【摘 要】新高考以“價值引領、素養(yǎng)導向、能力為重、知識為基”為命題理念，在高三數(shù)學復習課中，教師精心設計數(shù)學探究活動，開展探究式教學，可以有效提升學生的“四基”“四能”.基于“U型學習”方式，對一道“分層隨機抽樣樣本方差”試題的求解公式作探究式教學設計，揭示了高三數(shù)學復習課的有效路徑和復習范式.

【關鍵詞】“U型學習”；高三數(shù)學；復習范式；探究式教學

新高考以“價值引領、素養(yǎng)導向、能力為重、知識為基”為命題理念，通過設置促使考生進行探究活動的“復雜的生活情境或學習探索情境”［1］的試題，反映其必備知識、遷移能力、思維品質和學科素養(yǎng).因此，在高三數(shù)學復習課中，教師要精心設計數(shù)學探究活動，開展探究式教學，倡導通過獨立思考、自主學習、閱讀自學、操作實踐、問題探究、合作交流等多種學習方式，以達到提升學生“四基”（基礎知識、基本技能、基本思想、基本活動經(jīng)驗）“四能”（發(fā)現(xiàn)、提出、分析、解決問題的能力）的目的.深度教學“U型學習”理念為實現(xiàn)這一目標提供了堅實理論基礎，其主張學生學習過程經(jīng)歷“還原—理解—探究—體驗—反思”的深度學習曲線［2］.凸顯在教師的引領下、在挑戰(zhàn)性的進階學習任務（活動）中學生的主體地位，強調理解、高階學習，注重探索性、自主性及教育的育人價值.筆者以2022年12月19日“2023屆廣州市高三年級調研測試”中一道“分層隨機抽樣樣本方差”試題的解法推廣探究教學為例，以發(fā)展和提升學生“四基”“四能”為目標，基于深度教學“U型學習”方式設計了試題探究的教學方案，供同行討論.

1 教學立意與探究問題

基于深度教學“U型學習”方式的教學立意，教學過程大致經(jīng)歷“下沉—探底—上浮”三個階段，對應的教學環(huán)節(jié)分別是“情境與問題—探究與合作—應用與遷移—總結與反思”.其中，“下沉”亦即“還原階段”：將新授知識還原到學生的認知起點，與實際生活或學生實際建立聯(lián)系，促進理解；“探底”亦即“探究階段”：包含問題探究與應用遷移；“上浮”亦即“反思階段”：即強化學習的反思、感悟，進行提煉總結，形成能力，發(fā)展素養(yǎng).

探究式教學，教師首先要為學生確定“依標靠本”、導向正確的探究問題.探究問題要以課標要求、鏈接現(xiàn)行教材為基本原則，要有問題解決的迫切性和挑戰(zhàn)性，大小適度；能為學生提供自由表達、質疑探究、討論問題的機會，讓學生通過個人、小組、集體等多種解難釋疑的嘗試活動來解決實際問題，從而提升能力，發(fā)展學科素養(yǎng)［3］.

本節(jié)課探究問題為如下考題：考題 （“2023屆廣州市高三年級調研測試”第6題）

為調查某地區(qū)中學生每天睡眠時間，采用樣本量比例分配的分層隨機抽樣，現(xiàn)抽取初中生800人，其每天睡眠時間均值為9小時，方差為1，抽取高中生1200人，其每天睡眠時間均值為8小時，方差為0.5，則估計該地區(qū)中學生每天睡眠時間的方差為（ ）. A.0.96 B.0.94 C.0.79 D.0.75

試題分析 本題主要考查數(shù)據(jù)統(tǒng)計中均值、方差的概念以及分層隨機抽樣中各層方差與樣本方差之間的關系；運算求解能力、推理論證能力以及數(shù)據(jù)分析、數(shù)學運算、邏輯推理、數(shù)學抽象等數(shù)學核心素養(yǎng).屬中檔題，用方差定義求解，計算量較大；若基于方差定義的理解，先對“分層隨機抽樣中總樣本方差的計算公式”作簡要推理、推廣（較易），再代值求解，計算量較??；其探究過程可積累更多優(yōu)質解題思路和基本活動經(jīng)驗，進一步提升“四基”“四能”.

