楊師杰

(北京師范大學(xué) 物理學(xué)系,北京 100875)

波在一維和三維介質(zhì)中傳播時(shí)遵守惠更斯原理,而在二維介質(zhì)中傳播時(shí)會(huì)出現(xiàn)延滯效應(yīng),不再遵守惠更斯原理[1].非均勻介質(zhì)中數(shù)學(xué)物理方程的定解問題不僅需要滿足特定的邊界條件,還需要滿足相應(yīng)的銜接條件,比如電磁學(xué)中經(jīng)常出現(xiàn)兩種電介質(zhì)中電磁場的分布問題[2-4],以及波在不同介質(zhì)中傳播時(shí)的透射和反射問題等[2].本文以分段弦或桿為例,研究中波在兩種介質(zhì)構(gòu)成的系統(tǒng)中的本征振動(dòng)及在界面的反射和透射特征,發(fā)現(xiàn)在特定的條件下界面除了可能出現(xiàn)半波損[3],還可能發(fā)生全透射的奇特現(xiàn)象,在光波的傳播中沒有這種現(xiàn)象.文章最后討論背后的物理機(jī)制及可能的應(yīng)用.

1 分段弦的本征振動(dòng)

先考慮兩段輕質(zhì)柔軟的弦,長度分別為l1和l2,密度為ρ1和ρ2,令l=l1+l2,將其完美連接,兩端分別固定,弦中張力為T,研究其自由振動(dòng).波動(dòng)方程及定解條件為

(1)

以及

(2)

(3)

對于本征振動(dòng)而言,兩段弦應(yīng)當(dāng)具有相同的振動(dòng)頻率,這樣才能保持界面連接處介質(zhì)運(yùn)動(dòng)的連續(xù)性,為此取共同的分離變量常數(shù)ω2.將方程分別分離變量,uj(x,t)=Tj(t)Xj(x),得到兩組常微分方程:

(4)

及

(5)

其中Xj(x)(j=1,2)滿足的邊界條件和銜接條件為

由邊界條件可知本征函數(shù)具有如下形式:

(6)

含時(shí)部分方程的解為

T1(t)≡T2(t)=Ccosωt+Dsinωt

(7)

由銜接條件可得

所以

(8)

(9)

這是一個(gè)雙周期函數(shù)方程,有無窮多離散的本征頻率ωn.作為示例,取l1=l2=l/2,a1=5a2/2,圖1描繪了本征頻率ωn的分布,它就是函數(shù)零點(diǎn)對應(yīng)的橫坐標(biāo)值,用圓圈表示.幾個(gè)較低的本征值ωn列于表1中.

圖1 段弦的前幾個(gè)本征值

表1 分段弦振動(dòng)的前幾個(gè)本征值(參量與圖1相同)

相應(yīng)于每個(gè)本征值的本征函數(shù)為

(10)

圖2畫出了幾個(gè)低階本征函數(shù),可見本征函數(shù)的節(jié)點(diǎn)數(shù)仍然是逐個(gè)增加的.

值得注意的是,式(9)表明兩段弦的本征振動(dòng)振幅不相同,但是弦在銜接點(diǎn)始終是光滑的.初看起來這有點(diǎn)意外,結(jié)果可以從圖2中直觀地展示出來,銜接點(diǎn)不是每段弦振動(dòng)的極值點(diǎn).

圖2 分段弦的前幾個(gè)本征函數(shù)(參量與圖1相同)

波動(dòng)方程屬于施圖姆-劉維爾型方程,即便是分段弦,只需給定齊次邊界條件,弦本身分多少段都不改變方程的屬性,本征函數(shù)的正交性和完備性由施圖姆-劉維爾本征值理論保證[2].正交性也可以進(jìn)行直接驗(yàn)證,具體步驟如下:

利用對稱性:l1?l2,a1?a2,最后得

可見對于任意本征振動(dòng),兩段弦的振幅之比等于常數(shù).負(fù)號表明兩段弦的連接點(diǎn)是本征振動(dòng)的節(jié)點(diǎn)或不動(dòng)點(diǎn),節(jié)點(diǎn)左右質(zhì)點(diǎn)的相位相反.而兩段弦的波長之比為

即密度大的弦具有較長的波長.

2 波的反射和透射

再考慮密度分別為ρ1、ρ2的兩段半無限長弦在x=0處連接,假設(shè)在x<0的弦ρ1上有位移分布u1|t=0=φ(x),x>0的弦ρ2處于平衡位置u2|t=0=0,初始時(shí)弦處于靜止?fàn)顟B(tài),研究機(jī)械波在弦上的傳播.本定解問題為

(11)

得到像函數(shù)滿足的常微分方程為

(12)

解得

(13)

(14)

由于x→±∞時(shí)振動(dòng)幅度有限,所以B1=A2=0.再根據(jù)x=0處的銜接條件,有

所以

注意到

利用延遲定理,可得方程的解為

(15)

(16)

其中,u1(x,t)的第1項(xiàng)是初始波分裂成負(fù)方向傳播的子波,第2項(xiàng)是正方向傳向界面的入射波,第3項(xiàng)是反射波,u2(x,t)表示透射波.

從式(15)和(16)看出,反射波和透射波的波形均保持與入射波一樣,即波在經(jīng)過截面后不發(fā)生變形,只是透射波的寬度拉伸或壓縮了a1/a2因子.當(dāng)a2a1或者ρ1>ρ2時(shí),則沒有半波損.圖3示意地描述了波在不同界面上的反射和透射過程.

圖3 分段弦上波的反射和透射示意圖((a)當(dāng)波從密度較小的介質(zhì)進(jìn)入密度較大的介質(zhì)時(shí),反射波出現(xiàn)半波損;(b)當(dāng)波從密度大介質(zhì)進(jìn)入密度小介質(zhì)時(shí),反射波沒有半波損)

3 全透射現(xiàn)象

考慮兩根半無限長細(xì)桿在x=0處完美地銜接,銜接條件為

(16)

其中E1和E2分別為兩根桿的楊氏模量.同樣采用拉普拉斯變換法可以解得

(17)

(18)

當(dāng)兩段桿之間滿足a2E1=a1E2或者ρ1E1=ρ2E2時(shí),兩邊聲阻抗相同,沒有反射波.

4 討論

在研究非勻質(zhì)系統(tǒng)時(shí),什么是統(tǒng)一描述系統(tǒng)的物理量顯得至關(guān)重要.對于振動(dòng)或波動(dòng)系統(tǒng),一般認(rèn)為不同部分的本征頻率應(yīng)該一致,這樣在連接處才能相互匹配,在穩(wěn)定狀態(tài)下系統(tǒng)各部分達(dá)到共振,這在物理上是解釋得通的.對于量子系統(tǒng),由于能量守恒,粒子在各處的總能量相同,這也沒有疑問.

在兩根桿的密度和楊氏模量都不相同的桿中,只要滿足一定的關(guān)系,機(jī)械波可以形成全透射,這個(gè)效應(yīng)在包括電磁波等其它波的傳播理論中還從來沒有遇到過.在三維不連續(xù)介質(zhì)中機(jī)械波的傳播是否也存在這種效應(yīng)呢?這需要進(jìn)一步研究.由于二維空間波的傳播不遵守惠更斯原理[1],可以預(yù)計(jì)在二維介質(zhì)中不會(huì)發(fā)生這種現(xiàn)象.

機(jī)械波的全透射效應(yīng)可能在工程技術(shù)中有應(yīng)用價(jià)值,比如在潛艇表面加涂層可能完全吸收聲納波.