高峰官 王國強

［摘? 要］ 數(shù)感與符號感既有區(qū)別，又有密切聯(lián)系. 初中“數(shù)與代數(shù)”的學習正是學生由數(shù)感形成符號感，發(fā)展抽象思維的關(guān)鍵時期. 教師要善于引導學生用字母表示數(shù)，把握數(shù)與代數(shù)運算法則之間的內(nèi)在統(tǒng)一性，滲透從特殊到一般的數(shù)學思想方法，優(yōu)化數(shù)感、強化符號感，提升學生的抽象思維能力與運算推理能力，從而促進學生核心素養(yǎng)的提升.

［關(guān)鍵詞］ 數(shù)感；符號感；抽象思維；運算能力；核心素養(yǎng)

《義務教育數(shù)學課程標準（2022年版）》引領(lǐng)著我國義務教育階段數(shù)學課堂教學實踐與改革的深入. 初中數(shù)學課程要培養(yǎng)的核心素養(yǎng)，主要包括三個方面：會用數(shù)學的眼光觀察現(xiàn)實世界，會用數(shù)學的思維思考現(xiàn)實世界，會用數(shù)學的語言表達現(xiàn)實世界. 在義務教育階段，數(shù)學眼光主要表現(xiàn)為：抽象能力、幾何直觀、空間觀念與創(chuàng)新意識. 在數(shù)與代數(shù)模塊的學習中，主要就是培養(yǎng)學生觀察、歸納、概括的能力和學生的運算能力. 抽象思維能力是數(shù)學思考與數(shù)學表達的基礎與前提，抽象思維能力主要包括學生的數(shù)感、量感與符號意識.

正確理解數(shù)感與符號感的內(nèi)涵

數(shù)感的培養(yǎng)始于小學，在初中階段需要進一步優(yōu)化與深化. 數(shù)感是學生學習和運用數(shù)學知識分析、解決問題的基礎能力與素養(yǎng). 數(shù)感主要是指對數(shù)與數(shù)量、數(shù)量關(guān)系及運算結(jié)果的直觀感悟，學生能夠在真實情景中理解數(shù)的意義，能用數(shù)表示物體的個數(shù)與事物的順序，能在簡單的真實情境中進行合理的估算并做出合理的判斷，能初步體會和表達事物所蘊含的簡單數(shù)量規(guī)律. 數(shù)感是形成抽象思維能力的經(jīng)驗基礎，也是學生建立符號意識的基礎.

符號感，即符號意識，也是始于小學階段，在初中階段同樣需要進一步發(fā)展. 符號感主要是能夠感悟符號的數(shù)學功能，即知道符號表達的現(xiàn)實意義，能夠初步運用符號表示數(shù)量、關(guān)系，并進行運算和表達一般規(guī)律；知道用符號表達的規(guī)律具有一般性. 初步體會符號的使用是數(shù)學表達與數(shù)學思考的重要形式，符號意識是形成抽象能力與推理能力的經(jīng)驗基礎.

抽象能力主要是指數(shù)感、量感與符號感. 抽象能力是指對現(xiàn)實世界數(shù)量關(guān)系與空間形式的抽象能力，在數(shù)與代數(shù)的學習中，主要是對數(shù)量關(guān)系進行抽象，得到數(shù)學的研究對象，形成數(shù)學概念、性質(zhì)、法則和方法的能力. 要求學生能夠從實際情境或跨學科的問題中抽象出核心變量，探尋變量的規(guī)律及變量間的關(guān)系；能夠從具體問題中概括出一般性結(jié)論，形成數(shù)學的方法與策略，并在此過程中感悟到數(shù)學抽象對數(shù)學產(chǎn)生與發(fā)展的作用，形成數(shù)學想象力.

可見，從數(shù)感到符號感，既是對數(shù)感的強化，又是學生抽象思維能力的進一步提升.

理性分析初中生數(shù)感與符號感培養(yǎng)的困惑

學生在初一數(shù)學起始階段，主要是數(shù)與式的學習. 這一部分的學習是建立在小學形象思維的基礎上的，是對小學整數(shù)、小數(shù)、分數(shù)四則混合運算學習的進一步深入. 在初中數(shù)與代數(shù)的教學中，教師需要進一步發(fā)展學生的數(shù)感，通過引入字母表示數(shù)，建立和優(yōu)化學生的符號意識，從而進一步發(fā)展學生的抽象思維能力.

