考慮關(guān)系h<

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F部分: 數(shù)值結(jié)果和結(jié)論 [1.0 分]

F.1計算并填寫答題卡中的表1.

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F.2計算并填寫答題卡中的表2.

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F.3依據(jù)對空間站軌道高度高于380 km時的減速效應(yīng)從強到弱,對三種減速過程排序.

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譯者:王若鵬、孟策、李智、榮新.北京大學(xué)物理學(xué)院教師.帶領(lǐng)中國代表隊于2023年5月參加在蒙古烏蘭巴托舉辦的第23屆亞洲奧林匹克競賽