鄭金賓　鄭成鸞　趙維亮

【摘 要】基于高中數(shù)學課堂淺層學習的現(xiàn)實問題，對深度學習的課堂表現(xiàn)樣態(tài)進行了深入研究，提出了深度學習的八種表現(xiàn)樣態(tài)，即深在主題、結(jié)構(gòu)、聯(lián)系、思想、活動、批判、遷移、反思.以任意角為例具體闡述了深度學習的發(fā)生機制，構(gòu)建了深度學習的發(fā)生路徑，有助于一線數(shù)學教師準確把握深度學習要求，提升學生數(shù)學學科核心素養(yǎng).

【關鍵詞】深度學習;數(shù)學核心素養(yǎng);任意角

一線教師常常有這樣的困惑與苦惱：我的課堂是屬于淺層學習，還是屬于深度學習？與淺層學習比較，深度學習究竟“深”在哪里？準確把握深度學習之“深”，是有效落實深度學習要求、構(gòu)建深度學習實施路徑、提升數(shù)學核心素養(yǎng)的前提.現(xiàn)以人教A版（必修第一冊）“5.1.1任意角”為例，談談深度學習的表現(xiàn)樣態(tài)，以及如何在學習的“深度”上發(fā)力，讓學生的學習真正深度發(fā)生.1 深度學習深在“主題”中

淺層學習的課堂往往看不到單元主題的學習，課堂上呈現(xiàn)的是一些孤立的知識點；而深度學習的課堂從提升學生數(shù)學素養(yǎng)的角度出發(fā)，通過對教學內(nèi)容的整體把握，對教學內(nèi)容進行重組、優(yōu)化，以單元主題為單位進行設計與呈現(xiàn)，給學生以清晰的單元主題學習視角，使得課時在單元中找到“固著點”“價值點”，著重引導學生對相互關聯(lián)的知識形成系統(tǒng)的認知，從整體的視角理解學習內(nèi)容，厘清知識的來龍去脈，經(jīng)歷對數(shù)學知識的探索、發(fā)現(xiàn)和建構(gòu)的全過程，促進對數(shù)學知識的整體性理解，使學生既見樹木，又見森林.

“任意角”是三角函數(shù)單元的大概念，是三角函數(shù)教學的種子課.三角函數(shù)是刻畫周期現(xiàn)象的重要數(shù)學模型［1］，任意角的教學應該放在“三角函數(shù)”主題中進行設計.如果課堂上舍棄任意角的主題屬性，單刀直入介紹任意角的相關知識，孤立地從任意角知識屬性設計課堂教學，學生就不可能從整體上把握任意角的內(nèi)涵與價值.可以列舉現(xiàn)實世界中一些具有周期性的現(xiàn)象，然后指出它們的共同點：周期性;明確本單元的學習主題：三角函數(shù)，并提出以下問題引發(fā)學生繼續(xù)思考：

已知點P在半徑為r的圓O上繞著圓心O做勻速圓周運動，請回答：

（1）點P的運動有什么規(guī)律？

（2）點P在圓O上運動時，如何表示點P的位置？用什么量來表示？

教師引導學生得出結(jié)論：點P的運動具有周而復始的變化規(guī)律，點P的位置可以借助角的大小變化進行刻畫.這樣，從單元主題的角度設計課時教學，使得課時教學緊密地“固著”在單元主題教學中，課時教學緊緊圍繞單元主題教學展開，既突出了三角函數(shù)的作用、價值與意義，又使得任意角的學習任務更加明確，單元主題與課時設計渾然一體、相輔相成.

2 深度學習深在“結(jié)構(gòu)”中

淺層學習的課堂往往看不到結(jié)構(gòu)化的課程內(nèi)容和學生活動，教師追求學科知識逐“點”解析、學科技能逐“項”訓練的簡單線性排列和連接；而深度學習的課堂重視學習經(jīng)驗和知識的整合與結(jié)構(gòu)化，強調(diào)改變知識、技能的簡單線性排列方式，改變課堂教學內(nèi)容分散和教學過程不連續(xù)問題，構(gòu)建有邏輯、有層次、有體系的知識結(jié)構(gòu)，學生形成的往往是關聯(lián)結(jié)構(gòu)、抽象拓展結(jié)構(gòu)，能主動引發(fā)自身復雜的外顯學習反應，并能對自身認知結(jié)構(gòu)進行價值評價與確認，提升分析、綜合、比較、評價、創(chuàng)新等高階思維能力.

