王輝

【摘要】在高中數(shù)學教學中調動學生學習內在動力，增強學生學習的專注性、主動性，改變學生學習經歷和學習方式，提高學生學習力，有助于學生潛能的開發(fā)。

【關鍵詞】高中數(shù)學；潛能開發(fā)；生本課堂

中學時期是潛能開發(fā)的最佳階段，發(fā)現(xiàn)并激發(fā)學生學習潛能是教師最核心的任務，為此，教師需要更新教學理念，提高理論水平和實踐能力，從“改變學生學習經歷，提升學生學習力”“提高學生綜合素質，充分發(fā)揮學生個性特長”等角度深入探討“學生學習潛能”開發(fā)。

一、編制學習材料，啟迪思維開發(fā)潛能

課堂教學要收集大量適合學生的教學素材，針對不同層次的學生個性化要求，編制出適合不同學生數(shù)學潛能開發(fā)及思維能力提升的學習材料，環(huán)環(huán)相扣、步步為營，充分發(fā)展自身潛能，通過對學習材料的興趣激發(fā)學生的內在潛能，實現(xiàn)思維飛躍。

課前認真收集教科書、教輔資料、參考教案、教師教學用書等教與學的材料，在充分尊重教科書的前提下，從學生“何以學會”出發(fā)，認真編寫每一個“教—學—評”三位一體的大單元—分課時“單元學歷案”（也稱微課程），并于課前2～3天印發(fā)給學生，要求學生做好課前準備；課中通過“問題串”的方式，按照學教評一致性（CLTA）教學活動設計技術框架及其標準開展教學活動，遵循引起注意、呈現(xiàn)目標、激活舊知、提供情境、指導學習、引出表現(xiàn)、反饋評價、學習檢測、保持遷移等九個步驟實施教學。在新課的引入上，特別注重向學生講述新舊知識之間的聯(lián)系，依據(jù)學習目標設計“探究”“思考”，充分調動學生參與課堂的積極性，學完一個知識點，隨即讓學生代表到講臺前搖號抽簽確定到黑板扮演的一位或多位學生名單，進行指向學習目標的“評價”；課后在充分尊重學生差異設計分層次作業(yè)的基礎上，設計與學習目標相匹配的，體現(xiàn)學生立場的校本化課后檢測與練習作業(yè)。通過課前學習目標、學習意圖的確立；課中調動學生積極參與課堂及理清數(shù)學知識的“前后聯(lián)系”“來龍去脈”；課后自主建構知識體系，增強學生信心，激發(fā)了興趣和潛能。下面以普通高中教科書人教A版·數(shù)學（選擇性必修第一冊）“圓的標準方程”為例，圍繞目標進行“教—學—評”三位一體設計，具體如下。

本節(jié)課其中一個“學習目標”為：會由圓的方程寫出圓的半徑和圓心，能根據(jù)條件寫出圓的方程。

設計如下“學習過程”。

思考1：在平面直角坐標系中如何確定一個圓呢？圓的定義是什么？（指向以上“學習目標”）

小結：

思考2：利用圓的定義可以推導出圓的標準方程嗎？圓心為（a，b），半徑為r的圓的標準方程是什么？圓心在原點，半徑為r的圓的標準方程又是什么？（指向以上“學習目標”）

小結：

例1（教材第83頁）：求圓心為A（2，-3），半徑為5的圓的標準方程，并判斷點M1（5，-7），M2（-2，-1）是否在這個圓上。（指向以上“學習目標”）

練習1（檢測以上“學習目標”）

（1）判斷正誤：

①方程（x－a）2＋（y－b）2＝m2一定表示圓。（）

②圓（x＋1）2＋（y＋2）2＝4的圓心坐標是（1，2），半徑是4。（）

③（0，0）在圓（x－1）2＋（y－2）2＝1上。（）

（2）求滿足下列條件的圓的標準方程

①圓心是（4，0），且過點（2，2）；

②圓心在y軸上，半徑為5，且過點（3，-4）。

二、由師本課堂向生本課堂轉變，增強學生信心

要改變目前的師本教堂，就要以學生為主體，尊重學生的個性、人格和愛好，以平等、友善、寬容、民主的氛圍和態(tài)度對待學生，讓學生在一種和諧并寬松的教育環(huán)境中與教師一起參與教和學，做學習的主人，把師本教堂變成生本課堂。下面以普通高中教科書人教A版·數(shù)學（選擇性必修第三冊）“二項式定理”為例，進行“生本課堂”教學，課堂實錄如下。