部分學生從小學升入初中，顯示出了很多不習慣和不適應，主要體現(xiàn)在：（1）不能很好地掌握有理數(shù)混合運算，運算過程不清晰，正確率不高；（2）不能靈活運用運算律進行簡便運算；（3）對運算過程和結(jié)果缺少元認知判斷能力，不能做出直覺的評判；（4）不能熟練地從特殊到一般用字母表示數(shù)學規(guī)律；（5）學生感到學習節(jié)奏太快，每天都在學習新的內(nèi)容，知識消化不及時，力不從心，分化現(xiàn)象比較明顯. 這些現(xiàn)象所反映的核心問題是學生抽象思維能力不夠，主要體現(xiàn)在：（1）學生的數(shù)感比較薄弱；（2）學生的數(shù)學符號感不強；（3）教學中教師沒有滲透好從特殊到一般的數(shù)學思想方法，沒有引導學生把數(shù)感與符號感自然融合，學生沒有把握好其中的內(nèi)在聯(lián)系.

其實，在七年級，學生從有理數(shù)到代數(shù)式的學習，主要是優(yōu)化學生的數(shù)感，幫助學生建立符號意識，促進學生抽象思維能力的發(fā)展，這是發(fā)展學生抽象思維能力和運算能力的必由階段和關(guān)鍵時期. 教師在教學中要充分認識到這一內(nèi)容的啟領(lǐng)性、重要性和復雜性，重視數(shù)與代數(shù)之間的銜接，在數(shù)感的升華中發(fā)展學生的符號感，發(fā)展學生的抽象思維能力，為提升學生的運算能力與邏輯推理能力打下堅實的基礎.

優(yōu)化數(shù)感、強化符號感，發(fā)展學生的抽象思維能力

1. 關(guān)注生活中數(shù)與符號的運用

數(shù)感與數(shù)字有關(guān)，數(shù)感的形成自然離不開數(shù)字. 生活中我們離不開數(shù)字與圖形，數(shù)學已成為人們表達與交流的工具. 生活中會用到許多符號，有時數(shù)字與符號結(jié)合在一起使用，所以我們既要讀懂數(shù)字，又要讀懂符號信息，并分析其中的含義，這是一種生活技能與常識，也是體現(xiàn)思考能力的一個重要方面.

例如，圖1是一張南京到上海的車票，其中包含了哪些信息？教師可引導學生用數(shù)學眼光觀察，從車票中發(fā)現(xiàn)車次、座號、票價、開車時間、條形碼等信息，讓學生感受數(shù)據(jù)所提供的信息以及給生活帶來的便利. 這體現(xiàn)了數(shù)字應用的廣泛性.

顯然，讀懂一個由數(shù)與符號相結(jié)合的圖形，需要學生具有較強的觀察能力與抽象能力. 教師要引導學生做生活中的有心人，如提問：你還能從某件產(chǎn)品的條形碼中，獲取相關(guān)信息嗎？這樣的交流活動，能引導學生用數(shù)學眼光觀察現(xiàn)實世界，體驗數(shù)字、字母、符號與生活的密切聯(lián)系，而不是將數(shù)與符號孤立起來分析，這樣便可在學習與生活中培養(yǎng)學生的數(shù)感與符號感，并提升他們的觀察力、抽象力和理解力.

2. 重視數(shù)字與數(shù)學規(guī)律的探究

在七年級數(shù)與代數(shù)的學習中，經(jīng)常會遇到探尋數(shù)字規(guī)律的問題，如月歷中數(shù)字之間的內(nèi)在關(guān)系問題. 為了弄明白數(shù)字之間的關(guān)系，我們常采用以下方法：先看幾組具體數(shù)字，發(fā)現(xiàn)它們之間的關(guān)系，然后歸納猜想，用字母表示數(shù)，從而在一般情形下厘清數(shù)字之間的內(nèi)在聯(lián)系. 這就是從數(shù)感到符號感的拓展，是一種思維上質(zhì)的飛躍，體現(xiàn)了數(shù)學抽象思維能力的提升.

例如，大于1的正整數(shù)m的三次冪可“分裂”成若干個連續(xù)奇數(shù)的和，如：23=3+5，33=7+9+11，43=13+15+17+19，…，若m3“分裂”后，其中有一個奇數(shù)是2023，則m的值是45.

這是一道數(shù)字規(guī)律探究題，訓練的是學生的觀察能力. 從數(shù)到用字母表示，從特殊到一般，再由一般到特殊的過程中，培養(yǎng)了學生的數(shù)感，強化了學生的符號感，發(fā)展了學生的抽象思維能力.