任意角屬于概念范疇，涵蓋著“背景—定義—分類—運算—性質(zhì)”的認知結(jié)構(gòu).教師要利用元認知提示語，啟發(fā)學生思考：要完成任意角概念的建構(gòu)，需要完成哪些事情？結(jié)構(gòu)性問題1 學生在初中接觸的角都在0°～360°，關于角的認識已形成一定的思維定勢，從而產(chǎn)生結(jié)構(gòu)性問題：角的概念為什么要擴充？

結(jié)構(gòu)性問題2 根據(jù)角的動態(tài)定義，刻畫一個角，需要知道旋轉(zhuǎn)量和旋轉(zhuǎn)方向，從而產(chǎn)生結(jié)構(gòu)性問題：如何擴充任意角的概念？“任意”體現(xiàn)在哪些方面？

結(jié)構(gòu)性問題3 任意角概念中包含的一切事物，需要通過其屬性的區(qū)別表示出來分類研究，從而產(chǎn)生結(jié)構(gòu)性問題：如何將任意角進行分類？結(jié)構(gòu)性問題4 角的范圍擴展到任意角后，角的運算意義也隨之得到擴展，從而產(chǎn)生結(jié)構(gòu)性問題：如何定義任意角的加法和減法運算？

結(jié)構(gòu)性問題5 在平面直角坐標系中，“始邊、終邊都相同”的任意角有無數(shù)多個，從而產(chǎn)生結(jié)構(gòu)性問題：終邊相同的任意角有什么性質(zhì)？

通過以上結(jié)構(gòu)性問題的設置，深刻揭示任意角概念的內(nèi)涵和外延，讓學生形成關聯(lián)性、系統(tǒng)性、拓展型的認知結(jié)構(gòu)，有利于把握任意角的本質(zhì)，提升結(jié)構(gòu)化認知能力和水平.3 深度學習深在“聯(lián)系”中

淺層學習的課堂往往看不到學科知識間的聯(lián)系，或者聯(lián)系比較淺顯、松散、脆弱；而深度學習重視在單元學習中進行多角度、多維度的聯(lián)系，認為聯(lián)系是學習發(fā)生的必要條件，聯(lián)系既是手段，又是目的，教學中不為聯(lián)系而聯(lián)系，而以數(shù)學核心素養(yǎng)為導向?qū)嵤┥疃嚷?lián)系，在建立不同知識聯(lián)系的過程中，深度聯(lián)結(jié)學習過程中的知識載體、問題設計、思維方法、數(shù)學思想、核心素養(yǎng)，觸及學生思維深處.

在任意角的學習中，任意角、正角、負角、零角、象限角、軸線角、終邊相同的角等，這些概念是如何提出的？它們之間有怎樣的內(nèi)在關聯(lián)？任意角的運算是如何規(guī)定的？這樣的規(guī)定與以前學習的運算有怎樣的內(nèi)在的關聯(lián)？教師要引導學生積極思考、主動面對這些關聯(lián)性問題.

關聯(lián)點1 通過實際問題（體操中的人體旋轉(zhuǎn)、齒輪旋轉(zhuǎn)、鐘表指針旋轉(zhuǎn)等）建立任意角與生活經(jīng)驗的聯(lián)系，基于問題解決的需要引發(fā)學生的認知沖突，引出角概念的推廣問題，讓學生體會概念擴充的必要性，加深對“角是任意的”的認識，培養(yǎng)模型思想.

關聯(lián)點2 圍繞任意角要素——旋轉(zhuǎn)量與旋轉(zhuǎn)方向建立任意角與實數(shù)的聯(lián)系，類比正數(shù)、負數(shù)的規(guī)定，用符號表示旋轉(zhuǎn)方向，揭示任意角的內(nèi)涵，讓學生體會概念規(guī)定的合理性，加深對“任意角是轉(zhuǎn)出來的”的認識，培養(yǎng)數(shù)學抽象素養(yǎng).關聯(lián)點3 為了能把角放在一個統(tǒng)一的標準下進行討論，建立任意角與平面直角坐標系的聯(lián)系，角的頂點與原點重合，角的始邊與x軸的非負半軸重合，定義象限角、軸線角，揭示概念的外延，讓學生體會概念生成的自然性，加深對“任意角是有類別的”的認識，培養(yǎng)直觀想象素養(yǎng).