2 考情分析與學習目標

2.1 研究課標，掌握考情

《普通高中數(shù)學課程標準（2017年版2020年修訂）》（下簡稱《課程標準》）對上述知識點的要求是“掌握分層隨機抽樣的樣本均值和樣本方差”［4］.從近幾年高考和?？歼x填題分析，主要側重對其“雙基”（概念、公式的理解及基本應用）的考查，屬中偏下難度題型.2.2 明確目標，突出能力從知識層面上，通過本課學習學生熟練理解、掌握“分層隨機抽樣的樣本均值和樣本方差”；從發(fā)展能力的角度上，依托“2023屆廣州市高三年級調研測試”題第6題提供的素材，通過循序漸進的問題驅動，培養(yǎng)觀察分析、拓展延伸、發(fā)現(xiàn)新結論與新方法的能力，培養(yǎng)抽象概括、轉化與化歸以及應用數(shù)學知識解決問題的能力.

3 教學設計與深度學習環(huán)節(jié)1 情境呈現(xiàn)，激發(fā)沖突

例題：（見“考題”，略）.

問題1 此題不難，但考場中很多人難以順利、快速得分.你能分享自己的求解過程嗎？

師生活動 學生積極展示、分享解答過程；教師引而不發(fā)，側重引導，比較分析解題思路、計算量以及考場應試情境下的作答狀況.多數(shù)學生基于“方差”的定義，有下列求解方式：

追問1 此問題屬于“分層隨機抽樣樣本方差問題”.考場上，按上述思路求解將導致“會而不對”“對而費時”等.其主要原因在于我們平時對其學習缺少充分和深入探究、提煉并總結.“分層隨機抽樣樣本方差問題”有沒有求解公式，只需簡單代入數(shù)值求解？

設計意圖 此為“U型學習”的“下沉”，亦即“情境與問題”的“還原起始階段”.創(chuàng)設問題探究情境，激發(fā)認知沖突；幫助學生自主梳理和熟悉樣本均值、方差等“雙基”；同時為探究、提煉“分層隨機抽樣樣本方差”公式做準備，激發(fā)探究意識.環(huán)節(jié)2 自主研學，溫故知新

問題2 本題是根據(jù)人教版《普通高中教科書·數(shù)學》必修二（2019年版新教材A版）第212頁“例6”改編而來.請自主閱讀、研究教科書第212頁“例6”（與“考題”同類同質，題略）相關內容，并完成以下任務：

追問3 “第11題（2）”中，若記f1，f2，f3分別為各層數(shù)據(jù)個數(shù)占比，則其結論又是什么形式？（答案：s2=f1［s21+（－w）2］+f2［s22+（－w）2］+

設計意圖 此為“U型學習”的“下沉”，亦即“情境與問題”的“還原階段”，將問題與學生的認知起點建立聯(lián)系，促進理解，形成問題探究的基本活動經(jīng)驗.“例6”是基于具體的、“分2層隨機抽樣樣本方差”問題，學生通過自學其詳解，可以溫故、理解而遷移求解“考題”；“第11題”是基于抽象的、“分3層隨機抽樣樣本方差”問題，學生經(jīng)歷從具體到抽象、從“2層”到“3層”的進階學習，為其后進階到“分t層隨機抽樣樣本方差”的問題探究自然過渡.任務驅動：引導學生明確高三復習充分關注、回歸、鏈接教材的重要性，培養(yǎng)其閱讀教科書的習慣；發(fā)展學生“四基”，培養(yǎng)學生自主構建基本知識、思想方法、研究過程框架的能力.環(huán)節(jié)3 互動探究，動態(tài)生成

問題3 根據(jù)上述對教材指定內容的閱讀、研學、感悟，請嘗試探究：

在總體劃分為t層的分層抽樣過程中：記第k（k=1，2，…，t）層內樣本數(shù)據(jù)的均值為wk（層均值），方差為s2k（層方差），數(shù)據(jù)個數(shù)占比為fk（層加權系數(shù)）；樣本數(shù)據(jù)均值為w（樣本均值），其方差s2（樣本方差）.那么： .

