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        用半波帶法推導(dǎo)單縫夫瑯禾費(fèi)衍射暗紋條件的相關(guān)討論

        2016-12-20 07:47:04李志堅(jiān)原琰博
        物理通報(bào) 2016年12期
        關(guān)鍵詞:所在位置暗紋半波

        李志堅(jiān) 原琰博 賈 昱

        (中北大學(xué)朔州校區(qū) 山西 朔州 036000)

        鄭忠喜

        (中北大學(xué)理學(xué)院物理系 山西 太原 030000)

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        用半波帶法推導(dǎo)單縫夫瑯禾費(fèi)衍射暗紋條件的相關(guān)討論

        李志堅(jiān) 原琰博 賈 昱

        (中北大學(xué)朔州校區(qū) 山西 朔州 036000)

        鄭忠喜

        (中北大學(xué)理學(xué)院物理系 山西 太原 030000)

        在大學(xué)物理教學(xué)中,半波帶法是一種處理單縫夫瑯禾費(fèi)衍射的簡(jiǎn)單方法.半波帶法可以推導(dǎo)出單縫夫瑯禾費(fèi)衍射的暗紋條件,但是,學(xué)生容易對(duì)這個(gè)推導(dǎo)過(guò)程產(chǎn)生誤解,從而把暗紋位置判斷成明紋位置.為了讓學(xué)生更好地理解半波帶法和衍射現(xiàn)象的實(shí)質(zhì),分析了對(duì)暗紋條件產(chǎn)生的兩種誤解,并得出誤解產(chǎn)生的原因,即學(xué)生計(jì)算半波帶或者波帶間的干涉疊加時(shí),未考慮它們之間的相位關(guān)系.

        衍射 半波帶 干涉 相位

        1 引言

        在大學(xué)物理教學(xué)中,單縫夫瑯禾費(fèi)衍射是一個(gè)最基本的衍射類型[1,2].半波帶法是處理單縫夫瑯禾費(fèi)衍射較為簡(jiǎn)單的一種方法[3~5],學(xué)生容易接受.

        一束平行光垂直入射到單縫上,發(fā)生衍射.半波帶法給出的暗紋公式為

        (1)

        其中a為縫寬,θ為衍射角,λ為垂直入射的光波的波長(zhǎng).

        學(xué)生在根據(jù)以上的思想推導(dǎo)暗紋條件時(shí)容易產(chǎn)生兩種誤解,從而把暗紋所在位置判斷成明紋所在位置.

        2 半波帶法推導(dǎo)暗紋條件過(guò)程的定量分析

        如圖1所示,一束平行光垂直入射到單縫OA上,以O(shè)為原點(diǎn)建立坐標(biāo)軸,取從O到A為x軸正方向.在狹縫上任選一點(diǎn)M,該點(diǎn)到O點(diǎn)的距離為x.該點(diǎn)相當(dāng)于一個(gè)子波波源,其振幅正比于微元dx.狹縫處的波陣面可以看成是一個(gè)個(gè)子波波源組成,這些子波在波陣面上的振動(dòng)相位相同,到達(dá)P點(diǎn)后,P點(diǎn)振動(dòng)的合振幅取決于各子波的光程差.

        圖1 單縫夫瑯禾費(fèi)衍射

        作平面OB⊥AB,那么OB面上的各點(diǎn)達(dá)到P點(diǎn)的光線的光程都相等,這樣從OB發(fā)出的光線在P點(diǎn)的相位差就等于它們?cè)贠B上的相位差.假設(shè)OA面上各點(diǎn)的振動(dòng)初相位為零,M點(diǎn)光線沿θ方向到達(dá)OB面上的N點(diǎn),那么N點(diǎn)處光振動(dòng)的表達(dá)式為[6]

        (2)

        (3)

        其中δ為從N點(diǎn)到P點(diǎn)的光程.式(3)寫成復(fù)指數(shù)形式為

        (4)

        2.1 把波陣面分成2k個(gè)半波帶

        根據(jù)式(1),波陣面OA可以分成2k個(gè)半波帶,從單縫最下端到最上端依次為第1個(gè)半波帶,第2個(gè)半波帶,……,第m個(gè)半波帶,……,第2k個(gè)半波帶.第m個(gè)半波帶在P點(diǎn)處的振動(dòng)為式(4)的積分

        (5)

        第(m+1)個(gè)半波帶在P點(diǎn)處的振動(dòng)為

        eiπEm=-Em

        (6)

        Em+Em+1=0

        (7)

        即相鄰半波帶在P點(diǎn)處振動(dòng)的振幅相等,但振動(dòng)相位相反,振動(dòng)疊加為零.所以,P點(diǎn)處疊加的結(jié)果表明P點(diǎn)為暗紋所在位置.

        下面考慮不相鄰的兩波帶在P點(diǎn)引起的振動(dòng).根據(jù)式(5)第m個(gè)半波帶和第(m+2)個(gè)半波帶在P點(diǎn)干涉結(jié)果為

        Em+Em+2=

        (8)

        那么這兩個(gè)半波帶在P點(diǎn)干涉加強(qiáng).同理,根據(jù)式(5)第(m+1)個(gè)半波帶和第(m+3)個(gè)半波帶在P點(diǎn)干涉結(jié)果為

        Em+1+Em+3=

        (9)

        那么這兩個(gè)半波帶在P點(diǎn)干涉加強(qiáng).所以,以上兩者在P點(diǎn)引起的振動(dòng)都是加強(qiáng)的,且振動(dòng)的振幅相等,但是振動(dòng)的相位卻相反.兩者振動(dòng)疊加為

        (Em+Em+2)+(Em+1+Em+3)=0

        (10)

        所以,P點(diǎn)處疊加的結(jié)果表明P點(diǎn)為暗紋所在位置.

        2.2 把波陣面分成k個(gè)整波帶

        根據(jù)式(1),波陣面OA可以分成k個(gè)整波帶,從單縫最下端到最上端依次為第1個(gè)波帶,第2個(gè)波帶,……,第n個(gè)波帶,……,第k個(gè)波帶.第n個(gè)波帶在P點(diǎn)處的振動(dòng)為

        (11)

        第(n+1)個(gè)波帶在P點(diǎn)處的振動(dòng)為

        Enei2π=0

        (12)

        即任意整波帶在P點(diǎn)引起的振動(dòng)為零.所以,P點(diǎn)處疊加的結(jié)果表明P點(diǎn)為暗紋所在位置.

        3 結(jié)束語(yǔ)

        1 趙凱華,鐘錫華. 光學(xué)(上冊(cè)). 北京:北京大學(xué)出版社,1982

        2 游璞,于國(guó)萍. 光學(xué). 北京:高等教育出版社,2006

        3 程守洙,江之永. 普通物理學(xué)(下冊(cè)) . 北京:高等教育出版社,2012

        4 許麗萍,魏天杰. 物理學(xué)原理簡(jiǎn)明教程(下冊(cè)). 北京:高等教育出版社,2013

        5 馬文蔚. 物理學(xué). 北京:高等教育出版社,2014

        6 謝英慧,楊潔,宋漢閣.夫瑯和費(fèi)型單縫衍射光強(qiáng)公式的修正.東北師大學(xué)報(bào): 自然科學(xué)版,1997(3):34~37

        *中北大學(xué)高等教育教學(xué)改革創(chuàng)新項(xiàng)目(2016).

        李志堅(jiān)(1986- ),男,碩士,助教,主要從事大學(xué)物理教學(xué)及量子光學(xué)的研究.

        2016-09-09)

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