關聯(lián)點4 初中學過的角的和、差、倍角運算，角的運算不考慮方向，而任意角是“既有大小又有方向的角”，建立任意角與實數(shù)運算的聯(lián)系，類比實數(shù)的加、減法得到任意角的加、減法，讓學生體會概念運算的吻合性，加深“任意角是可以運算的”的認識，培養(yǎng)數(shù)學運算素養(yǎng).

關聯(lián)點5 在平面直角坐標系中，始邊與終邊是任意角的組成要素，建立“始邊、終邊都相同”的任意角的聯(lián)系，尋求這些角在代數(shù)表示上共同的量化表征形式，實現(xiàn)數(shù)與形的和諧統(tǒng)一，讓學生體會概念要素的應用性，加深對“任意角是周而復始的”的認識，培養(yǎng)直觀想象素養(yǎng).

4 深度學習深在“思想”中

淺層學習的課堂往往不關注學科知識產(chǎn)生和發(fā)展所依賴的學科思想方法，僅僅關注學科知識的事實層面或者囿于學科形式的符號化表達；而深度學習重視對數(shù)學思想方法的學習，認為任何數(shù)學知識的背后一定有思想方法的支撐，數(shù)學思想方法具有導向性、統(tǒng)領性、概括性、創(chuàng)造性特點，它是數(shù)學知識的精髓，是數(shù)學知識遷移的基礎，是溝通數(shù)學各部分、各分支間聯(lián)系的橋梁，是學生形成整體認知結(jié)構(gòu)的紐帶，是數(shù)學知識賴以發(fā)生、發(fā)展、應用的源泉和推手.

在任意角加法運算的教學中，教科書這樣定義：把角α的終邊旋轉(zhuǎn)角β，這時終邊所對應的角是α+β.在這個定義中，既沒有考慮角的正負，也沒有考慮旋轉(zhuǎn)方向.這個運算法則蘊含著豐富的數(shù)學思想方法，是滲透數(shù)學思想方法的有效載體.

數(shù)學思想方法1 類比實數(shù)的加法運算，提出任意角加法運算的可行性，滲透類比的思想方法.

數(shù)學思想方法2 如何定義兩個角相加才是合理的？角“α+β”是兩次連續(xù)旋轉(zhuǎn)的結(jié)果，可以分如下幾種情況：（1）α>0，β>0；（2）α>0，β<0；（3）α<0，β>0；（4）α<0，β<0，體現(xiàn)分類討論思想的應用.

數(shù)學思想方法3 對應以上四種情況，作出對應的幾何圖形，找出角α+β的旋轉(zhuǎn)方向和旋轉(zhuǎn)量的變化規(guī)律，體現(xiàn)數(shù)形結(jié)合思想的應用.數(shù)學思想方法4 根據(jù)以上四種情況的分析，歸納出α+β的合理性定義，體現(xiàn)特殊到一般思想的應用.5 深度學習深在“活動”中

淺層學習的課堂往往不關注學生學習活動的設計與實施，或者學生學習活動的設計比較簡單、機械、缺乏挑戰(zhàn)性；而深度學習的課堂重視學生學習活動的設計，認為數(shù)學教學是數(shù)學活動的教學，數(shù)學學習需要在活動中得以實現(xiàn)，學習活動的設計要體現(xiàn)自主性、銜接性、進階性、系列化、結(jié)構(gòu)化、個性化，要立足于學生的最近發(fā)展區(qū)，富有挑戰(zhàn)性；教師能圍繞學習目標設置恰切的學習活動，善于激發(fā)學生參與的積極性，讓學生“動起來”；學生能夠感到自己是學習活動的主體，表現(xiàn)為積極主動的學習狀態(tài).

終邊相同的角可以視為象限角概念的性質(zhì)，其代數(shù)表征的形成需要教師設計指向問題解決的學習活動，讓學生觀察、思考、運算、抽象、概括；而活動的實施過程又恰恰指向了數(shù)學抽象、直觀想象、數(shù)學運算等素養(yǎng)的形成與發(fā)展.

活動1 發(fā)現(xiàn)問題，引發(fā)思考.象限角的始邊相同，以射線OB為終邊的角有無數(shù)個，即這些角有“始邊、終邊都相同”的共同特征，這一特征如何量化？

活動2 從特殊角入手發(fā)現(xiàn)規(guī)律.借助圖象，觀察與-32°終邊相同的角之間的數(shù)量關系，在“旋轉(zhuǎn)整數(shù)周”的幫助下，通過運算發(fā)現(xiàn)共同特征，并得出表達式.