設計意圖 此為“U型學習”的“探底”，亦即“探究與合作”階段.通過之前的自主構建基本知識、思想方法、研究過程框架的初步鋪墊和系列設問對探究過程難點問題的引導解決，形成探究過程的初步理論成果；提升學生“四能”、理性思維水平，發(fā)展學生邏輯推理、數(shù)學抽象、數(shù)學建模、創(chuàng)新能力等.

問題4 你能類比“定理1”的探究過程，探究“分層隨機抽樣中樣本均值的計算公式”（可記為“定理2”）嗎？（答案：w=∑t/k=1［fk·wk］）.

追問5 對公式基于理解性記憶，將記得更牢固.你從哪方面理解公式？能描述“定理1”“定理2”兩個公式結構上的相似之處嗎？

（參考答案：從公式的推導過程理解，其結構都是各層“對應式子”的加權平均數(shù)形式；基于上述定理的證明過程的理解，比純機械記憶更重要.）

追問6 為針對當下新冠疫情“陽性”感染問題作數(shù)據(jù)調查.某市連續(xù)幾天收集數(shù)據(jù)，得到了每天數(shù)據(jù)的樣本均值和方差，大數(shù)據(jù)時代：應當如何得到這幾天所有數(shù)據(jù)的樣本均值和方差？

（參考答案：首先計算“這幾天”的數(shù)據(jù)總個數(shù)，從而求“每天”數(shù)據(jù)占比，即上述各定理中的“權比”；利用定理2即可求得“這幾天”所有數(shù)據(jù)的“樣本均值”；由“每天”數(shù)據(jù)的“樣本均值”、“這幾天”所有數(shù)據(jù)的“樣本均值”、各天“權比”及其“方差”，利用“定理1”即可求得“這幾天”所有數(shù)據(jù)的方差.）

師生活動 學生基于類比“環(huán)節(jié)2”中“任務2（1）”的論證求解，以及“定理1”的探究過程基本框架，先獨立完成；之后，小組合作完善，得出結論；教師引導、組織.

設計意圖 此為“U型學習”的“探底”中“應用與遷移”階段.首先，通過類比探究，深化探究成果，也是對基本思想、基本活動經(jīng)驗的應用遷移；其次，“追問5”強化定理基于理解和公式特征的記憶，“追問6”是源自《課程標準》的“案例13”，對定理的應用與遷移，也是對此兩個定理的探究必要性的回應.強化學以致用的應用意識和創(chuàng)新意識，培養(yǎng)學生發(fā)現(xiàn)新結論與新方法的能力；激發(fā)學生學習興趣、調動學習主動性、提高數(shù)學思維的參與度；強化基本活動經(jīng)驗和基本思想，以達到觸類旁通的效果.環(huán)節(jié)4 梳理整合，構建體系

問題5 本節(jié)課，我們得到了什么理論成果？研究過程中，采用了什么方法？

追問7 這些理論成果之間有怎樣的關系？

追問8 你能用思維導圖梳理表示這些理論成果、研究路徑或方法嗎？

師生活動 問題驅動，學生回顧、梳理知識成果、研究路徑及方法，制作思維導圖，展示、分享.

經(jīng)完善，本節(jié)課研究成果、研究路徑等如下：（如圖1）

定理 （分層隨機抽樣的樣本均值與方差）在總體劃分為t層的分層抽樣過程中：記第k（k=1，2，…，t）層內樣本數(shù)據(jù)的均值為wk（層均值），方差為s2k（層方差），數(shù)據(jù)個數(shù)占比為fk（層加權系數(shù)）；樣本數(shù)據(jù)均值為w（樣本均值），其方差s2（樣本方差）.那么：

（1）層均值對樣本均值差的平方與層方差的和的加權平均數(shù)，即為樣本方差的值，

（2）分層隨機抽樣中樣本均值的計算公式為w=∑t/k=1（fk·wk）.

設計意圖 此為“U型學習”的“上浮階段”，構建本課整體的探究體系，歸納研究思路、研究方法，形成基本的活動經(jīng)驗，提高“四能”.