3. 重視數(shù)學語言之間的相互轉(zhuǎn)換

學生抽象能力的提升體現(xiàn)在其善用數(shù)學的語言表達現(xiàn)實世界. 數(shù)學語言通常有三種形式：文字語言、符號語言和圖形語言. 要學好數(shù)學，就要學會這三種語言之間的相互轉(zhuǎn)換，這也是七年級數(shù)學學習的重要內(nèi)容之一. 在數(shù)與代數(shù)的學習中，圖形相對較少，但也有三種語言的互換. 如完全平方公式和平方差公式的推導與呈現(xiàn)，就是文字語言、圖形語言與符號語言之間的相互轉(zhuǎn)化，轉(zhuǎn)化中涉及數(shù)、數(shù)量關(guān)系與數(shù)學符號. 數(shù)學符號有性質(zhì)符號、關(guān)系符號、運算符號，還有其他數(shù)學符號等，轉(zhuǎn)化過程能發(fā)展學生的數(shù)感，強化學生的符號意識，發(fā)展學生的抽象能力、推理能力和表達能力，能讓學生的數(shù)學表達更簡潔，數(shù)學思維更快捷.

在列代數(shù)式（用文字語言描述的數(shù)量關(guān)系）的過程中，學生的數(shù)感和符號感及抽象能力得到了發(fā)展. 如這樣一道數(shù)學題：對于5a+6b，你能給出其實際意義嗎？這是由符號語言轉(zhuǎn)化為文字語言的開放性問題. 有學生說：一支鋼筆a元，一本練習冊b元，買5支鋼筆和6本練習冊的總價為（5a+6b）元；有學生說：小明和小亮分別從小橋的兩頭相向而行，小明每步走a米，小亮每步走b米，小明走了5步、小亮走了6步后，兩人相遇，則小橋的長度為（5a+6b）米；還有學生說：1個邊長為a cm的正五邊形與1個邊長為b cm的正六邊形的周長之和為（5a+6b）厘米. 數(shù)學語言的轉(zhuǎn)換，能激發(fā)學生的學習興趣，能加深學生對數(shù)量關(guān)系和對數(shù)學符號的認識. 學生在給代數(shù)式“5a+6b”賦予實際意義時，能進一步領(lǐng)悟到“5a+6b”可以理解為一種數(shù)學模型，從而發(fā)展數(shù)學模型思想.

4.正確理解數(shù)學符號規(guī)定的合理性

在數(shù)學學科的發(fā)展過程中，很多數(shù)學理論的創(chuàng)建和形成都由數(shù)學家們對新運算符號的大膽創(chuàng)新和巧妙引入帶來的. 如零指數(shù)冪與負整數(shù)指數(shù)冪的規(guī)定，促進了數(shù)的運算的內(nèi)在統(tǒng)一和諧美. 對新運算符號的理解與運用，可以加深學生的數(shù)感與符號意識. 為了進一步促進學生深入理解和形成符號化的學習策略，在代數(shù)運算教學中，教師除了讓學生熟知常規(guī)運算符號外，還可以引導學生大膽定義新的運算符號.

后一個例子涉及高中課程中的行列式定義，對初中生來說其代表一種新的運算符號. 對于這樣的運算符號，七年級的學生能夠接受，這能在不知不覺中為后續(xù)高中數(shù)學的學習做鋪墊. 教學時教師要引導學生正確理解運算符號的內(nèi)涵. 當學生真正理解了，教師便可進一步啟發(fā)學生：“你可以規(guī)定一種新的運算符號，并編出相應的試題嗎？”一石激起千層浪，學生的思維很快被激活，他們會規(guī)定出很多有趣的、富有創(chuàng)意的運算符號，并在此基礎上編出新的運算式. 這樣不僅可以激發(fā)學生的學習興趣，強化學生的數(shù)感與符號意識，還能培養(yǎng)學生的抽象思維能力與創(chuàng)新思維能力.

可見，在“數(shù)與代數(shù)”模塊的學習中，學生既需要進行有理數(shù)的混合運算，又需要進行代數(shù)式的加減運算. 通過用字母表示數(shù)，由特殊到一般，可將兩者統(tǒng)一起來，并都歸結(jié)為有理數(shù)的運算. 在數(shù)與代數(shù)式的深入學習與思考中，學生的數(shù)感得到了進一步優(yōu)化，符號意識得到了進一步增強. 在運算訓練中，學生的抽象思維能力、運算能力及推理能力得到了培養(yǎng)，提升了數(shù)學學習信心，發(fā)展了數(shù)學核心素養(yǎng).