1.引入

問題：4個容器有白、紅小球各1個，每次從4個容器各取出1個球，有什么樣的取法？各種取法有多少種？

生：取法及取法種數(shù)如下：

取4個白球（4白0紅，共取4個球）：C44=C04，即取4個白球相當于取0個紅球；

取3個白球（3白1紅，共取4個球）：C34=C14，即取3個白球相當于取1個紅球；

取2個白球（2白2紅，共取4個球）：C24=C24，即取2個白球相當于取2個紅球；

取1個白球（1白3紅，共取4個球）：C14=C34，即取1個白球相當于取3個紅球；

取0個白球（0白4紅，共取4個球）：C04=C44，即取0個白球相當于取4個紅球。

易得性質：Cmn=Cnn-m。

2.試驗

問題：寫出（a+b）2，（a+b）3，（a+b）4展開式未合并同類項前的式子。

生：（a+b）2=（a+b）·（a+b）=aa+ab+ba+bb；（a+b）3=

（a+b）·（a+b）·（a+b）=aaa+aab+aba+abb+baa+bab+bba+bbb；（a+b）4=（a+b）·（a+b）·（a+b）·（a+b）=aaaa+

aaab+…+bbba+bbbb。

師追問：（1）以上每項的各個因子分別來自哪里？（生：分別來自各個括號的一因式）

（2）換句話說，展開式中的每一項是怎樣構成的？（生：分別從每一個（a+b）中取出一個字母相乘構成）

（3）展開式中各項次數(shù)是否都相同？（生：相同）

（4）展開式未合并前分別共有多少項？（生：4=22項；8=23項；16=24項）

3.發(fā)現(xiàn)

生：以上展開式與白、紅小球取法類似。比如：a3即在3個（a+b）的因式中取出3個a，有C33個a2b；a2b即在3個（a+b）的因式中取出2個a，自然留下1個b，共有C33個a2b……

師：很好！

4.歸納

請同學們一起來歸納（a+b）n的展開式，并歸納出各項次數(shù)與二項式指數(shù)、各項系數(shù)的特點。

師：（a+b）n的展開式，如不進行合并有幾項，各項系數(shù)為多少？

生：有2n項，各項系數(shù)均是1。

師：合并后各項系數(shù)分別是多少？

生：C0n，C1n，C2n，…，Cnn。

5.應用

例1：求的展開式。（解答過程此處略）

練習：寫出（p+q）5的展開式。（解答過程此處略）

6.小結

本節(jié)課通過實例引入、試驗、發(fā)現(xiàn)、歸納，研究了（a+b）n展開式的規(guī)律，運用從特殊到一般的思想方法，推導出了二項式定理。

與傳統(tǒng)采用記憶型的教學相比，以上教學過程建構在對學生認知分析的基礎上，在探究的過程中構建起二項展開式中系數(shù)和指數(shù)的特點，開發(fā)了學生數(shù)學潛能。

三、利用生活實例構建數(shù)學模型，開發(fā)潛能

在應用意識日益加深的今天，數(shù)學與生活緊密聯(lián)系、息息相關，將實際問題轉化為數(shù)學問題能夠充分調動學生的學習興趣，促進學生從被動學習“要我學”轉變?yōu)橹鲃訉W習“我要學”，讓學生在不斷解決實際問題的過程中培養(yǎng)興趣，開發(fā)潛能。下面以普通高中教科書人教A版·數(shù)學（必修第一冊）“函數(shù)的應用（二）”，汽車剎車距離和人口增長問題為例分別構建數(shù)學模型。

1.汽車剎車距離問題

示例1：已知汽車剎車距離y（米）與行駛速度的平方v2（v的單位：千米/小時）成正比，當汽車行駛速度為60千米/小時，剎車距離為20米.若某人駕駛汽車的速度為90千米/小時，則剎車距離為米。