環(huán)節(jié)5 布置作業(yè)，應用遷移 （略.）4 教學設計的幾點思考

4.1 開展探究式教學，是揭示數(shù)學本質、完善認知結構、深化解題認知的可靠保障

探究式教學的探究對象是基于學生的認知實際水平、學用結合中問題解決的沖突矛盾等視域下產(chǎn)生的，具有較強的價值、目的導向；探究式教學充分關注知識的來龍去脈、形成過程.探究式教學更能激發(fā)學生學習的興趣，更有助于學生挖掘知識之間的內在聯(lián)系從而促進知識的同化和遷移，能使學生在探究過程中完善知識和思維系統(tǒng)，促進學生積極合作、交流.

4.2 構建“U型學習”方式下的自主型復習課范式，是提升數(shù)學復習課質量的有效路徑

“U型學習”方式的三個主要階段（“下沉—探底—上浮”）分別強調基于聯(lián)系理解知識、基于主動探究提升能力、基于反思學習感悟內化.因此，學生自主型復習課比傳統(tǒng)型復習課更能發(fā)展學生的“四基”“四能”.高三數(shù)學自主型復習課堂與傳統(tǒng)型復習課堂主要流程分別為“自主研學，溫故知新→互動探究，動態(tài)生成→梳理整合，構建體系→問題解決，反思升華→目標檢測，檢驗效果→布置作業(yè)，應用遷移”等、“知識梳理，構建網(wǎng)絡→典例精講，變式訓練→方法提煉，歸納總結→當堂檢測，鞏固拓展”等.前者相較于后者，主要突顯從“知識立意→能力素養(yǎng)立意”“模仿重復→探究發(fā)現(xiàn)”的轉變，更體現(xiàn)教師主導和學生主體、自主構建以及強化感悟.

總之，我們認為基于深度教學“U型學習”方式的高三數(shù)學復習課教學設計，強調探究式教學；特別關注“四基”“四能”：培養(yǎng)學生的知識整合能力和遷移能力，立足于培養(yǎng)學生“四能”的發(fā)現(xiàn)問題、提出問題的能力以及創(chuàng)新思維能力，“學生自行思考，像一名數(shù)學家那樣去思考數(shù)學，……，投入到獲得知識的過程中去”（布魯納），使課堂效率和效益實現(xiàn)最大化.高三數(shù)學復習課，教師若更多地把視點放在通過學生對知識的發(fā)現(xiàn)、提煉、領悟和基于聯(lián)系的自主建構上來達到知識的回顧、鞏固、再學習、再認識的動態(tài)過程上，多在學習策略、思考方法和探索途徑上下功夫，那么高三數(shù)學復習才會有“跳出題海”的希望，進而達到培養(yǎng)學生能力、提高學生數(shù)學素質的目的［5］.

參考文獻

［1］教育部考試中心.中國高考評價體系說明［M］. 北京：人民教育出版社，2019.

［2］郭元祥.深度教學：促進學生素養(yǎng)發(fā)育的教學變革［M］.福州：福建教育出版社，2021：274.

［3］陶惠民.對探究式教學的理解與實踐［J］.數(shù)學通報，2004，（09）：39.

［4］中華人民共和國教育部.普通高中數(shù)學課程標準（2017年版2020年修訂）［M］.北京：人民教育出版社，2020.

［5］吳鍔.基于“四基”的高三數(shù)學復習課教學設計［J］.中學數(shù)學月刊，2015（12）：47.

作者簡介

吳光潮（1979—），男，湖北安陸人，中學高級教師;廣州市黃埔區(qū)教育研究院中學數(shù)學教研員，廣州市第十六屆中學數(shù)學教學研究會常務理事，華南師范大學教育學部兼職研究員；主要從事中學數(shù)學教育教學研究；獲高中數(shù)學優(yōu)質課競賽（講課）國家二等獎1次，省部級一等獎2次、三等獎1次，市級一等獎多次；發(fā)表專業(yè)論文20余篇（人大復印資料轉載多篇）；主持省級課題多項.

基金項目 廣東省2022年度教育科學規(guī)劃課題（教育綜合改革專項）“基于深度學習的初中數(shù)學課堂作業(yè)設計研究”（2022JKZG087）.