活動3 利用信息技術手段驗證規(guī)律.借助信息技術，在直角坐標系畫出任意角，并測出角的大小，再觀察角的終邊旋轉(zhuǎn)數(shù)周后，其大小與原角之間的關系，給出幾何意義的代數(shù)解釋.

活動4 形成一般性結(jié)論.從特殊到一般，從具體到抽象，通過數(shù)形結(jié)合、數(shù)學運算形成結(jié)論，即：所有與角α終邊相同的角，連同角α在內(nèi)，可構(gòu)成一個集合S={β|β=α+k·360°，k∈Z}.

6 深度學習深在“批判”中

淺層學習的課堂往往不關注批判過程的設計與實施，盲目追求答案的標準性和唯一性；而深度學習的課堂重視批判性思維能力的培養(yǎng)，認為任何數(shù)學知識都具有批判性，沒有批判就不會有對數(shù)學知識的深層次理解，不經(jīng)過批判、質(zhì)疑的學習過程是不完整的；教師注重批判性學習過程的設計，總能在看似沒有批判的情境中設計出批判性的問題；學生批判性意識比較強，善于在對教材、教師、他人的批判質(zhì)疑和自我批判的過程中，實現(xiàn)知識的深層次建構(gòu).

在象限角的教學中，利用直角坐標系作為同一“參照系”引入象限角的概念，然而在學生原有認知結(jié)構(gòu)中，銳角、鈍角、正數(shù)、負數(shù)等前概念根深蒂固，要深刻把握象限角的本質(zhì)，必須圍繞象限角概念開展批判性學習活動，改變學生的“自我中心主義”和慣性思維，實現(xiàn)批判性意義建構(gòu).

認知沖突問題：根據(jù)實數(shù)中正數(shù)大于負數(shù)的原理，30°比-40°大.

思維陷阱問題：30°與-30°的關系是什么？30°與150°的關系是什么？30°與210°的關系是什么？

模糊認識問題：小于90°的角是銳角，第二象限角是鈍角，第二象限角比第一象限角大.

7 深度學習深在“遷移”中

淺層學習的課堂往往不關注遷移過程的設計與實施，課堂上以接受知識為主，側(cè)重于記憶、模仿、理解、練習等過程，教學情境單一、重復、陳舊；而深度學習的課堂認為遷移與運用是深度學習的目標與導向，是學生內(nèi)化數(shù)學內(nèi)容之后的外化表現(xiàn)及創(chuàng)造性表達，強調(diào)學習的主動性、情境性與創(chuàng)造性，突出間接學習經(jīng)驗內(nèi)化又外化的過程，著重培養(yǎng)學生在新情境中將所學知識轉(zhuǎn)化為自身的綜合實踐能力；教師重視遷移運用過程的活動設計，將所學知識置于新情境中讓學生嘗試解決，學生樂于在新情境中運用所學知識解決新問題.

任意角是“有方向的角”，在任意角的知識結(jié)構(gòu)中，任意角與對稱變換、旋轉(zhuǎn)變換等幾何變換密切相關，具有從代數(shù)運算到幾何變換的遷移特性；同時任意角的概念與現(xiàn)實生活息息相關，需要將任意角遷移到現(xiàn)實情境中才能賦予知識生動性與創(chuàng)造性.

近遷移：已知角α是第二象限角，試判斷-α，180°+α，180°-α，360°+α，360°-α分別是第幾象限角？通過任意角的運算，體會幾何變換應用.

遠遷移：鐘表指針停在12點的位置上，甲同學將指針按逆時針方向旋轉(zhuǎn)1/4圈，乙同學將指針按順時針方向旋轉(zhuǎn)1（1/4）圈.

（1）請你從任意角概念出發(fā)，比較這兩種運動；

（2）請在同一直角坐標系中，作出這兩個角，并進行比較.