學生解答如下：依題意可設y=kv2，則有20=3600k，

解得，所以；

若v=90千米/小時，則902=45（米）。

2.人口增長問題

示例2：目前海南某市有100萬人，經過x年后為y萬人。如果年平均增長率為1.2%，請回答以下問題：

（1）寫出y與x的函數(shù)關系式；

（2）計算10年后該市的人口總量（精確到0.1萬人）；

（3）計算大約多少年后該市的人口總數(shù)將達到120萬（精確到1年）。

學生解答如下：

（1）當x=1時，y=100+100×1.2%=100（1+1.2%）；

當x=2時，y=100（1+1.2%）+100（1+1.2%）×1.2%=100（1+1.2%）2；

當x=3時，y=100（1+1.2%）2+100（1+1.2%）2×1.2%=100（1+1.2%）3；

……

所以，y與x的函數(shù)關系式為：y=100（1+1.2%）x

（x∈N*）。

（2）當x=10時，y=100（1+1.2%）10=100×1.012%10≈112.7；

所以，10年后該市的人口總數(shù)約為112.7萬。

（3）設x年后該市的人口總數(shù)為120萬，則有100×（1+1.2%）x=120，

解得≈16，所以大約16年后該市的人口總數(shù)將達到120萬。

以上分別構建了二次函數(shù)模型和指數(shù)型函數(shù)模型解決實際問題，體現(xiàn)了函數(shù)模型的應用價值。

四、構建典型數(shù)學問題，優(yōu)化潛能促進創(chuàng)新

通過設計開放性和探索性問題，讓學生自主探究，讓學生在觀察、猜測、實驗、分析、歸納和整理的過程中，感悟問題的提出、概念的形成過程、結論的探索過程以及如何應用，培養(yǎng)學生解決數(shù)學問題的能力和創(chuàng)新精神。下面以普通高中教科書人教A版·數(shù)學（必修第二冊）“復數(shù)的概念—數(shù)系的擴充新課引入”為例，進行設疑激趣。

解下列方程：（1）x-1=0；（2）2x-1=0；（3）x+1=0；

（4）x2-2=0。

學生容易解得各題答案：（1）x=1；（2）；

（3）x=-1；（4）。

教師進一步追問：（2）2x-1=0在自然數(shù)范圍內有解嗎？（3）x+1=0在正數(shù)范圍內有解嗎？（4）x2-2=0在有理數(shù)范圍內有解嗎？

學生：沒有。

通過回顧已有數(shù)集擴充過程，學生明顯感受到每一次數(shù)的擴充都與實際需求密切相關，從自然數(shù)集擴充到了實數(shù)集。

教師再追問：方程x2+1=0在實數(shù)集中有解嗎？

學生：無解。

教師又追問：如何解決以上問題？

學生：思考、嘗試回答。

此時，教師因勢利導，自然的想法是能否像引進無理數(shù)那樣，把有理數(shù)集擴充到實數(shù)集，通過引進新的數(shù)而使實數(shù)集得到擴充，從而解決類似方程x2+1=0這樣的問題。

如此有意識地設計問題，學生會“心欲求而不得，口欲言而不能”，產生了求知欲望，點燃了思維的火花，從潛意識里激活其創(chuàng)新潛能。

五、培養(yǎng)勤于思考和定時定量完成任務的學習習慣

勤于思考和每天定時定量完成學習計劃的習慣一旦養(yǎng)成，就會有利于提高學習質量，也有利于激發(fā)學生的潛能，更有利于增強學生的創(chuàng)造力。筆者在每一個課前編寫的單元學歷案“課后作業(yè)與檢測”部分，每一道題的設計意圖都是指向相應的學習目標，并要求學生按時完成。以上“圓的標準方程”一課可設計如下“課后作業(yè)與檢測”。

1.課后作業(yè)

（教材第85頁）練習：第1、3、4題（檢測以上“學習目標”）。

2.課后檢測

（1）圓心為（3，1），半徑為5的圓的標準方程是（）（檢測以上“學習目標”）。

A．（x＋3）2＋（y＋1）2＝5

B．（x＋3）2＋（y＋1）2＝25

C．（x－3）2＋（y－1）2＝5

D．（x－3）2＋（y－1）2＝25

（2）已知點A（3，-2），B（-5，4），以線段AB為直徑的圓的標準方程是（） （檢測以上“學習目標”）。

A．（x－1）2＋（y＋1）2＝25

B．（x＋1）2＋（y－1）2＝25

C．（x－1）2＋（y＋1）2＝100

D．（x＋1）2＋（y－1）2＝100

（3）若點P（-1，）在圓x2＋y2＝m2上，則實數(shù)m＝________。（檢測以上“學習目標”）

（4）已知點A（-1，2）和B（3，4）．求以線段AB為直徑的圓的標準方程。（檢測以上“學習目標”）

總之，依據(jù)課標要求、課標分析、教材分析、學情分析確定學習目標，并圍繞學習目標，從學生“何以學會”出發(fā)設計“教—學—評”一體的教學方案；煥發(fā)學生的生命活力，課后學生的潛能自然地得到了最大限度的開發(fā)。

【參考文獻】

[1]張愛軍.備課專業(yè)化：學教評一致性教學設計的理念與操作[M].長春：東北師范大學出版社，2020.