8 深度學習深在“反思”中

淺層學習的課堂往往不關注反思過程的設計與實施，以教師的思考替代學生的思考，以淺層次的接受替代深層次的探究，以簡單的重復性總結(jié)替代學生對學習過程和學習結(jié)果的再思考；而深度學習的課堂認為反思是確保學習活動深層次發(fā)生的基本條件，是能力走向素養(yǎng)的關鍵步驟.它往往由學生主動發(fā)起，對自己的學習過程和學習結(jié)果進行再認識、再思考、再創(chuàng)造.教師能時時處處將反思與所有學習活動緊密結(jié)合起來，將學生的反思能力作為重要的評價維度進行考核；學生勤于反思、善于反思、樂于反思，將反思置于學習的全過程，在反思中享受進步的樂趣.

任意角的學習是一個完整的過程，需要反思的問題有很多.如，反思點1：角的概念為什么要擴充？如何擴充？反思點2：如何想到用正、負號來刻畫不同旋轉(zhuǎn)方向？為什么可以規(guī)定逆時針方向的角為正角？反思點3：如何刻畫不同旋轉(zhuǎn)大小的角？為什么要在直角坐標系中表示角？反思點4：在平面直角坐標系下，終邊相同的角如何表征？反思點5：任意角的概念如何應用到真實情境中？反思點6：任意角的研究路徑是什么？與以前學習過的數(shù)學概念的研究路徑相同嗎？反思點7：通過什么樣的學習方式學習任意角？有沒有更好的學習方式？自己的學習經(jīng)驗是什么？等等.

“牽一發(fā)而動全身”.當把角擴充到任意角以后，需要進一步反思：初中所學習的三角函數(shù)知識又該如何調(diào)整以適應這種變化？如何將銳角三角函數(shù)擴充到任意角的三角函數(shù)？為滿足任意角三角函數(shù)的定義，任意角的度量是否需要引入新的度量值？這種新的度量值與角度值如何進行換算？如何利用任意角的三角函數(shù)來刻畫周期性變化現(xiàn)象？等等.通過對以上問題的反思，使學生對學習過程進行科學慎重的回顧、分析和檢查，實現(xiàn)學生的自我監(jiān)控、自我調(diào)整、自我評估，形成反思意識，培養(yǎng)反思能力.

總之，深度學習以學生發(fā)展為本，以數(shù)學核心素養(yǎng)培養(yǎng)為導向，遵循知識發(fā)生發(fā)展規(guī)律和學生認知發(fā)展規(guī)律，直面學生學習困境，著力解決學生學習中的障礙點、困惑點、生長點，在學習的“深度”上發(fā)力，讓學生的學習“深下去”“廣出來”“遠開來”［2］，體現(xiàn)數(shù)學育人價值，實現(xiàn)數(shù)學核心素養(yǎng)的形成與發(fā)展，讓學生收獲寶貴的精神財富.

參考文獻

［1］中華人民共和國教育部.普通高中數(shù)學課程標準（2017年版2020年修訂）［M］.北京：人民教育出版社，2020：1-8，80-88.

［2］劉月霞，郭華.深度學習：走向核心素養(yǎng)［M］.北京：教育科學出版社，2018：29-34，45-62.

作者簡介

鄭金賓（1975—），男，山東泰安人，天津市第一百中學教科處主任，正高級教師;研究方向以“促使學習發(fā)生”為切入點，致力于學生數(shù)學學科核心素養(yǎng)的提升;課例多次榮獲國家、省市級一等獎；出版教學專著《“實”話高中數(shù)學教學》;發(fā)表論文30余篇；主持或者參與完成國家級、市級課題10余項.

鄭成鸞（1984—），女，天津人，中學一級教師；研究方向是高中數(shù)學教學；主持完成國家級課題《高中數(shù)學教學中利用直觀建構(gòu)式教學方法提高學科教學質(zhì)量的過程性實踐研究》；榮獲全國信息與課程整合大賽一等獎，獲市級優(yōu)質(zhì)課，連續(xù)多年獲全國數(shù)學“希望杯”競賽優(yōu)秀輔導員.

趙維亮（1983—），男，山東淄博人，中學一級教師；校級骨干教師，校級優(yōu)秀班主任，榮獲天津市普教系統(tǒng)青年教師教學競賽三等獎，東麗區(qū)青年教師教學基本功一等獎，獲市級優(yōu)課，連續(xù)多年獲全國數(shù)學“希望杯”競賽優(yōu)秀輔導員；研究方向是高中數(shù)學教學.

基金項目 天津市教育學會“十四五”教育科研規(guī)劃重點課題“指向?qū)W科核心素養(yǎng)的高中數(shù)學課堂深度學習教學策略的研究”（KT-［十四五］-010-ZD-2102）.